圆锥曲线的蒙日圆

引子

对于椭圆，我们知道一个很经典的结论：

过一点P能作椭圆两条垂直切线，则P轨迹在一个圆上，称该圆为这个椭圆的蒙日圆

听着是不是特别玄乎，下面让我们证明一下

已知椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ，设 $P(x_0,y_0)$ ，切线 $y=k(x-x_0)+y_0$

\begin{aligned} &\begin{cases} &y=kx-(kx_0-y_0)\\\\ &b^2x^2+a^2x^2-a^2b^2=0 \end{cases} \\\\ &\Rightarrow (a^2k^2+b^2)x^2-2a^2k(kx_0-y_0)x+a^2(kx_0-y_0)^2-a^2b^2=0\\\\ &\Delta=4a^4k^2(kx_0-y_0)^2-4(a^2k^2+b^2)[a^2(kx_0-y_0)^2-a^2b^2]=0\\\\ &\Rightarrow a^4k^2(kx_0-y_0)^2-a^2(a^2k^2+b^2)(kx_0-y_0)^2+a^2b^2(a^2k^2+b^2)=0\\\\ &\Rightarrow -(kx_0-y_0)^2+a^2k^2+b^2=0\\\\ &\Rightarrow (a^2-x_0^2)k^2+2x_0y_0k-y_0^2+b^2=0\\\\ &\therefore k_1k_2=\frac{-y_0^2+b^2}{a^2-x_0^2}=-1\\\\ &\therefore x_0^2+y_0^2=a^2+b^2\\\\ &Q.E.D. \end{aligned}

常言道，抛物线就是一个被无限拉长的椭圆。那抛物线会不会也有“蒙日圆”呢？

不妨假设它有。既然抛物线是无限拉长的椭圆，那它的“蒙日圆”大概率就是一个被无限拉长的圆。无限拉长的圆？那不是一条直线吗？

下面来验证我们的猜想

已知抛物线 $y^2=2px,P(x_0,y_0)$ ，设切线 $x-x_0=m(y-y_0)$

\begin{aligned} &\begin{cases} &y^2=2px\\\\ &x=my-my_0+x_0 \end{cases}\\\\ &y^2-2pmy+2p(my_0-x_0)=0\\\\ &\Delta=4p^2m^2-8p(my_0-x_0)=0\\\\ &\Rightarrow pm^2-2y_0m+2x_0=0\\\\ &\therefore m_1m_2=\frac{2x_0}{p}=-1\\\\ &\therefore x_0=-\frac{x_0}{2} \end{aligned}

故P的轨迹是抛物线准线，还真是一条直线！

既然抛物线都能有，为什么双曲线不能有？

让我们做个更大胆的猜想

如果说抛物线是个拉长的椭圆，那你看这个双曲线。。。。。。

像不像个无限拉长并且绕回来的椭圆？

那它的“蒙日圆”？应该是套在中间的罢？

让我们来验证一下

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,P(x_0,y_0)$ ，设切线 $y-y_0=k(x-x_0)$

\begin{aligned} &\begin{cases} &b^2x^2-a^2y^2-a^2b^2=0\\\\ &y=kx-kx_0+y_0 \end{cases}\\\\ &\Rightarrow (b^2-a^2k^2)x^2+2a^2k(kx_0-y_0)x-a^2(kx_0-y_0)^2-a^2b^2=0\\\\ &\Delta=4a^4k^2(kx_0-y_0)^2+4(b^2-a^2k^2)[a^2(kx_0-y_0)^2+a^2b^2]=0\\\\ &\Rightarrow a^2k^2(kx_0-y_0)^2+(b^2-a^2k^2)[(kx_0-y_0)^2+b^2]=0\\\\ &\Leftrightarrow b^2(kx_0-y_0)^2-a^2b^2k^2+b^4=0\\\\ &\Rightarrow (x_0^2-a^2)k^2-2x_0y_0k+y_0^2+b^2=0\\\\ &\therefore k_1k_2=\frac{y_0^2+b^2}{x_0^2-a^2}=-1\\\\ &\therefore x_0^2+y_0^2=a^2-b^2 \end{aligned}

这不就夹在左右两支中间嘛！

经过上述讨论，我们发现三种圆锥曲线都有其对应的“蒙日圆”。由此，圆锥曲线的统一性可见一斑！