# 编码器
一个$n$位的编码器应有$2^n$个输入，并且有$n$个输出。编码器有**普通编码器**与**优先编码器**之分

-  普通编码器：只允许一个输入信号有效，否则产生错误输出
-  优先编码器：允许多个输入信号同时有效，输出是对优先级最高的输入信号进行编码



# 普通编码器
以4线-2线编码器为例，设输入脚为$I_0\sim I_3$，高电平有效，并且同一时刻只能有一个输入为$1$。可以容易地写出输出的逻辑表达式
$$
Y_1=\bar{I_0}\bar{I_1}I_2\bar{I_3}+\bar{I_0}\bar{I_1}\bar{I_2}I_3
$$
$$
Y_2=\bar{I_0}I_1\bar{I_2}\bar{I_3}+\bar{I_0}\bar{I_1}\bar{I_2}I_3
$$

在只有一个输入为$1$的前提下，将它化简为
$$
Y_1=I_2+I_3,\quad Y_0=I_1+I_3
$$

其功能表为

![image.png](/static/img/131b572d26ced39e68fbe5558c6a228b.image.webp)

它正常工作时要求输入有且仅有一个为$1$，其它都为零，否则它就输出$0$，但是这与$I_0=1$对应的情形重合了，没有办法判断是不是有效输出

# 优先编码器
以8线-3线编码器为例，它的功能表为

![image.png](/static/img/81913d2b1bce0aabc87be0ecc5794095.image.webp)

其中的`X`表示忽略这位的输入。可见8个输入的优先级为
$$
I_7>I_6>\cdots>I_0
$$

输入还有一个**使能端**`EI`，当它为$0$时所有输出都为$0$；`EO`是**输出使能**，它在编码器被使能并且输入全为零时被置为1

输出还添加了一个工作状态标志`GS`，当编码有效时它才会被置为1

它的逻辑符号是
<center>
    <img src="/static/img/11c54bba4671038f7021c6b32cd99af8.image.webp" width=30%>
</center>

# 优先编码器的级联

可以将两个8线-3线编码器级联为16线-4线编码器，如图

![image.png](/static/img/6088e0ab504d606d412d863d26aaa597.image.webp)

- EI为零时，所有输出都为零
- 输入范围限制在编码器0的范围内时，编码器1的所有输入为0，编码器0被使能，正常工作
- 编码器1的范围内有高电平时，编码器0没有使能不工作，输出是编码器1的输出
- 当两个编码器有一个的输出有效时，整个编码器的输出就有效

这样就实现了16位的优先编码，优先级为
$$
A_{15}>A_{14}>\cdots>A_0
$$

编码器与优先编码器

# 符号约定
逻辑变量用大写字母$A,B,C,\cdots$表示，逻辑常数用$0,1$表示。约定上划线表示逻辑非：
$$
\overline{0} = 1, \quad \overline{1} = 0
$$

用 **+** 表示逻辑或：
$$
0 + 0 = 0, \quad 0 + 1 = 1, \quad 1 + 0 = 1, \quad 1 + 1 = 1
$$

用 **·** 表示逻辑与：
$$
0 \cdot 0 = 0, \quad 0 \cdot 1 = 0, \quad 1 \cdot 0 = 0, \quad 1 \cdot 1 = 1
$$

用 **⊕** 表示逻辑异或：
$$
0 \oplus 0 = 0, \quad 0 \oplus 1 = 1, \quad 1 \oplus 0 = 1, \quad 1 \oplus 1 = 0
$$



# 基本定律

## 单变量定律
容易验证，单个的逻辑变量满足如下的定律：
1. 恒等律
   $$
   A + 1 = 1, \quad A \cdot 0 = 0
   $$

2. 零律
   $$
   A + 0 = A, \quad A \cdot 1 = A
   $$

3. 同一律
   $$
   A + A = A, \quad A \cdot A = A
   $$

4. 互补律
   $$
   A + \overline{A} = 1, \quad A \cdot \overline{A} = 0
   $$

5. 还原律
   $$
   \overline{\overline{A}} = A
   $$

## 多变量定律
以下多变量定律也是容易验证的：
1. 交换律
   $$
   A + B = B + A, \quad A \cdot B = B \cdot A
   $$

2. 结合律
   $$
   A + (B + C) = (A + B) + C, \quad A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C
   $$

3. 分配律
   $$
   A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C, \quad A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)
   $$

4. 吸收律
   $$
   A + A \cdot B = A, \quad A \cdot (A + B) = A
   $$

5. 反演律（摩根定律）
   $$
   \overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}, \quad \overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}
   $$

## 其他常用恒等式
### 恒等式 1
$$
A + \overline{A} \cdot B = A + B
$$
证明：
利用分配律：
$$
A + \overline{A} \cdot B = (A + \overline{A}) \cdot (A + B) = 1 \cdot (A + B) = A + B
$$

---

### 恒等式 2
$$
A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot B
$$
证明：
利用分配律：
$$
A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot \overline{A} + A \cdot B = 0 + A \cdot B = A \cdot B
$$

---

### 恒等式 3
$$
A \cdot B + \overline{A} \cdot C + B \cdot C = A \cdot B + \overline{A} \cdot C
$$
证明：
利用互补律：
$$
A \cdot B + \overline{A} \cdot C + B \cdot C = A \cdot B + \overline{A} \cdot C + (A + \overline{A}) \cdot B \cdot C
$$
利用分配律：
$$
A \cdot B + \overline{A} \cdot C + (A + \overline{A}) \cdot B \cdot C = A \cdot B + \overline{A} \cdot C + A \cdot B \cdot C + \overline{A} \cdot B \cdot C
$$
再反用分配律：
$$
A \cdot B + \overline{A} \cdot C + A \cdot B \cdot C + \overline{A} \cdot B \cdot C = A \cdot B \cdot (1 + C) + \overline{A} \cdot C \cdot (1 + B)
$$
利用恒等率：
$$
A \cdot B \cdot (1 + C) + \overline{A} \cdot C \cdot (1 + B) = A \cdot B + \overline{A} \cdot C
$$

---

# 基本定理

## 代入规则
在任意逻辑等式中，将某个变量全部替换为另一个逻辑表达式，等式仍然成立。

## 反演规则
根据反演律，在求原函数$L$的非函数时，可以对$L$做如下变换：
$$
\cdot \to +, \quad + \to \cdot, \quad 0 \to 1, \quad 1 \to 0, \quad A \to \overline{A}, \quad \overline{A} \to A
$$
所得的函数即为$L$的非函数。应用反演规则时需要注意，要保持原先的运算优先级，先与后或。例如：
$$
\overline{A \cdot B + \overline{A} \cdot (B + C)} = (\overline{A} + \overline{B}) \cdot (A + \overline{B} \cdot \overline{C})
$$

## 对偶规则
在任意逻辑等式中，将逻辑与和逻辑或互换，将逻辑常数$0$和$1$互换，等式仍然成立。例如：
$$
A + \overline{A} \cdot B = A + B \iff A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot B
$$
与反演规则类似，对偶规则也需要保持原先的运算优先级。

## 香农展开定理
对于任意一个逻辑函数：
$$
f(A,B,C,\cdots)
$$
可以用如下的方式展开：
$$
f(A,B,C,\cdots) = A \cdot f(1,B,C,\cdots) + \overline{A} \cdot f(0,B,C,\cdots)
$$

逻辑代数基本定律与规则

# 竞争冒险

一个逻辑门的两输入端信号同时跳变，但是时间存在差异的现象称为**竞争**。如果逻辑电路设计不好，会产生输出干扰脉冲，称为**冒险**

- 两个互补信号的或会造成竞争冒险$L=A+ \overline{A}$
- 两个互补信号的与会产生竞争冒险$L=A\cdot \overline{A}$



就像这样

<center>
    <img src="/static/img/d90c1c0c915f875e618ff6f3b0491a09.image.webp" width=70%>
</center>

考察下面的电路
<center>
    <img src="/static/img/21329a4d5bb43e443c11f466daa5ff16.image.webp" width=50%>
</center>

它的逻辑表达式是
$$
L=AC+B\overline{C}
$$

当$A=B=1$时，逻辑表达式为
$$
L=C+\overline{C}
$$

由于非门的存在，$\overline{C}$信号会晚一点跳变，这样就会使得$L$出现一个脉冲的干扰信号

# 消除竞争冒险
消去竞争冒险可以消去函数表达式中的互补项，如
$$
F=(A+B)(\overline{A}+C)
$$

当$B=C=0$时，表达式就化为了
$$
F=A\cdot\overline{A}
$$

由于$A\cdot\overline{A}$是恒为假的，那么将它化简为
$$
F=AC+\overline{A}B+BC
$$
那么就不存在竞争冒险

---

也可以增加乘积项防止互补项相加。如
$$
L=AC+B\overline{C}
$$
当$A=B+1$时就有$L=C+\overline{C}$，为了避免这种情况，鉴于它是恒为真的，可以加上$AB$
$$
L=AC+B\overline{C}+AB
$$
这样就不会出现跳变了

组合逻辑电路的竞争冒险

# 逻辑函数的形式



## 逻辑函数基本表达形式

### 与或表达式
与或表达式是指由若干**与**项以或的形式连接起来的逻辑表达式，例如
$$
F(A,B,C) = AB C + A\overline{B} C + \overline{A} BC
$$
也称之为“积之和”。

### 或与表达式
或与表达式是指由若干**或**项以与的形式连接起来的逻辑表达式，例如
$$
F(A,B,C) = (A+B+C)(A+\overline{B}+C)(\overline{A}+B+C)
$$
也称之为“和之积”。

## 最小项
最小项是指一个乘积项，它包含了所有的逻辑变量，例如三个变量的最小项有
$$
m_0 = AB C, \quad m_1 = AB \overline{C}, \quad m_2 = A\overline{B} C, \cdots
$$
$n$个变量的最小项有$2^n$个。使一个最小项为$1$的变量取值是唯一的，将此作为最小项的编号，例如
$$
AB\overline{C} \text{的编号为} 110 = 6
$$

### 最小项表达式
由若干最小项以或的形式连接起来的逻辑表达式称为最小项表达式，例如
$$
F(A,B,C) = AB C + AB \overline{C} + A\overline{B} C
$$

## 最大项
最大项是指一个和项，它包含了所有的逻辑变量，例如三个变量的最大项有
$$
M_0 = A+B+C, \quad M_1 = A+B+\overline{C}, \quad M_2 = A+\overline{B}+C, \cdots
$$
$n$个变量的最大项有$2^n$个。使一个最大项为$0$的变量取值是唯一的，将此作为最大项的编号，例如
$$
A+B+\overline{C} \text{的编号为} 001 = 1
$$

### 最大项表达式
由若干最大项以与的形式连接起来的逻辑表达式称为最大项表达式，例如
$$
F(A,B,C) = (A+B+C)(A+B+\overline{C})(A+\overline{B}+C)
$$
可以利用摩根定律将最小项表达式转化为最大项表达式，例如
$$
\begin{aligned}
    F(A,B,C) &= AB+\overline{A}C = \overline{\overline{AB+\overline{A}C}} \\
    &= \overline{(\overline{A}+\overline{B})(A+\overline{C})} \\
    &= \overline{A\overline{B}+\overline{C}\overline{B}+\overline{A}\overline{C}} \\
    &= (\overline{A}+B)(A+C)(B+C)
\end{aligned}
$$

## 卡诺图
可以用递归的方式定义卡诺图。对于单个变量，其卡诺图为

| $\overline{A}$ | $A$ |
|-----------------|-----|


添加一个变量，可以将其沿一个方向**镜像**一份，再填入新的变量

| $\overline{A}\overline{B}$ | $A\overline{B}$ | $AB$ | $\overline{A}B$ |
|----------------------------|-----------------|------|-----------------|


同样可以再添加一个变量

| $\overline{A}\overline{B}\overline{C}$ | $A\overline{B}\overline{C}$ | $AB\overline{C}$ | $\overline{A}B\overline{C}$ |
|----------------------------------------|-----------------------------|------------------|----------------------------|
| $\overline{A}\overline{B}C$            | $A\overline{B}C$            | $ABC$            | $\overline{A}BC$           |


还可以有四变量的卡诺图

| $\overline{A}\overline{B}\overline{C}\overline{D}$ | $A\overline{B}\overline{C}\overline{D}$ | $AB\overline{C}\overline{D}$ | $\overline{A}B\overline{C}\overline{D}$ |
|---------------------------------------------------|----------------------------------------|-----------------------------|---------------------------------------|
| $\overline{A}\overline{B}C\overline{D}$           | $A\overline{B}C\overline{D}$           | $ABC\overline{D}$           | $\overline{A}BC\overline{D}$          |
| $\overline{A}\overline{B}CD$                      | $A\overline{B}CD$                      | $ABCD$                      | $\overline{A}BCD$                     |
| $\overline{A}\overline{B}\overline{C}D$           | $A\overline{B}\overline{C}D$           | $AB\overline{C}D$           | $\overline{A}B\overline{C}D$          |


如此定义的表格**相邻两格仅有一个变量发生了变化**。

---

为了将表达式化为卡诺图，首先将表达式化为最小项表达式。每个最小项都对应卡诺图中的一格，将这些格填上$1$，其他格填上$0$。如对于表达式
$$
L(A,B,C,D) = ABCD + AB\overline{C}D + A\overline{B}C\overline{D} + \overline{A}BC\overline{D} + \overline{A}\overline{B}\overline{C}\overline{D}
$$
其卡诺图为

| CD/AB | 00  | 01  | 11  | 10  |
|-------|------|------|------|------|
| 00    |  1   |  0   |  0   |  0   |
| 01    |  0   |  0   |  1   |  0   |
| 11    |  0   |  0   |  1   |  0   |
| 10    |  0   |  1   |  0   |  1   |


## 最简表达式

若一个与-或表达式包含的乘积项最少，每个乘积项变量也最少，则称之为最简与-或表达式。

### 代数法化简逻辑函数
代数法化简逻辑函数通常结合使用下列四种方法：
1. 并项法
   $$
   A + \overline{A} = 1
   $$
2. 吸收法
   $$
   A + AB = A
   $$
3. 消去法
   $$
   A + \overline{A}B = A + B
   $$
4. 配项法
   $$
   A = A(B + \overline{B})
   $$

### 卡诺图化简逻辑函数
卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：
1. 将逻辑函数化为最小项表达式；
2. 将最小项表达式填入卡诺图；
3. 将卡诺图中的$1$按$2^n$项的方式合并相邻项；
4. 读出合并后的最小项表达式。

卡诺图中相邻的项除了图中相邻外，还包括边界相邻。一个化简的例子是
$$
L(A,B,C,D) = ABCD + AB\overline{C}D + A\overline{B}C\overline{D} + \overline{A}BC\overline{D} + \overline{A}\overline{B}\overline{C}\overline{D}
$$
其卡诺图为

| CD/AB | 00  | 01  | 11  | 10  |
|-------|------|------|------|------|
| 00    |  1   |  0   |  0   |  0   |
| 01    |  0   |  0   |  1   |  0   |
| 11    |  0   |  0   |  1   |  0   |
| 10    |  0   |  1   |  0   |  1   |


注意到图中可合并的项为
$$
ABCD + AB\overline{C}D = ABD
$$
那么化简后的表达式为
$$
L(A,B,C,D) = ABD + A\overline{B}C\overline{D} + \overline{A}BC\overline{D}
$$

逻辑函数与卡诺图

# BJT开关电路
BJT开关电路如图

<center>
    <img src="/static/img/02e7eae348c597950ac88ebd5bffa771.image.webp" width=30%>
</center>



- 输入电压$v_I=0$时，只有很小的漏电流经过PN结，BJT截止，输出电压$v_O=V_{CC}$
- 输入电压$v_I=V_{CC}$时，$R_b$控制电流$i_b$达到临界值，BJT达到饱和，BJT导通，输出电压$v_O=0$

# TTL反相器
TTL反相器的结构如图

![image.png](/static/img/432144509152e9471ed468ad0c1fbe01.image.webp)

- 当输入低电平$0.2V$时，基极电压叠加上$V_{BE}=0.7V$达到$0.9V$，那么由于集电结的存在，它的集电极电压应当等于$0.9V$，使得$T_2,T_3$都截止，那么$T_4$导通，输出电压$v_O=3.6V$
- 当输入高电平$3.6V$时，基级的$V_{CC}$通过集电结向集电极提供电流，使得$T_2T_3$饱和导通，此时$v_{I4}=0.9V$无法使得$T_4$和二极管都导通，于是它们截止，输出电压$v_O=0.2V$

从而实现了反相功能。不过在工作中，BJT处于深度饱和状态，使得传输延迟较高。可以使用一个肖特基二极管并联在基极和集电极上，从而限制饱和深度，使得电路开关时间大大缩短