逻辑函数的形式

逻辑函数基本表达形式

与或表达式

与或表达式是指由若干与项以或的形式连接起来的逻辑表达式，例如

也称之为“积之和”。

或与表达式

或与表达式是指由若干或项以与的形式连接起来的逻辑表达式，例如

也称之为“和之积”。

最小项

最小项是指一个乘积项，它包含了所有的逻辑变量，例如三个变量的最小项有

$n$个变量的最小项有$2^n$个。使一个最小项为$1$的变量取值是唯一的，将此作为最小项的编号，例如

最小项表达式

由若干最小项以或的形式连接起来的逻辑表达式称为最小项表达式，例如

最大项

最大项是指一个和项，它包含了所有的逻辑变量，例如三个变量的最大项有

$n$个变量的最大项有$2^n$个。使一个最大项为$0$的变量取值是唯一的，将此作为最大项的编号，例如

最大项表达式

由若干最大项以与的形式连接起来的逻辑表达式称为最大项表达式，例如

可以利用摩根定律将最小项表达式转化为最大项表达式，例如

卡诺图

可以用递归的方式定义卡诺图。对于单个变量，其卡诺图为

$\overline{A}$	$A$

添加一个变量，可以将其沿一个方向镜像一份，再填入新的变量

$\overline{A}\overline{B}$	$A\overline{B}$	$AB$	$\overline{A}B$

同样可以再添加一个变量

$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$	$A\overline{B}\overline{C}$	$AB\overline{C}$	$\overline{A}B\overline{C}$
$\overline{A}\overline{B}C$	$A\overline{B}C$	$ABC$	$\overline{A}BC$

还可以有四变量的卡诺图

$\overline{A}\overline{B}\overline{C}\overline{D}$	$A\overline{B}\overline{C}\overline{D}$	$AB\overline{C}\overline{D}$	$\overline{A}B\overline{C}\overline{D}$
$\overline{A}\overline{B}C\overline{D}$	$A\overline{B}C\overline{D}$	$ABC\overline{D}$	$\overline{A}BC\overline{D}$
$\overline{A}\overline{B}CD$	$A\overline{B}CD$	$ABCD$	$\overline{A}BCD$
$\overline{A}\overline{B}\overline{C}D$	$A\overline{B}\overline{C}D$	$AB\overline{C}D$	$\overline{A}B\overline{C}D$

如此定义的表格相邻两格仅有一个变量发生了变化。

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为了将表达式化为卡诺图，首先将表达式化为最小项表达式。每个最小项都对应卡诺图中的一格，将这些格填上$1$，其他格填上$0$。如对于表达式

其卡诺图为

CD/AB	00	01	11	10
00	1	0	0	0
01	0	0	1	0
11	0	0	1	0
10	0	1	0	1

最简表达式

若一个与-或表达式包含的乘积项最少，每个乘积项变量也最少，则称之为最简与-或表达式。

代数法化简逻辑函数

代数法化简逻辑函数通常结合使用下列四种方法：

1. 并项法
   $$A + \overline{A} = 1$$
2. 吸收法
   $$A + AB = A$$
3. 消去法
   $$A + \overline{A}B = A + B$$
4. 配项法
   $$A = A(B + \overline{B})$$

卡诺图化简逻辑函数

卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：

1. 将逻辑函数化为最小项表达式；
2. 将最小项表达式填入卡诺图；
3. 将卡诺图中的$1$按$2^n$项的方式合并相邻项；
4. 读出合并后的最小项表达式。

卡诺图中相邻的项除了图中相邻外，还包括边界相邻。一个化简的例子是

其卡诺图为

CD/AB	00	01	11	10
00	1	0	0	0
01	0	0	1	0
11	0	0	1	0
10	0	1	0	1

注意到图中可合并的项为

那么化简后的表达式为