测量
目录
1 物理量的测量 2
2 不确定性关系 2
2.1 对易关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 对易算符 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 不对易算符 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 不确定性关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1
1 物理量的测量
对于一个物理量 𝐴, 它的本征矢为
|
𝑎
′
⟩
, 那么任意的态
|
𝛼
⟩
都可以用它展开
|
𝛼
⟩
=
Õ
𝑎
′
|
𝑎
′
⟩ ⟨
𝑎
′
|𝛼
⟩
测量将会得到本征矢中的一个, 并且在
测量完成后, 态将会变为测量得到的本征矢
. 展开系数的平方就是
测量得到该本征矢的概率
𝑝(𝑎
′
) =
|⟨
𝑎
′
|𝛼
⟩|
2
定义物理量的平均值为
⟨
𝐴
⟩
≡
⟨
𝛼
|
𝐴
|
𝛼
⟩
这是因为由于完备性关系
⟨
𝛼
|
𝐴
|
𝛼
⟩
=
Õ
𝑎
′
,𝑎
′′
⟨
𝛼|𝑎
′
⟩ ⟨
𝑎
′
|
𝐴
|
𝑎
′′
⟩ ⟨
𝑎
′′
|𝛼
⟩
=
Õ
𝑎
′
𝑎
′
|⟨
𝑎
′
|𝛼
⟩|
2
=
Õ
𝑎
′
𝑎
′
𝑝(𝑎
′
)
它是本征值的加权平均值. 对于厄米算符, 它的本征值是实数, 那么平均值也是实数
2 不确定性关系
考虑自旋
1
2
系统
,
以
|
𝑆
𝑧
;
±
⟩
(
简记为
|
±
⟩
)
为基矢
,
那么
|
𝑆
𝑥
;
+
⟩
在该基矢下测量的概率应该是相等的二分
之一
|⟨
+|𝑆
𝑥
; +
⟩|
2
=
|⟨
−|𝑆
𝑥
; +
⟩|
2
=
1
2
即
|⟨
+|𝑆
𝑥
; +
⟩|
=
|⟨
−|𝑆
𝑥
; +
⟩|
=
1
√
2
因而可以利用
|
±
⟩
构造
|
𝑆
𝑥
; +
⟩
|
𝑆
𝑥
; +
⟩
=
1
√
2
|
+
⟩
+
1
√
2
𝑒
𝑖 𝛿
1
|
−
⟩
其中 𝛿
1
为实数. 实际上这两个系数都应该是复数, 不过利用 𝛿
1
已经足够表示相位差了, 因而方便起见将
第一个系数取为 1
|
𝑆
𝑥
; −
⟩
应该与
|
𝑆
𝑥
; +
⟩
正交, 那么可以由
|
𝑆
𝑥
; +
⟩
构造
|
𝑆
𝑥
; −
⟩
=
1
√
2
|
+
⟩
−
1
√
2
𝑒
𝑖 𝛿
1
|
−
⟩
因而就可以写出 𝑆
𝑥
算符
𝑆
𝑥
=
ℏ
2
|
𝑆
𝑥
; +
⟩ ⟨
𝑆
𝑥
; +
|
−
|
𝑆
𝑥
; −
⟩ ⟨
𝑆
𝑥
; −
|
=
ℏ
2
𝑒
−𝑖 𝛿
1
|
+
⟩ ⟨
−
|
+ 𝑒
𝑖 𝛿
1
|
−
⟩ ⟨
+
|
同样可以写出算符 𝑆
𝑦
和它的本征矢
𝑆
𝑦
; ±
=
1
√
2
|
+
⟩
±
1
√
2
𝑒
𝑖 𝛿
2
|
−
⟩
𝑆
𝑦
=
ℏ
2
𝑒
−𝑖 𝛿
2
|
+
⟩ ⟨
−
|
+ 𝑒
𝑖 𝛿
2
|
−
⟩ ⟨
+
|
希望寻找到 𝛿
𝑥
与 𝛿
𝑦
的关系. 由于对称性, 在 𝑆
𝑦
的本征矢下测量 𝑆
𝑥
的概率应该也是相等的
𝑆
𝑦
; ±|𝑆
𝑥
; +
=
𝑆
𝑦
; ±|𝑆
𝑥
; −
=
1
√
2
代入用
|
±
⟩
表示的各矢量, 得到
1
2
1 ± 𝑒
𝑖 (𝛿
1
−𝛿
2
)
=
1
√
2
该式成立当且仅当
𝛿
1
− 𝛿
2
= ±
𝜋
2
也就是说 𝑆
𝑥
与 𝑆
𝑦
不可能同时为实数. 不妨令 𝑆
𝑥
为实数
|
𝑆
𝑥
; ±
⟩
=
1
√
2
|
+
⟩
±
1
√
2
|
−
⟩
取 𝛿
2
=
𝜋
2
, 得到
𝑆
𝑦
; ±
=
1
√
2
|
+
⟩
±
𝑖
√
2
|
−
⟩
那么 𝑆
𝑥
, 𝑆
𝑦
算符就可以写为
𝑆
𝑥
=
ℏ
2
|
+
⟩ ⟨
−
|
−
|
−
⟩ ⟨
+
|
𝑆
𝑦
=
ℏ
2
−𝑖
|
+
⟩ ⟨
−
|
+𝑖
|
−
⟩ ⟨
+
|
升降算符就可以用它们写为
𝑆
±
= 𝑆
𝑥
±𝑖𝑆
𝑦
定义运算
[𝐴, 𝐵] ≡ 𝐴𝐵 − 𝐵 𝐴, {𝐴, 𝐵} ≡ 𝐴𝐵 + 𝐵 𝐴
那么 𝑆
𝑥
, 𝑆
𝑦
, 𝑆
𝑧
就满足
[𝑆
𝑖
, 𝑆
𝑗
] = 𝑖ℏ𝜖
𝑖 𝑗 𝑘
𝑆
𝑘
, {𝑆
𝑖
, 𝑆
𝑗
} =
1
2
ℏ
2
𝛿
𝑖 𝑗
其中 𝜖
𝑖 𝑗 𝑘
定义如下
𝜖
123
= 1, 𝜖
213
= −1, 𝜖
𝑖𝑖 𝑗
= 0
下标的轮换顺序也一样, 即
𝜖
𝑖 𝑗 𝑘
= 𝜖
𝑗 𝑘𝑖
= 𝜖
𝑘𝑖 𝑗
可以定义角动量平方算符
S
2
≡ 𝑆
2
𝑥
+ 𝑆
2
𝑦
+ 𝑆
2
𝑧
=
3
4
ℏ
2
𝐼
显然它满足
[S
2
, 𝑆
𝑖
] = 0
2.1 对易关系
若两个算符 𝐴, 𝐵, 它们满足
[𝐴, 𝐵] = 0
则称它们是对易的; 若
[𝐴, 𝐵] ≠ 0
则称它们是不对易的. 如 S
2
与 𝑆
𝑥
对易,𝑆
𝑥
与 𝑆
𝑧
不对易
2.1.1 对易算符
若两个算符 𝐴𝐵 对易, 并且 𝐴 的本征值不简并, 则
⟨
𝑎
′
|
[𝐴, 𝐵]
|
𝑎
′′
⟩
=
⟨
𝑎
′
|
(𝐴𝐵 − 𝐵𝐴)
|
𝑎
′′
⟩
= 𝑎
′
⟨
𝑎
′
|
𝐵
|
𝑎
′′
⟩
− 𝑎
′′
⟨
𝑎
′
|
𝐵
|
𝑎
′′
⟩
= (𝑎
′
− 𝑎
′′
)
⟨
𝑎
′
|
𝐵
|
𝑎
′′
⟩
= 0
因而当 𝑎
′′
≠ 𝑎
′
时
⟨
𝑎
′
|
𝐵
|
𝑎
′′
⟩
= 0, 因而算符 𝐵 在基矢
|
𝑎
⟩
下的矩阵
⟨
𝑎
′
|
𝐵
|
𝑎
′′
⟩
是一个对角阵
𝐵 =
𝑎
(1)
𝐵
𝑎
(1)
.
.
.
𝑎
(𝑁 )
𝐵
𝑎
(𝑁 )
这实际上就是说
𝐵 的本征矢与 𝐴 的本征矢是一样的. 这是因为对于 𝐴 的本征矢
|
𝑎
′
⟩
𝐵
|
𝑎
′
⟩
=
Õ
𝑎
′′
|
𝑎
′′
⟩ ⟨
𝑎
′′
|
𝐵
|
𝑎
′′
⟩ ⟨
𝑎
′′
|𝑎
′
⟩
=
|
𝑎
′
⟩ ⟨
𝑎
′
|
𝐵
|
𝑎
′
⟩ ⟨
𝑎
′
|𝑎
′
⟩
=
⟨
𝑎
′
|
𝐵
|
𝑎
′
⟩ |
𝑎
′
⟩
也就是说 𝐵 的本征矢是
|
𝑎
′
⟩
, 其对应的本征值为
⟨
𝑎
′
|
𝐵
|
𝑎
′
⟩
𝑏
′
=
⟨
𝑎
′
|
𝐵
|
𝑎
′
⟩
|
𝑎
′
⟩
称为 𝐴, 𝐵 的共同本征矢, 为表示共同, 将其记为
|
𝑎
′
, 𝑏
′
⟩
该记法在有简并时是必要的. 一个例子是对于原子而言, 总角动量与 𝑧 方向角动量是对易的
[L
2
, 𝐿
𝑧
] = 0
它们分别为
L
2
= ℏ
2
𝑙(𝑙 + 1), 𝐿
𝑧
= 𝑚
𝑙
ℏ, 𝑚
𝑙
= −𝑙, −𝑙 + 1, ··· , 𝑙 − 1, 𝑙
仅有 𝑙, 𝑚
𝑙
同时确定时, 态才是确定的. 因而唯一确定的所有本征态为
|
𝑙, 𝑚
𝑙
⟩
同样地, 若还有更多的对易算符, 则可以继续表示为
|
𝐾
′
⟩
=
|
𝑎
′
, 𝑏
′
, 𝑐
′
, ···
⟩
它们对应的物理量算符都是对易的
[𝐴, 𝐵] = [𝐴, 𝐶] = [𝐵, 𝐶] = ··· = 0
假设我们找到了最大的对易集合, 那么这个集合的本征矢就是唯一确定的态. 这个集合称为完全集
由于对易算符具有相同的本征矢, 因而若 𝐴, 𝐵 对易, 对 𝐴 的测量并不会对 𝐵 的测量产生影响, 因为无论
何种测量顺序, 总会得到同一个本征态
2.1.2 不对易算符
若两个算符 𝐴, 𝐵 不对易, 则不能找到一系列完备的共同本征矢. 这由反证法证明. 假设 𝐴, 𝐵 有共同的本
征矢
|
𝑎
′
, 𝑏
′
⟩
, 那么显然应该有
𝐴𝐵
|
𝑎
′
, 𝑏
′
⟩
= 𝐴𝑏
′
|
𝑎
′
, 𝑏
′
⟩
= 𝑎
′
𝑏
′
|
𝑎
′
, 𝑏
′
⟩
𝐵𝐴
|
𝑎
′
, 𝑏
′
⟩
= 𝐵𝑎
′
|
𝑎
′
, 𝑏
′
⟩
= 𝑎
′
𝑏
′
|
𝑎
′
, 𝑏
′
⟩
因而
𝐴𝐵
|
𝑎
′
, 𝑏
′
⟩
= 𝐵𝐴
|
𝑎
′
, 𝑏
′
⟩
这也就是说 [𝐴, 𝐵] = 0, 与题设矛盾. 但是对于不对易算符, 仍然可能找到一些共同本征矢, 只是它们不是
完备的. 例如对于原子的 𝑠 态, 它是 𝐿
𝑥
和 𝐿
𝑦
的共同本征态, 并且具有相同的本征值 0, 但是 𝐿
𝑥
与 𝐿
𝑦
并
不对易
考虑一个量子过程: 首先进行物理量 𝐴 的测量, 量子态将会坍缩到一系列 𝐴 的本征态
|
𝑎
′
⟩
上; 然后进行
物理量 𝐵 的测量, 量子态将会坍缩到 𝐵 的本征态
|
𝑏
′
⟩
上; 最后进行物理量 𝐶 的测量, 量子态将会坍缩到
𝐶 的本征态
|
𝑐
′
⟩
上
希望考察对于一个 𝐴 本征态
|
𝑎
′
⟩
, 经过上述操作坍缩到 𝐶 的一个本征态
|
𝑐
′
⟩
的概率. 这可以对 𝐵 的全部
本征态进行求和得到
|
𝑎
′
⟩
坍缩到
|
𝑏
′
⟩
的概率为
𝑝(𝑏
′
) =
|⟨
𝑏
′
|𝑎
′
⟩|
2
|
𝑏
′
⟩
坍缩到
|
𝑐
′
⟩
的概率为
𝑝(𝑐
′
) =
|⟨
𝑐
′
|𝑏
′
⟩|
2
那么
|
𝑎
′
⟩
坍缩到
|
𝑐
′
⟩
的概率为
Õ
𝑏
′
|⟨
𝑏
′
|𝑎
′
⟩|
2
|⟨
𝑐
′
|𝑏
′
⟩|
2
=
Õ
𝑏
′
⟨
𝑎
′
|𝑏
′
⟩ ⟨
𝑏
′
|𝑐
′
⟩ ⟨
𝑐
′
|𝑏
′
⟩ ⟨
𝑏
′
|𝑎
′
⟩
考虑另一种情况: 不对 𝐵 进行测量, 在 𝐴 的本征态
|
𝑎
′
⟩
下直接测量 𝐶, 那么一个 𝐴 本征态
|
𝑎
′
⟩
坍缩到 𝐶
的一个本征态
|
𝑐
′
⟩
的概率为
|⟨
𝑐
′
|𝑎
′
⟩|
2
=
Õ
𝑏
′
⟨
𝑐
′
|𝑏
′
⟩ ⟨
𝑏
′
|𝑎
′
⟩
2
=
Õ
𝑏
′
Õ
𝑏
′′
⟨
𝑐
′
|𝑏
′
⟩ ⟨
𝑏
′
|𝑎
′
⟩ ⟨
𝑎
′
|𝑏
′′
⟩ ⟨
𝑏
′′
|𝑐
′
⟩
这两种情况显然是不同的. 但是当 𝐴, 𝐵 对易时,
⟨
𝑏
′
|𝑎
′
⟩ ⟨
𝑎
′
|𝑏
′′
⟩
≠ 0
当且仅当 𝑏
′
= 𝑏
′′
, 因而
Õ
𝑏
′
Õ
𝑏
′′
⟨
𝑐
′
|𝑏
′
⟩ ⟨
𝑏
′
|𝑎
′
⟩ ⟨
𝑎
′
|𝑏
′′
⟩ ⟨
𝑏
′′
|𝑐
′
⟩
=
Õ
𝑏
′
⟨
𝑐
′
|𝑏
′
⟩ ⟨
𝑏
′
|𝑎
′
⟩ ⟨
𝑎
′
|𝑏
′
⟩ ⟨
𝑏
′
|𝑐
′
⟩
这两种情况等价. 同样地, 当 𝐵, 𝐶 对易时, 这两种情况也等价
2.2 不确定性关系
给定一个物理量 𝐴, 定义运算
Δ𝐴 ≡ 𝐴 −
⟨
𝐴
⟩
那么
(Δ𝐴)
2
=
𝐴
2
−
⟨
𝐴
⟩
2
这就是 𝐴 的色散, 也就是统计意义上的方差
对于二自旋系统, 取 𝑧 方向的自旋本征态,𝑥 方向自旋算符可以表示为
𝑆
𝑥
=
ℏ
2
|
+
⟩ ⟨
−
|
−
|
−
⟩ ⟨
+
|
考虑到
⟨
+|−
⟩
=
⟨
−|+
⟩
= 0, 那么 𝑆
2
𝑥
就为
𝑆
2
𝑥
=
ℏ
2
4
|
+
⟩ ⟨
−
|
−
|
−
⟩ ⟨
+
|
|
+
⟩ ⟨
−
|
−
|
−
⟩ ⟨
+
|
=
ℏ
2
4
|
+
⟩ ⟨
+
|
+
|
−
⟩ ⟨
−
|
因而
|
+
⟩
的 𝑆
2
𝑥
的平均值为
𝑆
2
𝑥
=
⟨
+
|
𝑆
2
𝑥
|
+
⟩
=
ℏ
2
4
而
⟨
𝑆
𝑥
⟩
=
⟨
+
|
𝑆
𝑥
|
+
⟩
= 0
因而
(Δ𝑆
𝑥
)
2
=
𝑆
2
𝑥
−
⟨
𝑆
𝑥
⟩
2
=
ℏ
2
4
而对于算符 𝑆
𝑧
, 它在本征态
|
±
⟩
下可以写为
𝑆
𝑧
=
ℏ
2
|
+
⟩ ⟨
+
|
−
|
−
⟩ ⟨
−
|
因而
𝑆
2
𝑧
=
ℏ
2
4
|
+
⟩ ⟨
+
|
+
|
−
⟩ ⟨
−
|
𝑆
2
𝑧
=
⟨
+
|
𝑆
2
𝑧
|
+
⟩
=
ℏ
2
4
又有
⟨
𝑆
𝑧
⟩
=
⟨
+
|
𝑆
𝑧
|
+
⟩
=
ℏ
2
进而
(Δ𝑆
𝑧
)
2
=
𝑆
2
𝑧
−
⟨
𝑆
𝑧
⟩
2
= 0
实际上, 对于任意两个算符 𝐴, 𝐵, 它们具有关系
(Δ𝐴)
2
(Δ𝐵)
2
≥
1
4
|⟨
[𝐴, 𝐵]
⟩|
2
为了证明它, 需要引入施瓦兹不等式
⟨
𝛼|𝛼
⟩ ⟨
𝛽|𝛽
⟩
≥
|⟨
𝛼|𝛽
⟩|
2
这是由于内积的正定
⟨
𝛼
|
+ 𝜆
⟨
𝛽
|
·
|
𝛼
⟩
+ 𝜆
∗
|
𝛽
⟩
≥ 0
令 𝜆 = −
⟨
𝛽|𝛼
⟩ ⟨
𝛽|𝛽
⟩
, 即证
利用施瓦兹不等式, 可以得到
(Δ𝐴)
2
(Δ𝐵)
2
≥
|⟨
Δ𝐴Δ𝐵
⟩|
2
又有
Δ𝐴Δ𝐵 =
1
2
[Δ𝐴, Δ𝐵] +
1
2
{Δ𝐴, Δ𝐵}
而
[Δ𝐴, Δ𝐵] =
(
𝐴 −
⟨
𝐴
⟩) (
𝐵 −
⟨
𝐵
⟩)
−
(
𝐵 −
⟨
𝐵
⟩) (
𝐴 −
⟨
𝐴
⟩)
= 𝐴𝐵 − 𝐵 𝐴 = [𝐴, 𝐵]
[𝐴, 𝐵] 是反厄米算符
[𝐴, 𝐵]
†
= 𝐵
†
𝐴
†
− 𝐴
†
𝐵
†
= 𝐵𝐴 − 𝐴𝐵 = −[𝐴, 𝐵]
同理,{Δ𝐴, Δ𝐵} 是厄米算符. 由于厄米算符的本征值是实数, 反厄米算符的本征值是虚数, 因而
|⟨
Δ𝐴Δ𝐵
⟩|
2
=
1
4
|⟨
[𝐴, 𝐵]
⟩|
2
+
1
4
|⟨
{Δ𝐴, Δ𝐵}
⟩|
2
≥
1
4
|⟨
[𝐴, 𝐵]
⟩|
2
即完成了证明
