1 von Neumann 的测量方案
假定有两个系统, 一个是被测的系统 𝑄, 另一个是用于测量的仪器 𝑀. 可以在 ℋ
𝑄
与 ℋ
𝑀
空间中分别描
述它们, 那么量体的量子态处于直积空间中
ℋ
𝑄
⊗ ℋ
𝑀
将仪器的初态制备为 𝜑, 被测系统 𝑄 的观测量记为 𝐴,𝐴 算符可以以自己的本征态
|
𝛼
⟩
为基展开
𝐴 =
Õ
𝑖
𝑎
𝑖
|
𝛼
𝑖
⟩ ⟨
𝛼
𝑖
|
测量过程是 𝑄 与 𝑀 相互作用共同演化的过程, 设时间演化算子为 𝑈, 那么测量过程可以写为
|
𝛼
𝑖
⟩
⊗
|
𝜑
⟩
𝑈
−→ 𝑈 (
|
𝛼
𝑖
⟩
⊗
|
𝜑
⟩
) =
|
𝛼
𝑖
⟩
⊗
|
𝛽
𝑖
⟩
其中
|
𝛽
𝑖
⟩
是仪器 𝑀 指针观测量的本征态, 表征测量结果, 不同的测量结果对应不同的
|
𝛽
𝑖
⟩
, 意味着
|
𝛽
𝑖
⟩
彼此正交
当被测系统 𝑄 处于叠加态
|
𝜓
⟩
=
Õ
𝑖
𝑐
𝑖
|
𝛼
𝑖
⟩
那么两体系统的演化为
|
𝜓
⟩
⊗
|
𝜑
⟩
𝑈
−→ 𝑈 (
|
𝜓
⟩
⊗
|
𝜑
⟩
) =
Õ
𝑖
𝑐
𝑖
|
𝛼
𝑖
⟩
⊗
|
𝛽
𝑖
⟩
被测系统和仪器共同演化为了一个纠缠态, 然后仪器的指针观测量将给出明确的值, 即观测结果
2 简化的测量模型
设系统和仪器都是双值系统, 分别以它们的 𝑧 方向自旋为基, 其相互作用的 Hamilton 量可以表示为
𝐻 = −ℏ𝑔𝜎
𝑧
⊗ 𝜎
𝑦
哈密顿量不含时, 那么可以给出时间演化算子
𝑈(𝜏) = exp
−
𝑖
ℏ
𝐻𝑡
=
©
«
cos 𝜏 sin 𝜏 0 0
− sin 𝜏 cos 𝜏 0 0
0 0 cos 𝜏 − sin 𝜏
0 0 sin 𝜏 cos 𝜏
ª
®
®
®
®
®
¬
, 𝜏 = 𝑔𝑡
系统的初态为
|
𝜓
⟩
⊗
|
𝜑
⟩
, 设
|
𝜓
⟩
= 𝑎
0
|
0
⟩
+ 𝑎
1
|
1
⟩
,
|
𝜑
⟩
= 𝑏
0
|
0
⟩
+ 𝑏
1
|
1
⟩
其密度矩阵为
𝜌 =
©
«
|𝑎
0
𝑏
0
|
2
|𝑎
0
|
2
𝑏
∗
0
𝑏
1
|𝑏
0
|
2
𝑎
∗
0
𝑎
1
𝑎
∗
0
𝑏
∗
0
𝑎
1
𝑏
1
|𝑎
0
|
2
𝑏
∗
1
𝑏
0
|𝑎
0
𝑏
1
|
2
𝑎
∗
1
𝑏
∗
0
𝑎
0
𝑏
1
|𝑏
1
|
2
𝑎
∗
0
𝑎
1
|𝑏
0
|
2
𝑎
∗
1
𝑎
0
𝑎
∗
1
𝑏
∗
1
𝑎
0
𝑏
1
|𝑎
1
𝑏
0
|
2
|𝑎
1
|
2
𝑏
∗
0
𝑏
1
𝑎
∗
1
𝑏
∗
1
𝑎
0
𝑏
0
|𝑏
1
|
2
𝑎
∗
1
𝑎
0
|𝑎
1
|
2
𝑏
∗
1
𝑏
0
|𝑎
1
𝑏
1
|
2
ª
®
®
®
®
®
¬
施加变换得到
𝜌(𝜏) = 𝑈(𝜏) 𝜌𝑈
†
(𝜏)
由于矩阵过于复杂, 在此不做展示. 若取
|
𝜑
⟩
=
|
0
⟩
, 那么
𝜌(𝜏) =
©
«
|𝑎
0
|
2
cos
2
𝜏 −|𝑎
0
|
2
cos 𝜏 sin 𝜏 𝑎
∗
0
cos
2
𝜏 𝑎
1
−𝑎
∗
0
cos 𝜏 sin 𝜏 𝑎
1
−|𝑎
0
|
2
cos 𝜏 sin 𝜏 |𝑎
0
|
2
sin
2
𝜏 −𝑎
∗
0
cos 𝜏 sin 𝜏 𝑎
1
−𝑎
∗
0
sin
2
𝜏 𝑎
1
𝑎
∗
1
cos
2
𝜏 𝑎
0
−𝑎
∗
1
cos 𝜏 sin 𝜏 𝑎
0
|𝑎
1
|
2
cos
2
𝜏 |𝑎
1
|
2
cos 𝜏 sin 𝜏
𝑎
∗
1
cos 𝜏 sin 𝜏 𝑎
0
−𝑎
∗
1
sin
2
𝜏 𝑎
0
|𝑎
1
|
2
cos 𝜏 sin 𝜏 |𝑎
1
|
2
sin
2
𝜏
ª
®
®
®
®
®
¬
对 𝑄 求迹得到 𝑀 的局部密度矩阵
𝜌
𝑀
(𝜏) = 𝑇𝑟
𝑄
𝜌(𝜏) =
cos
2
𝜏
−1 + 2|𝑎
1
|
2
cos 𝜏 sin 𝜏
−
1
+
2
|
𝑎
1
|
2
cos
𝜏
sin
𝜏
sin
2
𝜏
!
此时可以取三个不同的观测量为指针观测量. 假定选取 𝑧 方向自旋, 测量结果显然是
𝑝(𝑧+) = cos
2
𝜏, 𝑝(𝑧−) = sin
2
𝜏
这非常平凡, 不带有任何关于 𝑄 的信息
不过若是选择 𝑥 方向自旋作为指针观测量, 那么
𝑝(𝑥+) =
1
2
− cos 𝜏 sin 𝜏 + |𝑎
1
|
2
sin 2𝜏, 𝑝(𝑥−) =
1
2
+ cos 𝜏 sin 𝜏 − |𝑎
1
|
2
sin 2𝜏
为了得到测量后的密度矩阵, 有投影算子
𝑀𝑄
+
=
1
2
1 1
1 1
!
, 𝑀𝑄
−
=
1
2
1 −1
−1 1
!
那么两体系统的投影算子为
𝑀
+
= I ⊗ 𝑀𝑄
+
=
1
2
©
«
1 1 0 0
1 1 0 0
0 0 1 1
0 0 1 1
ª
®
®
®
®
®
¬
, 𝑀
−
= I ⊗ 𝑀𝑄
−
=
1
2
©
«
1 −1 0 0
−1 1 0 0
0 0 1 −1
0 0 −1 1
ª
®
®
®
®
®
¬
测量后的密度矩阵就是
𝜌(𝜏)
′
= 𝑀
+
𝜌(𝜏) 𝑀
+
+ 𝑀
−
𝜌(𝜏) 𝑀
−
=
©
«
1
2
|𝑎
0
|
2
−|𝑎
0
|
2
cos 𝜏 sin 𝜏
1
2
𝑎
∗
0
cos 2𝜏 𝑎
1
0
−|𝑎
0
|
2
cos 𝜏 sin 𝜏
1
2
|𝑎
0
|
2
0
1
2
𝑎
∗
0
cos 2𝜏 𝑎
1
1
2
𝑎
∗
1
cos 2𝜏 𝑎
0
0
1
2
|𝑎
1
|
2
|𝑎
1
|
2
cos 𝜏 sin 𝜏
0
1
2
𝑎
∗
1
cos 2𝜏 𝑎
0
|𝑎
1
|
2
cos 𝜏 sin 𝜏
1
2
|𝑎
1
|
2
ª
®
®
®
®
®
¬
对 𝑄 求迹得到 𝑀 的局部密度矩阵
𝜌
𝑀
(𝜏)
′
= 𝑇𝑟
𝑄
𝜌(𝜏)
′
=
|𝑎
0
|
2
𝑎
0
𝑎
∗
1
cos 2𝜏
𝑎
∗
0
𝑎
1
cos 2𝜏 |𝑎
1
|
2
!
可以对比未经测量的密度矩阵
𝜌
𝐴
=
|𝑎
0
|
2
𝑎
∗
0
𝑎
1
𝑎
0
𝑎
∗
1
|𝑎
1
|
2
!
可见其相干性下降了, 此时对应非理想测量. 更进一步若是取 𝜏 =
𝜋
4
, 那么
𝑝(𝑥+) = |𝑎
1
|
2
, 𝑝 (𝑥−) = |𝑎
2
|
2
这正是理想测量, 此时测量后的密度矩阵为
𝜌
′
=
|𝑎
0
|
2
0
0 |𝑎
1
|
2
!
变为混合态, 丧失了所有相干性
