1 位置表象
定义位置算子 𝑋, 虽然它不具有本征值与本征向量, 但是在 Rigged Hilbert Space 中, 可以定义广义本征
值与广义本征向量, 即
𝑋
|
𝑥
⟩
= 𝑥
|
𝑥
⟩
它应当是完备的
∫
+∞
−∞
|
𝑥
⟩ ⟨
𝑥
|
d𝑥 = I
那么任意的态
|
𝜓
⟩
可以在位置表象下展开
|
𝜓
⟩
=
∫
+∞
−∞
⟨
𝑥
|
𝜓
⟩ |
𝑥
⟩
d𝑥
展开的系数即为波函数
𝜓(𝑥) =
⟨
𝑥
|
𝜓
⟩
它是正交归一的
∫
+∞
−∞
𝜓
∗
(𝑥)𝜓(𝑥)d𝑥 = 1
基向量
|
𝑥
⟩
在位置表象下的表示为 𝛿 函数
⟨
𝑥
′
|
𝑥
⟩
= 𝛿(𝑥
′
− 𝑥 )
2 动量表象
动量算子是位置平移的生成元, 即
𝑒
𝑖𝑥
′
𝑃
|
𝑥
⟩
=
|
𝑥 + 𝑥
′
⟩
考虑任意的态, 应有
𝑒
𝑖𝑥
′
𝑃
|
𝜓
⟩
=
∫
+∞
−∞
⟨
𝑥
|
𝜓
⟩
𝑒
𝑖𝑥
′
𝑃
|
𝑥
⟩
d𝑥 =
∫
+∞
−∞
⟨
𝑥
|
𝜓
⟩ |
𝑥 + 𝑥
′
⟩
d𝑥
由于积分限是无穷, 自然可以将积分变量平移一下, 令 𝑥 → 𝑥 − 𝑥
′
, 那么
𝑒
𝑖𝑥
′
𝑃
|
𝜓
⟩
=
∫
+∞
−∞
⟨
𝑥 − 𝑥
′
|
𝜓
⟩ |
𝑥
⟩
d𝑥
即得到变换前后波函数的关系
𝜓(𝑥)
𝑒
𝑖 𝑥
′
𝑃
−−−→ 𝜓(𝑥 − 𝑥
′
)
为了得到动量算符在位置表象下的形式, 考虑无穷小变换
𝑒
𝑖 𝜖 𝑃
𝜓(𝑥) = 𝜓 (𝑥 − 𝜖 ) → (1 −𝑖 𝜖 𝑃)𝜓(𝑥) = 𝜓(𝑥 − 𝜖 )
即
𝑃𝜓(𝑥) = −𝑖
𝜓(𝑥) − 𝜓(𝑥 − 𝜖)
𝜖
= −𝑖
d𝜓(𝑥)
d𝑥
也就是说
𝑃 = −𝑖
d
d𝑥
不过考虑到量纲的换算, 应该乘以一个常数 ℏ, 得到
𝑃 = −𝑖ℏ
d
d𝑥
那么平移变换就写为
𝑒
𝑖𝑥
′
𝑃/ℏ
|
𝑥
⟩
=
|
𝑥 + 𝑥
′
⟩
为了确定其本征矢, 需要解其本征方程
𝑃
|
𝑝
⟩
= 𝑝
|
𝑝
⟩
由于目前只得到了动量算符在位置表象中的形式, 需要将其本征矢在位置表象展开为波函数
|
𝑝
⟩
=
∫
+∞
−∞
𝜓(𝑥)
|
𝑥
⟩
d𝑥
那么本征方程就化为了
−𝑖ℏ
d𝜓(𝑥)
d𝑥
= 𝑝𝜓 (𝑥)
解是显然的
𝜓(𝑥) = 𝐶𝑒
𝑖 𝑝 𝑥/ℏ
其中 𝐶 是待定的归一化系数, 这是说动量本征态的波函数是平面波. 得到动量本征态
|
𝑝
⟩
= 𝐶
∫
+∞
−∞
𝑒
𝑖 𝑝 𝑥/ℏ
|
𝑥
⟩
d𝑥
|
𝑝
⟩
应当也是完备的, 即
∫
+∞
−∞
|
𝑝
⟩ ⟨
𝑝
|
d𝑝 = I
为了确定归一化系数 𝐶, 考察
⟨
𝑥
′
|
𝑥
′′
⟩
=
∫
+∞
−∞
⟨
𝑥
′
|
𝑝
⟩ ⟨
𝑝
|
𝑥
′′
⟩
d𝑝 =
∫
+∞
−∞
|
𝐶
|
2
𝑒
𝑖 𝑝 (𝑥
′
−𝑥
′′
)/ℏ
d𝑝
后面一项不好处理, 不过注意到 𝛿 函数有傅里叶变换
F [𝛿(𝑥 − 𝑥
0
)] =
1
2𝜋
∫
+∞
−∞
𝛿(𝑥 − 𝑥
0
)𝑒
−𝑖 𝜔𝑥
d𝑥 = 𝑒
−𝑖 𝜔𝑥
0
再对其进行傅里叶逆变换得到
𝛿(𝑥 − 𝑥
0
) =
1
2𝜋
∫
+∞
−∞
𝑒
𝑖 𝜔 (𝑥 −𝑥
0
)
d𝜔
因而
⟨
𝑥
′
|
𝑥
′′
⟩
= 2𝜋ℏ
|
𝐶
|
2
𝛿(𝑥
′
− 𝑥
′′
)
又因为
⟨
𝑥
′
|
𝑥
′′
⟩
= 𝛿(𝑥
′
− 𝑥
′′
), 所以
|
𝐶
|
=
1
√
2𝜋ℏ
简单起见不妨就取 𝐶 为正实数, 那么 𝑃 的本征态就是
|
𝑝
⟩
=
1
√
2𝜋ℏ
∫
+∞
−∞
𝑒
𝑖 𝑝 𝑥/ℏ
|
𝑥
⟩
d𝑥
这是一个傅里叶反变换, 逆过来就得到了
|
𝑥
⟩
在动量表象下的展开
|
𝑥
⟩
=
1
√
2𝜋ℏ
∫
+∞
−∞
𝑒
−𝑖 𝑝 𝑥/ℏ
|
𝑝
⟩
d
𝑝
那么
|
𝑥
⟩
在动量表象下的表示就是
𝜓(𝑝; 𝑥) =
1
√
2𝜋ℏ
𝑒
−𝑖 𝑝 𝑥/ℏ
在 𝑃 表象下,𝑋 应满足
𝑋𝜓(𝑝; 𝑥) = 𝑥𝜓(𝑝; 𝑥)
即
𝑋𝑒
−𝑖 𝑝 𝑥/ℏ
= 𝑥𝑒
−𝑖 𝑝 𝑥/ℏ
自然就有
𝑋 = 𝑖ℏ
d
d𝑝
若一个态
|
𝜓
⟩
在位置表象下的波函数为 𝜓 (𝑥), 即
|
𝜓
⟩
=
∫
+∞
−∞
𝜓(𝑥)
|
𝑥
⟩
d𝑥
可以在其中插入完备性关系得到动量表象下的波函数
|
𝜓
⟩
=
∫
+∞
−∞
𝜓(𝑥)
(
∫
+∞
−∞
|
𝑝
⟩ ⟨
𝑝
|
𝑥
⟩
d𝑝
)
d𝑥
计算
⟨
𝑝
|
𝑥
⟩
=
⟨
𝑥
|
𝑝
⟩
∗
=
1
√
2𝜋ℏ
𝑒
−𝑖 𝑝 𝑥/ℏ
再交换积分顺序得到
|
𝜓
⟩
=
1
√
2𝜋ℏ
∫
+∞
−∞
(
∫
+∞
−∞
𝜓(𝑥)𝑒
−𝑖 𝑝 𝑥/ℏ
d𝑥
)
|
𝑝
⟩
d𝑝
即得到了
|
𝜓
⟩
在动量表象下的展开
𝜓(𝑝) =
1
√
2𝜋ℏ
∫
+∞
−∞
𝜓(𝑥)𝑒
−𝑖 𝑝 𝑥/ℏ
d𝑥
这是说
两个表象之间的变换关系是傅里叶变换
3 对易关系
3.1 基本对易关系
希望求解
[𝑋, 𝑃 ] = 𝑋 𝑃 − 𝑃𝑋
自然应当可以取位置表象计算, 在位置表象下有 𝑋 = 𝑥, 𝑃 = −𝑖ℏ
d
d𝑥
, 那么
[𝑋, 𝑃 ]𝜓(𝑥) = 𝑋 𝑃𝜓(𝑥) − 𝑃𝑋𝜓 (𝑥) = 𝑥
(
−𝑖ℏ
d𝜓
d𝑥
)
+𝑖ℏ
d𝑥𝜓
d𝑥
由于
𝑖ℏ
d𝑥𝜓
d𝑥
= 𝑖ℏ𝑥
d𝜓
d𝑥
+𝑖ℏ𝜓
所以
[𝑋, 𝑃 ]𝜓(𝑥) = 𝑖ℏ𝜓(𝑥)
这意味着有对易关系
[𝑋, 𝑃 ] = 𝑖ℏI
3.2 函数的对易关系
考虑对易子
[𝑋
𝑛
, 𝑃] = 𝑖ℏ𝑛𝑋
𝑛−1
, [𝑋, 𝑃
𝑛
] = 𝑖ℏ𝑛𝑃
𝑛−1
这是很容易证明的, 利用归纳法, 假设对 𝑛 成立, 那么在 𝑛 + 1 时
[𝑋
𝑛+1
, 𝑃] = 𝑋 [𝑋
𝑛
, 𝑃] + [𝑋, 𝑃]𝑋
𝑛
= 𝑖ℏ𝑛𝑋
𝑛
+𝑖ℏ𝑋
𝑛
= 𝑖ℏ(𝑛 + 1)𝑋
𝑛
𝑛 = 1 时显然成立, 由此归纳得证. 可以稍加以推广, 对于任意的函数 𝑓 , 有
[𝑋, 𝑓 (𝑃)] = 𝑖ℏ
d 𝑓 (𝑃)
d𝑃
, [𝑓 (𝑋), 𝑃] = 𝑖ℏ
d 𝑓 (𝑋)
d𝑋
这是因为可以将函数展开为泰勒级数
𝑓 (𝑃) =
∞
∑
𝑛=0
𝑎
𝑛
𝑃
𝑛
那么
[𝑋, 𝑓 (𝑃)] =
∞
∑
𝑛=0
𝑎
𝑛
[𝑋, 𝑃
𝑛
] = 𝑖ℏ
∞
∑
𝑛=0
𝑎
𝑛
𝑛𝑃
𝑛−1
= 𝑖ℏ
d 𝑓 (𝑃)
d𝑃
