这篇文章挺短的，因为我也不怎么会…(⊙_⊙;)…

引子

众所周知，用导数可以求一个函数的最值

如果...要求的东西不是函数呢？
比如：

a^2+b^2-2ab

一般的做法肯定是均值不等式：

a^2+b^2-2ab \ge 2ab-2ab =0

但如果复杂到均值不等式做不了呢？
大佬：“那就来一把柯西，没有一把柯西搞不定的东西，如果有，就用两把！”

当然，我们不是大佬，用一点蠢一点的办法，比如 ”偏微分“

栗子

我们会求单变量函数的最值，能不能想办法把两个变量化成一个变量呢？

不如我们先把 $b$ 当成常数，如果无论 $b$ 取何值， $a$ 原式永远在 $a$ 取同一个值时取到最小值，那么当原式取到最小值时， $a$ 一定等于这个值
$b$ 也是同理
这样我们只要把这两个值肝出来，问题就解决了嘛q(≧▽≦q)，至于方法，肯定是求导啊
看不懂？我们来试一下:

先把 $b$ 当成常数，求其导数：

{\partial \over \partial a}\cdot (a^2+b^2-2ab)=2a-2b

令其等于0:

\Rightarrow a=b

故 $a=b$ 时原式取到最小值(需要讨论，此处省略)

同样地，把 $a$ 当成常数，求其导数：

{\partial \over \partial b} (a^2+b^2-2ab)=2b-2a

令其等于0：

\Rightarrow a=b

故 $a=b$ 时原式取到最小值(需要讨论，此处省略)
综上所述， $a=b$ 时原式取到最小值，为0

注意到: $d\rightarrow \partial$ 了吗？ $d$ 表示常微分， $\partial$ 表示偏微分(微的都不是单变量函数了，当然得换一个)
至于为什么上面单独有一个 $\partial$ ,那是因为右边那一坨太大了，怼上去不好看，所以单独拿出来，只留一个 $\partial$ 在上面

本质

还是看不懂，那让我们看看偏微分的本质

函数为什么一定是一个单变量的呢？为什么不能有两个自变量呢？
当然可以，专业点，这个东西叫 二元函数

既然是个函数，就可以化它的图像啦，不如看看 $f(x,y)=x^2+y^2-2xy$ 的图像：

这玩意变成一个立体图了！o((⊙﹏⊙))o. 联系一下一元函数取最值的情况——切线水平
不难推测，二元函数取最值的情况是：切面水平
切面水平，怎么表示呢？

显然，如果一个平面和一个曲面相切，过切点的任何一个面截这两个面所得的直线和曲线一定相切，反之亦然 (此处不严谨)
所以我们只要找两条直线就好啦~
所以我们只要找两个截面就行啦~
截面当然是沿x轴一个沿y轴一个最方便啦~
要问x轴上的截面截得的两条线的解析式当然令x等于一个固定值就行啦，y轴也一样~
看不懂，没关系把x当成常数，导数就是这个曲面在沿x截面截得的曲线的切点的斜率随y变化的关系
反之亦然
我们只需要令这两个导数等于0，就确定了水平两条相交直线，并且这两条直线还与图像相切
这样就确定了水平的切面
进而就可以求出最大值

以上部分看懂了最好，看不懂也没关系（因为我写的也很绕(。_。)）但只要记住：

把一个变量当常数，求导，令导数等于0，得到一条方程
把另一个变量当常数，求导，令导数等于0，得到另一条方程
......
解这些方程，得到个个变量的值
把这些值带入原式，得到最值(此处还需讨论一下)

就可以使用了

应用

有了这么强大的工具，我们干点什么好呢？
不如来推导一下回归直线的最小二乘法的公式~

有一堆点：

(x_1,y_1) , (x_2,y_2) , (x_3,y_3) ... (x_n,y_n)

设回归直线为

y=ax+b

那么原来的点在直线上就是：

(x_1,ax_1+b) , (x_2,ax_2+b) , (x_3,ax_3+b) ... (x_n,ax_n+b)

纵坐标的方差(类似？)的n倍就是：

\begin{aligned} n\sigma^2 &=\sum_{i=1}^n (ax_i+b-y_i)^2=a^2\sum_{i=1}^n x_i^2+2ab\sum_{i=1}^nx_i-2a\sum_{i=1}^nx_iy_i+nb^2+\sum_{i=1}^ny_i^2-2b\sum_{i=1}^ny_i\\ &=a^2\sum_{i=1}^n x_i^2+2nab\overline x-2a\sum_{i=1}^nx_iy_i+nb^2+\sum_{i=1}^ny_i^2-2nb\overline y \end{aligned}

当其取到最小值时，偏导数为0
对 $a$ 求偏导：

{\partial (n\sigma^2)\over \partial a} = 2a\sum_{i=1}^nx_i^2+2nb\overline x-2\sum_{i=1}^nx_iy_i

令其等于零：

\Rightarrow a\sum_{i=1}^nx_i^2+nb\overline x-\sum_{i=1}^nx_iy_i=0·····(1)

对 $b$ 求偏导：

{\partial (n\sigma^2)\over \partial b} = 2na\overline x+2nb-2n\overline y\\

令其等于0：

\Rightarrow a\overline x+b=\overline y \Rightarrow b=\overline y-a\overline x

代入(1)式得：

a\sum_{i=1}^nx_i^2+n\overline x(\overline y-ax\overline )-\sum_{i=1}^nx_iy_i=0\\ \Rightarrow a={\sum_{i=1}^n x_iy_i-n\overline x\overline y\over \sum_{i=1}^n x_i^2-n\overline x^2}

推导完成，完结撒花 ✿✿ヽ(°▽°)ノ✿

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