1 Heisenberg 图像
不同于薛定谔图像, 海森堡图像中量子态是固定的, 物理量算符随时间演化. 不妨记系统的量子态为
|
𝜓
⟩
,𝑡
时刻物理量算符 𝐴 测量得到的结果为其某个本征态
𝛼
𝑗
的概率为
𝑃
𝑗
=
𝛼
𝑗
𝑈(𝑡)
|
𝜓
⟩
2
不同于薛定谔图像中将时间演化算子 𝑈(𝑡) 作用在态矢量上, 此时将其作用于
𝛼
𝑗
𝛼
𝑗
(𝑡)
≡
𝛼
𝑗
𝑈(𝑡)
取其共轭得到
𝛼
𝑗
(𝑡)
= 𝑈
†
(𝑡)
𝛼
𝑗
那么由于 𝐴 可以在自身本征态下展开为
𝐴 =
Õ
𝑗
𝑎
𝑗
𝛼
𝑗
𝛼
𝑗
那么 𝑡 时刻的算符 𝐴 就是
𝐴(𝑡) =
Õ
𝑗
𝑎
𝑗
𝛼
𝑗
(𝑡)
𝛼
𝑗
(𝑡)
代入
𝛼
𝑗
(𝑡)
与
𝛼
𝑗
(𝑡)
的表达式得到
𝐴(𝑡) = 𝑈
†
(𝑡) 𝐴𝑈(𝑡)
鉴于 𝐴 可能是含时的, 那么
𝐴
𝐻
(𝑡) = 𝑈
†
(𝑡) 𝐴(𝑡)𝑈(𝑡)
2 Heisenberg 运动方程
对上一节的 𝐴
𝐻
(𝑡) 对时间求导得到
d𝐴
𝐻
(𝑡)
d𝑡
=
𝜕𝑈
†
(
𝑡
)
𝜕𝑡
𝐴𝑈(𝑡) + 𝑈
†
(𝑡) 𝐴
𝜕𝑈
(
𝑡
)
𝜕𝑡
+ 𝑈
†
(𝑡)
𝜕 𝐴
(
𝑡
)
𝜕𝑡
𝑈(𝑡)
鉴于时间演化算子 𝑈(𝑡) 满足薛定谔方程 (这何尝不是一种 ntr)
𝜕𝑈 (𝑡)
𝜕𝑡
= −
𝑖
ℏ
𝐻(𝑡)𝑈 (𝑡)
代入就得到
d𝐴
𝐻
(𝑡)
d
𝑡
= −
𝑖
ℏ
𝑈
†
(𝑡)𝐻 𝐴𝑈(𝑡) +
𝑖
ℏ
𝑈
†
(𝑡) 𝐴𝐻𝑈 (𝑡) + 𝑈
†
(𝑡)
𝜕 𝐴(𝑡)
𝜕𝑡
𝑈(𝑡)
不妨记
𝐴
𝐻
(𝑡) = 𝑈
†
(𝑡) 𝐴𝑈(𝑡), 𝐻
𝐻
(𝑡) = 𝑈
†
(𝑡)𝐻 (𝑡)𝑈(𝑡),
𝜕 𝐴(𝑡)
𝜕𝑡
𝐻
= 𝑈
†
(𝑡)
𝜕 𝐴(𝑡)
𝜕𝑡
𝑈(𝑡)
那么可以用对易子改写
d𝐴
𝐻
(𝑡)
d𝑡
=
𝑖
ℏ
[𝐴
𝐻
(𝑡), 𝐻
𝐻
(𝑡)] +
𝜕 𝐴(𝑡)
𝜕𝑡
𝐻
即海森堡运动方程
3 期望与守恒量
考虑期望的定义
⟨
𝐴(𝑡)
⟩
=
Õ
𝑗
𝑎
𝑗
𝑃
𝑗
=
Õ
𝑗
𝑎
𝑗
𝛼
𝑗
𝑈(𝑡)
|
𝜓
⟩
2
=
Õ
𝑗
𝑎
𝑗
⟨
𝜓
|
𝑈
†
(𝑡)
𝛼
𝑗
𝛼
𝑗
𝑈(𝑡)
|
𝜓
⟩
鉴于
𝐴 =
Õ
𝑗
𝑎
𝑗
𝛼
𝑗
𝛼
𝑗
, 𝐴
𝐻
(𝑡) = 𝑈
†
(𝑡) 𝐴𝑈(𝑡)
那么
⟨
𝐴(𝑡)
⟩
=
⟨
𝜓
|
𝐴
𝐻
(𝑡)
|
𝜓
⟩
那么如果将态写为密度矩阵 𝜌, 其期望也应与薛定谔图像中一样, 参见密度矩阵章节即可
⟨
𝐴(𝑡)
⟩
= 𝑡𝑟 (𝜌 𝐴
𝐻
(𝑡))
如果对于任意的密度矩阵 𝜌, 都有
d
d𝑡
⟨
𝐴(𝑡)
⟩
= 0
则称 𝐴 为守恒量. 实际上由于密度矩阵不随时间演化, 那么上式就是
d
d𝑡
𝑡𝑟 (𝐴
𝐻
(𝑡)) = 𝑡𝑟
d𝐴
𝐻
(𝑡)
d𝑡
= 0
而由海森堡运动方程可得
d
d𝑡
𝑡𝑟
(
𝐴
𝐻
(𝑡)) = 𝑡𝑟
"
𝑖
ℏ
[
𝐴
𝐻
(𝑡), 𝐻
𝐻
(𝑡)] +
𝜕 𝐴(𝑡)
𝜕𝑡
𝐻
#
=
0
如果物理量 𝐴 不含时, 则要求
𝐴
𝐻
, 𝐻
𝐻
= 0
海森堡图像允许抛开态矢量来谈论物理量
