逻辑的基本概念

逻辑是用符合语法的语言来表示信息从而能够推理结论

1. 语法(Syntax) 定义语句所用的语言规范
2. 语义(Semantics) 定义语句的“含义”,即每个语句在每个可能世界的真值(True or False)

若定义语法为算数语法，那么合法的语句的一个例子是

而$x2+y$不符合算数语法，不是语句。在世界$x=7,y=1$中$x+2\geq y$为真，而在$x=0,y=6$的世界中该语句为假

模型

在逻辑学的描述中，变量是布尔的，也就是拥有两个取值，1和0，也即真和假

模型就是“可能的世界”的抽象描述，如三个布尔变量ABC，它们会构成8个可能的世界，也就是具有8个可能的模型

每个模型都代表着一个“世界”，即可能出现的情况（有点像随机事件发生的平行世界？）

蕴含

蕴含描述两个语句的关系

它的另一种解释是：在A为真的每个世界中B都为真。蕴含记为|=，A蕴含B即记为

如果令$W(A)$为所有使得$A$为真的世界的集合，$W(B)$为所有使得$B$为真的世界的集合，那么这两个集合是包含的关系

推断

推断是针对推理算法的，对一个语句执行推理算法可以得到另一个语句。记推理算法为I,则记

意为推理算法I从A导出了B。对于推理算法，我们关心的是它的可靠性与完备性

• 可靠性：假定算法I从A导出了B，经检验对于所有这样的A和B，都有A蕴含B（推导是对的）
  $$若A|-_IB则A|=B，称I可靠$$
• 完备性：若A蕴含B，则对A施加算法I一定能得到B
  $$若A|=B则A|-_IB，称I完备$$