1 纯态的密度矩阵
考虑一个量子态, 记为
|
𝜓
⟩
, 考虑将其换一种记法
𝜌 =
|
𝜓
⟩ ⟨
𝜓
|
显然它只有一个本征值和本征矢. 认为
|
𝜓
⟩
是归一化的, 那么
𝜌
|
𝜓
⟩
=
|
𝜓
⟩
它只有一个本征矢
|
𝜓
⟩
, 对应的本征值为 1. 希望用这种形式完全替换掉
|
𝜓
⟩
, 那么它就需要在算符作用下
与
|
𝜓
⟩
有相同的行为. 下面来验证这一点
假定有算符
ˆ
A, 它有本征值和本征矢 𝛼
𝑖
和
|
𝛼
𝑖
⟩
, 那么算符
ˆ
A 应当可以写为
ˆ
A =
Õ
𝑖
𝛼
𝑖
|
𝛼
𝑖
⟩ ⟨
𝛼
𝑖
|
以
|
𝜓
⟩
作用, 得到
|
𝜓
′
⟩
=
ˆ
A
|
𝜓
⟩
希望将这个状态写为密度矩阵的形式, 即
𝜌
′
=
|
𝜓
′
⟩ ⟨
𝜓
′
|
=
ˆ
A
|
𝜓
⟩ ⟨
𝜓
|
ˆ
A
†
也就是说
𝜌
′
=
ˆ
A𝜌
ˆ
A
†
得到了算符作用在密度矩阵上的结果
考虑两个态之间的内积. 显然对于密度矩阵有
𝜌
′
𝜌 =
|
𝜓
′
⟩ ⟨
𝜓
′
|𝜓
⟩ ⟨
𝜓
|
=
⟨
𝜓
′
|𝜓
⟩ |
𝜓
′
⟩ ⟨
𝜓
|
前面的系数
⟨
𝜓
′
|𝜓
⟩
正是期望中得到的内积, 需要想办法把后面的东西干掉. 注意到迹有非常好的性质
𝑡𝑟 ( 𝐴𝐵) = 𝑡𝑟 (𝐵𝐴)
那么显然就有
𝑡𝑟 (𝜌
′
𝜌) =
⟨
𝜓
′
|𝜓
⟩
𝑡𝑟 (
|
𝜓
′
⟩ ⟨
𝜓
|
) =
⟨
𝜓
′
|𝜓
⟩
𝑡𝑟 (
⟨
𝜓|𝜓
′
⟩
) = |
⟨
𝜓
′
|𝜓
⟩
|
2
𝑡𝑟 (𝜌
′
𝜌) = |
⟨
𝜓
′
|𝜓
⟩
|
2
利用迹的乘法可交换性, 有
𝑡𝑟 (
⟨
𝜓
|
ˆ
A
|
𝜓
⟩
) = 𝑡𝑟 (
ˆ
A
|
𝜓
⟩ ⟨
𝜓
|
) = 𝑡𝑟 (
ˆ
A𝜌)
这就是说物理量 𝐴 的期望值为
⟨
𝐴
⟩
= 𝑡𝑟 (
ˆ
A𝜌)
考虑测量. 考虑将态在一组基下展开
|
𝜓
⟩
=
Õ
𝑖
𝑐
𝑖
|
𝑖
⟩
进行测量后得到
|
𝑖
⟩
的概率为 |𝑐
𝑖
|
2
. 现考察它的密度矩阵
𝜌 =
|
𝜓
⟩ ⟨
𝜓
|
⇒ 𝜌
𝑖 𝑗
=
⟨
𝑖
|
𝜌
|
𝑗
⟩
= 𝑐
∗
𝑖
𝑐
𝑗
对于对角元而言, 有
𝜌
𝑖𝑖
= |𝑐
𝑖
|
2
这就是测量的概率. 或者可以使用投影算符. 将密度矩阵在基下展开
𝜌 =
Õ
𝑖
Õ
𝑗
𝑐
∗
𝑖
𝑐
𝑗
|
𝑖
⟩ ⟨
𝑗
|
有投影算符
ˆ
M
𝑖
=
|
𝑖
⟩ ⟨
𝑖
|
, 那么就有
ˆ
M
†
𝑖
𝜌
ˆ
M
𝑖
= 𝑐
∗
𝑖
𝑐
𝑖
|
𝑖
⟩ ⟨
𝑖
|
得到一个新的密度矩阵. 由于 𝑡𝑟 (
|
𝑖
⟩ ⟨
𝑖
|
) = 1, 那么就有
𝑝(𝑖) = 𝑡𝑟 (
ˆ
M
†
𝑖
𝜌
ˆ
M
𝑖
)
而
ˆ
M
𝑖
ˆ
M
†
𝑖
=
|
𝑖
⟩ ⟨
𝑖
|
=
ˆ
M
𝑖
迹是可交换的, 即 𝑡𝑟 (
ˆ
M
†
𝑖
𝜌
ˆ
M
𝑖
) = 𝑡𝑟 (
ˆ
M
𝑖
𝜌
ˆ
M
†
𝑖
), 那么
𝑝(𝑖) = 𝑡𝑟 (
ˆ
M
𝑖
𝜌)
测量后的态将会塌缩为
𝜌
′
=
ˆ
M
𝑖
𝜌
ˆ
M
†
𝑖
𝑡𝑟 (
ˆ
M
𝑖
𝜌)
2 混合态的密度矩阵
混合态是多个纯态以经典概率混合而成的态. 设有一组纯态
|
𝜓
𝑖
⟩
, 对应的概率为 𝑝
𝑖
, 那么混合态的密度矩
阵为
𝜌 =
Õ
𝑖
𝑝
𝑖
|
𝜓
𝑖
⟩ ⟨
𝜓
𝑖
|
判断密度矩阵是否表示纯态, 只需要考察它的平方. 对于纯态的密度矩阵而言, 有
𝜌
2
=
(|
𝜓
⟩ ⟨
𝜓
|)
2
=
|
𝜓
⟩ ⟨
𝜓|𝜓
⟩ ⟨
𝜓
|
=
|
𝜓
⟩ ⟨
𝜓
|
= 𝜌
那么自然有
𝑡𝑟 (𝜌
2
) = 1
而对于混合态的密度矩阵, 简单起见设
𝜌 = 𝑝
1
|
𝜓
1
⟩ ⟨
𝜓
1
|
+ 𝑝
2
|
𝜓
2
⟩ ⟨
𝜓
2
|
那么
𝜌
2
= 𝑝
2
1
(|
𝜓
1
⟩ ⟨
𝜓
1
|)
2
+
𝑝
2
2
(|
𝜓
2
⟩ ⟨
𝜓
2
|)
2
+
𝑝
1
𝑝
2
|
𝜓
1
⟩ ⟨
𝜓
1
|
𝜓
2
⟩ ⟨
𝜓
2
|
+
𝑝
2
𝑝
1
|
𝜓
2
⟩ ⟨
𝜓
2
|
𝜓
1
⟩ ⟨
𝜓
1
|
由于 𝑡𝑟
|
𝜓
𝑖
⟩
𝜓
𝑖
|𝜓
𝑗
𝜓
𝑗
= 𝑡𝑟
𝜓
𝑖
|𝜓
𝑗
𝜓
𝑗
|𝜓
𝑖
=
𝜓
𝑖
|𝜓
𝑗
2
, 那么
𝑡𝑟 (𝜌
2
) = 𝑝
2
1
+ 𝑝
2
2
+ 𝑝
1
𝑝
2
|
⟨
𝜓
1
|𝜓
2
⟩
|
2
显然
|⟨
𝜓
1
|𝜓
2
⟩|
2
≠ 1, 那么
𝑡𝑟 (𝜌
2
) < 1
由此得到
纯态的密度矩阵平方其迹为 1, 而混合态的密度矩阵平方其迹小于 1
对于一个混合态, 它可以与一个纯态做内积
⟨
𝜓
|
𝜌
|
𝜓
⟩
=
Õ
𝑖
𝑝
𝑖
|
⟨
𝜓|𝜓
𝑖
⟩
|
2
不难发现, 这正是测量得到该纯态的综合概率. 这说明投影算符可以继续用于描述测量
