位置与动量
目录
1 连续空间 2
2 位置本征矢和位置的测量 2
2.1 位移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 动量与位移变换 5
3.1 动量算符 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 动量与生成元 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1
1 连续空间
连续空间是指物理量的本征值取值是连续的. 如对于动量算符 𝑝
𝑧
, 它的本征值可以是任意实数. 连续空间
与离散空间是类似的, 本征方程依然写为
𝜉
|
𝜉
′
⟩
= 𝜉
′
|
𝜉
′
⟩
其中 𝜉 是一个算符,𝜉
′
是一个数,
|
𝜉
′
⟩
是 𝜉 对应本征值为 𝜉
′
的本征矢. 所有离散空间的表达式都有对应关
系
• 本征矢的正交关系
⟨
𝜉
′
|𝜉
′′
⟩
= 𝛿(𝜉
′
− 𝜉
′′
)
• 完备性关系
∫
d𝜉
′
|
𝜉
′
⟩ ⟨
𝜉
′
|
= 1
• 任意态
|
𝛼
⟩
的展开
|
𝛼
⟩
=
∫
d𝜉
′
|
𝜉
′
⟩ ⟨
𝜉
′
|𝛼
⟩
• 态的归一化
⟨
𝛼|𝛼
⟩
=
∫
d𝜉
′
|
⟨
𝜉
′
|𝛼
⟩
|
2
= 1
• 内积
⟨
𝛼|𝛽
⟩
=
∫
d𝜉
′
⟨
𝛼|𝜉
′
⟩ ⟨
𝜉
′
|𝛽
⟩
• 算符的矩阵元
⟨
𝜉
′′
|
𝜉
|
𝜉
′
⟩
= 𝜉
′
𝛿(𝜉
′
− 𝜉
′′
)
2 位置本征矢和位置的测量
位置本征矢
|
𝑥
⟩
是位置算符 ˆx 的本征矢, 本征值为 ˆx. 位置算符的本征方程为
ˆx
|
𝑥
′
⟩
= 𝑥
′
|
𝑥
′
⟩
任意一个态
|
𝛼
⟩
可以用位置本征矢展开
|
𝛼
⟩
=
∫
d𝑥
′
|
𝑥
′
⟩ ⟨
𝑥
′
|𝛼
⟩
理想的测量能够得到精确的结果, 即测量后的态为
|
𝑥
⟩
|
𝛼
⟩
→
|
𝑥
⟩
但是实际测量是不精确的, 只能得到一个范围, 不妨设为
(𝑥 − Δ/2, 𝑥 + Δ/2)
测量后态的变化为
|
𝛼
⟩
→
∫
𝑥+Δ/2
𝑥−Δ/2
d𝑥
′
|
𝑥
′
⟩ ⟨
𝑥
′
|𝛼
⟩
若 Δ 很小, 写为 d𝑥
′
, 那么测量得到
|
𝑥
′
⟩
的概率为
|
⟨
𝑥
′
|𝛼
⟩
|
2
d𝑥
′
概率应当是归一化的, 即
∫
∞
−∞
d𝑥
′
|
⟨
𝑥
′
|𝛼
⟩
|
2
= 1
在三维空间中位置算符包含三个分量 𝑥, 𝑦, 𝑧, 它被认为是完备的, 任意的态都可以用位置本征矢展开
|
𝛼
⟩
=
∫
d
3
𝑥
′
|
x
′
⟩ ⟨
x
′
|𝛼
⟩
此处的 x 同时代表三个坐标 𝑥, 𝑦, 𝑧, 也就是说它是 𝑥, 𝑦, 𝑧 三个算符的本征矢
|
x
′
⟩
≡
|
𝑥
′
, 𝑦
′
, 𝑧
′
⟩
ˆx
|
x
′
⟩
= 𝑥
′
|
x
′
⟩
, ˆy
|
x
′
⟩
= 𝑦
′
|
x
′
⟩
, ˆz
|
x
′
⟩
= 𝑧
′
|
x
′
⟩
为了同时确定三个坐标, 需要假定三个坐标之间是独立的, 即它们是对易的
[ˆx, ˆy] = [ ˆy, ˆz] = [ˆz, ˆx] = 0
2.1 位移
考虑一个算符, 将量子态的位置从 x 移动到 x + dx, 记这个算符为
ˆ
𝑇 (dx), 则
ˆ
𝑇 (dx)
|
x
′
⟩
=
|
x
′
+ dx
⟩
考虑
ˆ
𝑇 (dx)
|
𝛼
⟩
, 由于
|
𝛼
⟩
=
∫
d
3
𝑥
′
|
x
′
⟩ ⟨
x
′
|𝛼
⟩
那么展开就得到
ˆ
𝑇 (dx)
|
𝛼
⟩
=
∫
d
3
𝑥
′
|
x
′
+ dx
⟩ ⟨
x
′
|𝛼
⟩
由于 x
′
是积分变量, 并且积分是对全空间的, 所以可以将 x
′
换为 x
′
− dx
′
, 即
ˆ
𝑇 (dx)
|
𝛼
⟩
=
∫
d
3
𝑥
′
|
x
′
⟩
x
′
− dx
′
|𝛼
希望考察
ˆ
𝑇 算符的性质. 若
|
𝛼
⟩
是归一化的, 那么
ˆ
𝑇 (dx)
|
𝛼
⟩
也应当是归一化的. 即
⟨
𝛼|𝛼
⟩
=
⟨
𝛼
|
ˆ
𝑇
†
(dx)
ˆ
𝑇 (dx)
|
𝛼
⟩
也就是说
ˆ
𝑇
†
(dx)
ˆ
𝑇 (dx) = 1
考虑连续做两次位移 dx
′
和 dx
′′
, 这相当于算符作用两次, 那么就希望
ˆ
𝑇 (dx
′
)
ˆ
𝑇 (dx
′′
) =
ˆ
𝑇 (dx
′
+ dx
′′
)
由于进行一次相反的位移相当于进行一次逆操作, 所以
ˆ
𝑇 (−dx
′
) =
ˆ
𝑇
−1
(dx
′
)
若 dx
′
→ 0, 那么
ˆ
𝑇 (dx
′
) 应当不进行任何操作, 理应趋近于单位算符, 即
lim
dx
′
→0
ˆ
𝑇 (dx
′
) = 1
由于 dx 很小, 实际上只需要考虑一阶小量, 即
ˆ
𝑇 (dx) = 1 − 𝑖(
ˆ
K
x
d𝑥 +
ˆ
K
y
d𝑦 +
ˆ
K
z
d 𝑧)
虽然不严谨, 但是可以看作是
ˆ
K 具有三个分量
ˆ
K
x
,
ˆ
K
y
,
ˆ
K
z
, 将
ˆ
K 看作是一个矢量即可写为矢量点乘的
形式.
ˆ
K 的三个分量都是厄米的
ˆ
𝑇 (dx) = 1 − 𝑖
ˆ
K · dx
归一化
ˆ
𝑇
†
(dx
′
)
ˆ
𝑇 (dx
′
) = (1 + 𝑖
ˆ
K
†
· dx
′
)(1 − 𝑖
ˆ
K · dx
′
)
= 1 + 𝑖(
ˆ
K
†
−
ˆ
K) · dx
′
+ 𝑜(dx
′
)
2
→ 1
连续位移
ˆ
𝑇 (dx
′
)
ˆ
𝑇 (dx
′′
) = (1 − 𝑖
ˆ
K · dx
′
)(1 − 𝑖
ˆ
K · dx
′′
)
= 1 − 𝑖(
ˆ
K · dx
′
+
ˆ
K · dx
′′
) + 𝑜(dx
′
)
2
= 1 − 𝑖
ˆ
K · (dx
′
+ dx
′′
) + 𝑜(dx
′
)
2
→
ˆ
𝑇 (dx
′
+ dx
′′
)
逆和极限性质由定义显然成立
希望考察
ˆ
K 的具体形式. 注意到
ˆ
X
ˆ
𝑇 (dx
′
)
|
x
′
⟩
= X
′
x
′
+ dx
′
= (𝑥
′
+ d𝑥
′
)
x
′
+ dx
′
其中的
ˆ
X 是表示 ˆx, ˆy, ˆz 中的一个,𝑥
′
, d𝑥
′
是 x
′
和 dx
′
对应的分量, 它是一个标量. 同时
ˆ
𝑇 (dx
′
)
ˆ
X
|
x
′
⟩
= 𝑥
′
ˆ
𝑇
(
d
x
′
)
|
x
′
⟩
= 𝑥
′
x
′
+ dx
′
那么就有
[
ˆ
X,
ˆ
𝑇 (dx
′
)]
x
′
= dx
′
x
′
+ dx
′
→ d𝑥
′
x
′
因而可以认为
[
ˆ
X,
ˆ
𝑇 (dx
′
)] = d𝑥
′
ˆ
I
其中
ˆ
I 是单位算符, 它作于任意态上都会得到相同的态. 又由于已经假设了
ˆ
𝑇 (dx
′
) = 1 − 𝑖(
ˆ
K
x
d𝑥 +
ˆ
K
y
d𝑦 +
ˆ
K
z
d 𝑧)
那么
[
ˆ
X,
ˆ
𝑇 (dx
′
)] = −𝑖
h
ˆ
X
ˆ
K
x
−
ˆ
K
x
ˆ
X
d𝑥 +
ˆ
X
ˆ
K
y
−
ˆ
K
y
ˆ
X
d𝑦 +
ˆ
X
ˆ
K
z
−
ˆ
K
z
ˆ
X
d 𝑧
i
= d𝑥
ˆ
I
分别取
ˆ
X = ˆx, ˆy, ˆz, 同时对应的 d𝑥
′
应该也取 d𝑥, d𝑦, d𝑧, 那么就有
[ˆx,
ˆ
K
x
] = 𝑖
[ˆx,
ˆ
K
y
] = 0
[ˆx,
ˆ
K
z
] = 0
[ ˆy,
ˆ
K
x
] = 0
[ ˆy,
ˆ
K
y
] = 𝑖
[ ˆy,
ˆ
K
z
] = 0
[ˆz,
ˆ
K
x
] = 0
[ˆz,
ˆ
K
y
] = 0
[ˆz,
ˆ
K
z
] = 𝑖
综合起来就有
[ˆx
𝑖
,
ˆ
K
𝑗
] = 𝑖𝛿
𝑖 𝑗
其中 𝑖, 𝑗 取 𝑥, 𝑦, 𝑧 三个值
3 动量与位移变换
3.1 动量算符
考虑哈密顿力学中的正则变换. 设有一个广义坐标的平移变换
X = x + dx, P = p
它的生成函数 (第二类) 为
𝐹
2
(x, P ) = (x + dx) · p = p · x + p · dx
复习一下 (详情见: 理论力学-正则变换)
第二类生成函数生成的变换为
p =
𝜕𝐹
2
𝜕x
, X =
𝜕𝐹
2
𝜕P
注意到生成函数中的前一项
x · p
正好是恒等变换的生成函数, 后一项是一个小位移与动量的内积. 这与上一节假设的位移变换形式十分类
似
ˆ
𝑇 (dx) = 1 − 𝑖
ˆ
K · dx
因而不妨认为
ˆ
K = ˆp · 𝑐𝑜𝑛𝑠 𝑡
注意量子力学中的物理量是算符,此处的 ˆp 是动量算符而不是经典意义上的动量矢量
德布罗意利用光子指出
𝑘 =
2𝜋
𝜆
=
𝑝
ℏ
因而认为
ˆ
K =
ˆ
p
ℏ
那么变换就为
ˆ
𝑇 (dx) = 1 −
𝑖
ℏ
ˆp · dx
ˆ
K 的对易关系就变为了动量的对易关系
[ˆx
𝑖
, ˆp
𝑗
] = 𝑖ℏ 𝛿
𝑖 𝑗
利用 测量节中的不确定性关系
(Δ 𝐴)
2
(Δ𝐵)
2
≥
1
4
|⟨
[𝐴, 𝐵]
⟩|
2
得到
(Δ𝑥)
2
(Δ 𝑝)
2
≥
ℏ
2
4
3.2 动量与生成元
显然平移变换应当是连续的, 那么它就构成一个 Lie 群. 前文的
ˆ
T (dx) 正是一个无穷小变换, 在此先引用
它的形式
ˆ
T (dx) = 1 − 𝑖
ˆ
K · dx
Lie 群的元素由生成元生成. 平移变换的生成元即为
lim
dx→0
ˆ
T (dx) −
ˆ
T (0)
dx
= −𝑖
ˆ
K = −
𝑖
ℏ
ˆp
这意味着动量是空间平移变换的生成元! 由生成元可以得到任意的有限变换
ˆ
T (x) = exp
−
𝑖
ℏ
ˆp · 𝚫x
= exp
−
𝑖
ℏ
Δ𝑥 ˆp
𝑥
+ Δ𝑦 ˆp
𝑦
+ Δ𝑧 ˆp
𝑧
显然应当期望变换满足
ˆ
T (x)
ˆ
T (y) =
ˆ
T (x + y)
注意此处的 x 和 y 指的是空间坐标的单位矢量, 而不是算符. 这意味着
exp
−
𝑖
ℏ
ˆp
x
Δ𝑥
exp
−
𝑖
ℏ
ˆp
y
Δ𝑦
= exp
−
𝑖
ℏ
ˆp
x
Δ𝑥 −
𝑖
ℏ
ˆp
y
Δ𝑦
矩阵指数理论告诉我们这是不平凡的. 矩阵指数的结合应当遵循 BCH 公式
exp( 𝐴) exp(𝐵) = exp( 𝐴 + 𝐵 +
1
2
[𝐴, 𝐵] + · · · )
这能成立当且仅当有
[ ˆp
𝑥
, ˆp
𝑦
] = 0
这就得到了动量算符两两对易, 正如空间坐标算符一样
[ ˆp
𝑖
, ˆp
𝑗
] = 0
动量算符自然会有它的本征值和本征矢
ˆp
𝑥
|
p
⟩
= 𝑝
𝑥
|
p
⟩
, ˆp
𝑦
|
p
⟩
= 𝑝
𝑦
|
p
⟩
, ˆp
𝑧
|
p
⟩
= 𝑝
𝑧
|
p
⟩
如果考虑无限小平移算子的作用
ˆ
T (dx)
|
p
⟩
=
1 −
𝑖
ℏ
ˆp
𝑥
d𝑥 + ˆp
𝑦
d𝑦 + ˆp
𝑧
d 𝑧
|
p
⟩
=
1 −
𝑖
ℏ
p · dx
|
p
⟩
那么显然
|
p
⟩
正是无限小平移算子的本征矢. 不过非常可惜的是, 它的本征值是复数, 并不是可观测量
