符号约定

逻辑变量用大写字母 $A,B,C,\cdots$ 表示，逻辑常数用 $0,1$ 表示。约定上划线表示逻辑非：

\overline{0} = 1, \quad \overline{1} = 0

用 + 表示逻辑或：

0 + 0 = 0, \quad 0 + 1 = 1, \quad 1 + 0 = 1, \quad 1 + 1 = 1

用 · 表示逻辑与：

0 \cdot 0 = 0, \quad 0 \cdot 1 = 0, \quad 1 \cdot 0 = 0, \quad 1 \cdot 1 = 1

用 ⊕ 表示逻辑异或：

0 \oplus 0 = 0, \quad 0 \oplus 1 = 1, \quad 1 \oplus 0 = 1, \quad 1 \oplus 1 = 0

基本定律

容易验证，单个的逻辑变量满足如下的定律：

以下多变量定律也是容易验证的：

交换律
$A + B = B + A, \quad A \cdot B = B \cdot A$
结合律
$A + (B + C) = (A + B) + C, \quad A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C$
分配律
$A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C, \quad A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$
吸收律
$A + A \cdot B = A, \quad A \cdot (A + B) = A$
反演律（摩根定律）
$\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}, \quad \overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$

A + \overline{A} \cdot B = A + B

证明：利用分配律：

A + \overline{A} \cdot B = (A + \overline{A}) \cdot (A + B) = 1 \cdot (A + B) = A + B

A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot B

证明：利用分配律：

A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot \overline{A} + A \cdot B = 0 + A \cdot B = A \cdot B

A \cdot B + \overline{A} \cdot C + B \cdot C = A \cdot B + \overline{A} \cdot C

证明：利用互补律：

A \cdot B + \overline{A} \cdot C + B \cdot C = A \cdot B + \overline{A} \cdot C + (A + \overline{A}) \cdot B \cdot C

利用分配律：

A \cdot B + \overline{A} \cdot C + (A + \overline{A}) \cdot B \cdot C = A \cdot B + \overline{A} \cdot C + A \cdot B \cdot C + \overline{A} \cdot B \cdot C

再反用分配律：

A \cdot B + \overline{A} \cdot C + A \cdot B \cdot C + \overline{A} \cdot B \cdot C = A \cdot B \cdot (1 + C) + \overline{A} \cdot C \cdot (1 + B)

利用恒等率：

A \cdot B \cdot (1 + C) + \overline{A} \cdot C \cdot (1 + B) = A \cdot B + \overline{A} \cdot C

在任意逻辑等式中，将某个变量全部替换为另一个逻辑表达式，等式仍然成立。

根据反演律，在求原函数 $L$ 的非函数时，可以对 $L$ 做如下变换：

\cdot \to +, \quad + \to \cdot, \quad 0 \to 1, \quad 1 \to 0, \quad A \to \overline{A}, \quad \overline{A} \to A

所得的函数即为 $L$ 的非函数。应用反演规则时需要注意，要保持原先的运算优先级，先与后或。例如：

\overline{A \cdot B + \overline{A} \cdot (B + C)} = (\overline{A} + \overline{B}) \cdot (A + \overline{B} \cdot \overline{C})

在任意逻辑等式中，将逻辑与和逻辑或互换，将逻辑常数 $0$ 和 $1$ 互换，等式仍然成立。例如：

A + \overline{A} \cdot B = A + B \iff A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot B

与反演规则类似，对偶规则也需要保持原先的运算优先级。

对于任意一个逻辑函数：

f(A,B,C,\cdots)

可以用如下的方式展开：

f(A,B,C,\cdots) = A \cdot f(1,B,C,\cdots) + \overline{A} \cdot f(0,B,C,\cdots)