一维谐振子
目录
1 一维谐振子 2
1.1 一维谐振子的 Hamilton 量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 湮灭产生算子, 粒子数算子与 Hamilton 量的本征值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 位置表象与 Hamilton 量的本征态 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 谐振子本征值问题与 Hermite 多项式 6
3 匀强电场中的一维谐振子 7
4 相干态 10
4.1 相干态是最接近经典谐振子的态 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 相干态的求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3 相干态的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4 相干态的演化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.5 不确定关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.6 相空间的平移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.7 平移算子的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.8 相干态的波函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 受迫谐振子 16
1
1 一维谐振子
1.1 一维谐振子的 Hamilton 量
一维谐振子的 Hamilton 量为
𝐻 =
𝑃
2
2𝑚
+
1
2
𝑚𝜔
2
𝑋
2
其中的主要结构为 𝑋
2
与 𝑃
2
, 考察其对易子
[𝑋
2
, 𝑃
2
] = 2𝑖ℏ(𝑋 𝑃 + 𝑃𝑋)
该对易子与原来的 𝑋
2
与 𝑃
2
对易是封闭的
[𝑋
2
, 𝑋𝑃 + 𝑃𝑋] = 4𝑖ℏ𝑋
2
, [𝑃
2
, 𝑋𝑃 + 𝑃𝑋] = −4𝑖ℏ𝑃
2
这构成 𝑠𝑢(1, 1) 代数
做无量纲化处理, 令
𝛽 =
𝑚𝜔
ℏ
1/2
重新新写出无量纲的算子
𝑋
0
= 𝛽𝑋, 𝑃
0
=
𝑃
𝛽
无量纲算子的对易关系
[𝑋
0
, 𝑃
0
] = 𝑖I
Hamilton 量变为
𝐻 =
1
2
(𝑃
02
+ 𝑋
02
)
其中
𝑋
0
= 𝛽𝑋, 𝑃
0
=
𝑃
𝛽
, 𝛽 =
𝑚𝜔
ℏ
1/2
1.2 湮灭产生算子, 粒子数算子与 Hamilton 量的本征值问题
定义两个算子, 产生湮灭算子
𝑎 =
1
√
2
(𝑋
0
+𝑖𝑃
0
), 𝑎
†
=
1
√
2
(𝑋
0
−𝑖𝑃
0
)
它们的对易关系
[𝑎, 𝑎
†
] = I
Hamilton 量可以用这两个算子表示
𝐻 =
1
2
(𝑎
†
𝑎 + 𝑎𝑎
†
) = ℏ𝜔
𝑎
†
𝑎 +
1
2
再令
𝑁 = 𝑎
†
𝑎
称为粒子数算子, 它显然是一个厄米算子,Hamilton 量可以写为
𝐻 = ℏ𝜔
𝑁 +
1
2
求解 𝑁 的本征值问题, 由于 𝑁 是半正定的, 其本征值是非负实数
𝑁
|
𝑛
i
= 𝑛
|
𝑛
i
𝑎, 𝑎
†
作用在本征态上体现了产生湮灭的效果, 利用 𝑁 与 𝑎, 𝑎
†
的对易关系得到
𝑁 (𝑎
|
𝑛
i
) = (𝑎𝑁 − 𝑎)
|
𝑛
i
= 𝑎(𝑁 − 1)
|
𝑛
i
= (𝑛 − 1)(𝑎
|
𝑛
i
)
这是说𝑎
|
𝑛
i
是本征值为 𝑛 − 1 的本征态. 同理
𝑁 (𝑎
†
|
𝑛
i
) = (𝑎
†
𝑁 + 𝑎
†
)
|
𝑛
i
= 𝑎
†
(𝑁 + 1)
|
𝑛
i
= (𝑛 + 1)(𝑎
†
|
𝑛
i
)
这是说
𝑎
†
|
𝑛
i
是本征值为 𝑛 + 1 的本征态
. 虽然 𝑁 本征值的上限无从得知, 但是下限已知是 0, 将降算子
不断作用
𝑎
|
𝑛
i
∼
|
𝑛 − 1
i
, 𝑎
𝑘
|
𝑛
i
∼
|
𝑛 − 𝑘
i
为了使 𝑎
𝑘
|
𝑛
i
停下,𝑛 必须为非负整数
𝑎
|
0
i
= 0
|
𝑛
i
也是 𝐻 的本征态
𝐻
|
𝑛
i
= ℏ𝜔
𝑁 +
1
2
|
𝑛
i
= ℏ𝜔
𝑛 +
1
2
|
𝑛
i
它满足正交归一并且完备, 可以作为一组基
h
𝑛
|
𝑚
i
= 𝛿
𝑛𝑚
,
Õ
𝑛
|
𝑛
i h
𝑛
|
= I
由此得到系统的各能级
𝐸
𝑛
= ℏ𝜔
𝑛 +
1
2
基态具有零点能
𝐸
0
=
ℏ𝜔
2
|
𝑛
i
张成了 𝑙
2
空间
|
𝜓
i
=
Õ
𝑛
𝑐
𝑛
|
𝑛
i
1.3 位置表象与 Hamilton 量的本征态
为了得到本征态, 需要先对
|
𝑛
i
进行归一化, 利用 𝑁 = 𝑎
†
𝑎 有
h
𝑛
|
𝑎
†
𝑎
|
𝑛
i
= 𝑛,
h
𝑛
|
𝑎𝑎
†
|
𝑛
i
= 𝑛 + 1
那么
𝑎
|
𝑛
i
=
√
𝑛
|
𝑛 − 1
i
, 𝑎
†
|
𝑛
i
=
√
𝑛 + 1
|
𝑛 + 1
i
那么
(𝑎
†
)
𝑛
|
0
i
=
√
𝑛!
|
𝑛
i
⇒
|
𝑛
i
=
(𝑎
†
)
𝑛
√
𝑛!
|
0
i
为了确定基态
|
0
i
在位置表象中的波函数 𝑢
0
(𝑥), 利用
𝑎
|
0
i
= 0
利用
𝑎 =
1
√
2
(𝑋
0
+𝑖𝑃
0
)
在位置表象下上式化为
1
√
2
𝛽𝑥 +
1
𝛽
𝜕
𝜕𝑥
𝑢
0
(𝑥) = 0
解得
𝑢
0
(𝑥) =
𝛽
1
/
2
𝜋
1/4
𝑒
−𝛽
2
𝑥
2
/2
以
|
𝑛
i
为基, 可以得到 𝑎, 𝑎
†
的矩阵表示, 利用
h
𝑛
0
|
𝑎
|
𝑛
i
=
√
𝑛𝛿
𝑛
0
,𝑛−1
,
h
𝑛
0
|
𝑎
†
|
𝑛
i
=
√
𝑛 + 1𝛿
𝑛
0
,𝑛+1
得到
𝑎 =
©
«
0
√
1 0 0 ···
0 0
√
2 0 ···
0 0 0
√
3 ···
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ª
®
®
®
®
®
®
¬
, 𝑎
†
=
©
«
0 0 0 0 ···
√
1 0 0 0 ···
0
√
2 0 0 ···
0 0
√
3 0 ···
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ª
®
®
®
®
®
®
®
®
¬
那么 𝑋 和 𝑃 就也可以表示为矩阵, 利用
𝑎 =
1
√
2
(𝑋
0
+𝑖𝑃
0
), 𝑎
†
=
1
√
2
(𝑋
0
−𝑖𝑃
0
)
那么 𝑋 和 𝑃 就可以用 𝑎 和 𝑎
†
表示
𝑋 =
1
√
2𝛽
(𝑎 + 𝑎
†
), 𝑃 = −
𝑖ℏ𝛽
√
2
(𝑎 − 𝑎
†
)
得到
𝑋 =
1
√
2𝛽
©
«
0 1 0 0 ···
1 0
√
2 0 ···
0
√
2 0
√
3 ···
0 0
√
3 0 ···
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ª
®
®
®
®
®
®
®
®
¬
, 𝑃 = −
𝑖ℏ𝛽
√
2
©
«
0 −1 0 0 ···
1 0 −
√
2 0 ···
0
√
2 0 −
√
3 ···
0 0
√
3 0 ···
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ª
®
®
®
®
®
®
®
®
¬
可以得到其期望值与方差
h
𝑋
i
=
h
𝑃
i
= 0
其平方的期望值
𝑋
2
=
h
𝑛
|
𝑋
2
|
𝑛
i
=
ℏ
2𝑚𝜔
h
𝑛
|
(𝑎 + 𝑎
†
)
2
|
𝑛
i
=
ℏ
𝑚𝜔
𝑛 +
1
2
𝑃
2
=
h
𝑛
|
𝑃
2
|
𝑛
i
= −
ℏ𝑚𝜔
2
h
𝑛
|
(𝑎 − 𝑎
†
)
2
|
𝑛
i
= ℏ𝑚𝜔
𝑛 +
1
2
得到方差
Δ𝑋 =
q
h
𝑋
2
i
−
h
𝑋
i
2
=
ℏ
2𝑚𝜔
√
2𝑛 + 1
Δ𝑃 =
q
h
𝑃
2
i
−
h
𝑃
i
2
= ℏ
r
𝑚𝜔
2
√
2𝑛 + 1
那么
Δ𝑋Δ𝑃 =
ℏ
2
(
2𝑛 + 1
)
谐振子的基态满足最小不确定性关系
2 谐振子本征值问题与 Hermite 多项式
求解
𝐻
|
𝑛
i
= 𝐸
|
𝑛
i
即
−
ℏ
2
2𝑚
𝜕
2
𝜓
𝑛
(𝑥)
𝜕𝑥
2
+
1
2
𝑚𝜔
2
𝑥
2
𝜓
𝑛
(𝑥) = 𝐸
𝑛
𝜓
𝑛
(𝑥)
做无量纲化处理, 令
𝑞 =
𝑚𝜔
ℏ
1/2
𝑥, 𝜆 =
2𝐸
𝑛
ℏ𝜔
那么方程变为
−
𝜕
2
𝜓
𝑛
(𝑞)
𝜕𝑞
2
+ 𝑞
2
𝜓
𝑛
(𝑞) = 𝜆𝜓
𝑛
(𝑞)
它具有渐进行为, 令 𝑞 → ∞ 得到
d
2
𝜓
d𝑞
2
− 𝑞
2
𝜓 = 0
解得
𝜓(𝑞) = 𝑒
±𝑞
2
/2
显然只有 𝑒
−𝑞
2
/2
满足归一化条件, 那么舍去发散项. 设原方程的解有形式
𝜓(𝑞) = 𝐻 (𝑞)𝑒
−𝑞
2
/2
𝐻(𝑞) 应满足
d
2
𝐻
d𝑞
2
− 2𝑞
d𝐻
d𝑞
+ (𝜆 − 1)𝐻 = 0
将 𝐻(𝑞) 展开为幂级数
𝐻(𝑞) =
∞
Õ
𝑛=0
𝑎
𝑛
𝑞
𝑛
代入得到递推关系
𝑎
𝑛+2
=
2𝑛 + 1 − 𝜆
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
𝑎
𝑛
这决定了 𝐻(𝑞) 必须是有限项的, 因为 𝑛 很大时, 有
𝑎
𝑛+2
𝑎
𝑛
→
2
𝑛
由于
𝑒
𝑞
2
=
∞
Õ
𝑛=0
𝑞
2𝑛
𝑛!
⇒
𝑐
𝑛+2
𝑐
𝑛
=
2
𝑛
那么
𝐻(𝑞)𝑒
−𝑞
2
/2
→ 𝑒
𝑞
2
/2
这又不可能满足归一化条件, 所以 𝐻(𝑞) 必须是有限项的. 设其相数为 𝑛 + 1, 那么
𝜆 = 2𝑛 + 1
此时 𝐻(𝑞) 是 𝑛 次多项式, 将 𝜆 代入原方程得到能量本征值
𝐸
𝑛
= ℏ𝜔
𝑛 +
1
2
, 𝑛 = 0, 1, 2, ·· ·
相应的本征函数为
𝑢
𝑛
(𝑥) =
𝛽
𝜋
1/2
2
𝑛
𝑛!
−1/2
𝐻
𝑛
(𝛽𝑥)𝑒
−𝛽
2
𝑥
2
/2
其中
𝛽 =
𝑚𝜔
ℏ
1/2
𝐻
𝑛
(𝑥) 是 Hermite 多项式
3 匀强电场中的一维谐振子
匀强电场中的一维谐振子的 Hamilton 量为
𝐻 =
𝑃
2
2𝑚
+
1
2
𝑚𝜔
2
𝑋
2
− 𝑞𝜖 𝑋
对其配方
𝐻 =
1
2𝑚
(
𝑃 + 𝑞𝜖
)
2
+
1
2
𝑚𝜔
2
𝑋 −
𝑞𝜖
𝑚𝜔
2
2
−
𝑞
2
𝜖
2
2𝑚𝜔
2
这实际上是
对位置算子进行平移操作
, 平移的距离是
𝑙 =
𝑞𝜖
𝑚𝜔
2
由于动量算子是平移变换的生成元, 自然
𝑋 − 𝑙 = 𝑒
−𝑖𝑃𝑙/ℏ
𝑋𝑒
𝑖𝑃𝑙/ℏ
动量算符当然和自己对易
,
自然不受该变换影响
,
那么
Hamilton
量就可以视为无电场
Hamilton
量的平
移
𝐻 = 𝑒
−𝑖𝑃𝑙/ℏ
𝐻𝑒
𝑖𝑃𝑙/ℏ
−
𝑞
2
𝜖
2
2𝑚𝜔
2
在已知谐振子的本征态和本征值的情况下, 新的本征态和本征值是显然的
|
˜
𝑛
i
= 𝑒
−𝑖𝑃𝑙/ℏ
|
𝑛
i
,
˜
𝐸
𝑛
= ℏ𝜔
𝑛 +
1
2
−
𝑞
2
𝜖
2
2𝑚𝜔
2
若将本征态在位置表象中表示, 就得到了波函数,
这实际上也是平移操作
, 自然有
˜
𝑢
𝑛
(𝑥) = 𝑢
𝑛
(𝑥 − 𝑙)
由于哈密顿量不含时,𝑡 时刻的态可以直接写出
|
𝜓(𝑡)
i
=
Õ
𝑛
𝑐
𝑛
𝑒
−𝑖
˜
𝐸
𝑛
𝑡/ℏ
|
˜
𝑛
i
, 𝑐
𝑛
=
h
˜
𝑛
|
𝜓(0)
i
假定 𝑡 = 0 时刻的态是
|
0
i
(没有电场的基态), 那么
|
𝜓(𝑡)
i
=
Õ
𝑛
h
˜
𝑛
|
0
i
𝑒
−𝑖
˜
𝐸
𝑛
𝑡/ℏ
|
˜
𝑛
i
在 𝑡 时刻观测到谐振子仍然处于
|
0
i
的概率由内积得到
𝑝 =
|h
0
|
𝜓(𝑡)
i|
2
内积即
h
0
|
𝜓(𝑡)
i
=
Õ
𝑛
|h
0
|
˜
𝑛
i|
2
𝑒
−𝑖
˜
𝐸
𝑛
𝑡/ℏ
为了求出它, 需要先求出
h
0
|
˜
𝑛
i
h
0
|
˜
𝑛
i
=
h
0
|
𝑒
−𝑖𝑃𝑙/ℏ
|
𝑛
i
借助产生湮灭算子
𝑃 = −
𝑖ℏ𝛽
√
2
(𝑎 − 𝑎
†
) = −𝑖
r
ℏ𝑚𝜔
2
(𝑎 − 𝑎
†
), [𝑎, 𝑎
†
] = I
这个对易关系就意味着任意的三阶对易子都为零, 那么反过来利用 Lie 群乘法公式
𝑒
𝐴
𝑒
𝐵
= 𝑒
𝐴+𝐵+
1
2
[𝐴,𝐵]+···
就能得到
𝑒
−𝑖𝑃𝑙/ℏ
= exp
−𝑙
r
𝑚𝜔
2ℏ
𝑎
exp
𝑙
r
𝑚𝜔
2ℏ
𝑎
†
exp
𝑚𝜔 𝑙
2
4ℏ
不过这样一来 𝑎
†
就在右侧与
|
𝑛
i
结合了, 这并不是期望中的样子, 因而将 𝑃 改写一下交换两个算子的位
置
𝑃 = 𝑖
r
ℏ𝑚𝜔
2
(𝑎
†
− 𝑎)
那么
𝑒
−𝑖𝑃𝑙/ℏ
= exp
𝑙
r
𝑚𝜔
2ℏ
𝑎
†
exp
−𝑙
r
𝑚𝜔
2ℏ
𝑎
exp
−
𝑚𝜔 𝑙
2
4ℏ
由于 𝑎
|
0
i
=
|
0
i
, 自然有
h
0
|
𝑎
†
=
h
0
|
,𝑎 的 𝑒 指数也能展开为 𝑎 的幂级数, 这就意味着
h
0
|
exp
𝑙
r
𝑚𝜔
2ℏ
𝑎
†
= 0
那么
h
0
|
𝑒
−𝑖𝑃𝑙/ℏ
|
𝑛
i
=
h
0
|
exp
−𝑙
r
𝑚𝜔
2ℏ
𝑎
|
𝑛
i
exp
−
𝑚𝜔 𝑙
2
4ℏ
将指数展开为幂级数
exp
−𝑙
r
𝑚𝜔
2ℏ
𝑎
=
∞
Õ
𝑘=0
1
𝑘!
−𝑙
r
𝑚𝜔
2ℏ
𝑘
𝑎
𝑘
那么
h
0
|
exp
−𝑙
r
𝑚𝜔
2ℏ
𝑎
|
𝑛
i
=
1
𝑘!
−𝑙
r
𝑚𝜔
2ℏ
𝑘
h
0
|
𝑎
𝑘
|
𝑛
i
由于
𝑎
†
|
𝑘
i
=
√
𝑘 + 1
|
𝑘 + 1
i
那么
h
0
|
𝑎
𝑘
=
√
𝑘!
h
𝑘
|
代入得到
h
0
|
exp
−𝑙
r
𝑚𝜔
2ℏ
𝑎
|
𝑛
i
=
∞
Õ
𝑘=0
1
𝑘!
−𝑙
r
𝑚𝜔
2ℏ
𝑘
√
𝑘!𝛿
𝑛, 𝑘
=
1
√
𝑛!
−𝑙
r
𝑚𝜔
2ℏ
𝑛
这是说
h
0
|
˜
𝑛
i
=
1
√
𝑛!
−𝑙
r
𝑚𝜔
2ℏ
𝑛
exp
−
𝑚𝜔𝑙
2
4ℏ
上面已经得到
h
0
|
𝜓(𝑡)
i
=
Õ
𝑛
|h
0
|
˜
𝑛
i|
2
𝑒
−𝑖
˜
𝐸
𝑛
𝑡/ℏ
由此得到量子态的内积
h
0
|
𝜓(𝑡)
i
=
Õ
𝑛
1
𝑛!
−𝑙
r
𝑚𝜔
2ℏ
2𝑛
exp
−
𝑚𝜔 𝑙
2
2ℏ
𝑒
−𝑖
˜
𝐸
𝑛
𝑡/ℏ
由于
˜
𝐸
𝑛
= ℏ𝜔
𝑛 +
1
2
−
𝑞
2
𝜖
2
2𝑚𝜔
2
那么
𝑒
−𝑖
˜
𝐸
𝑛
𝑡/ℏ
= exp
[
−𝑖𝑛𝜔𝑡
]
exp
[
−𝑖𝜔𝑡/2
]
exp
𝑖
𝑚𝜔
2
𝑙
2
𝑡
2ℏ
代入原式, 不含有 𝑛 的项都可以从级数中提出
h
0
|
𝜓(𝑡)
i
= 𝑒
−𝑖𝜔𝑡/2
exp
𝑖
𝑚𝜔
2
𝑙
2
𝑡
2ℏ
exp
−
𝑚𝜔𝑙
2
2ℏ
Õ
𝑛
1
𝑛!
𝑚𝜔 𝑙
2
2ℏ
𝑛
𝑒
−𝑖𝑛𝜔𝑡
注意到
Õ
𝑛
1
𝑛!
𝑚𝜔 𝑙
2
2ℏ
𝑛
𝑒
−𝑖𝑛𝜔𝑡
= exp
𝑚𝜔𝑙
2
2ℏ
𝑒
−𝑖𝜔𝑡
那么
h
0
|
𝜓(𝑡)
i
= 𝑒
−𝑖𝜔𝑡/2
exp
𝑖
𝑚𝜔
2
𝑙
2
𝑡
2ℏ
exp
−
𝑚𝜔 𝑙
2
2ℏ
exp
𝑚𝜔𝑙
2
2ℏ
𝑒
−𝑖𝜔𝑡
对其模方即得到概率
𝑝 =
|h
0
|
𝜓(𝑡)
i|
2
= exp
−
2𝑞
2
𝜖
2
ℏ𝑚𝜔
3
sin
2
𝜔𝑡
2
4 相干态
4.1 相干态是最接近经典谐振子的态
希望在量子谐振子中找到一种态, 使其与经典谐振子的运动相对应. 经典谐振子有哈密顿量
𝐻 =
1
2𝑚
𝑝
2
+
1
2
𝑚𝜔
2
𝑥
2
其运动由正则方程给出
¤𝑥 =
𝑝
𝑚
, ¤𝑝 = −𝑚𝜔
2
𝑥
进行无量纲化处理, 令
˜
𝑥 = 𝛽𝑥,
˜
𝑝 =
𝑝
𝛽
再令
𝛼 =
1
√
2
(
˜
𝑥 + 𝑖
˜
𝑝
)
𝛼 满足的运动方程为
¤𝛼 = −𝑖𝜔 𝛼
这是一个线性的微分方程, 解为
𝛼(𝑡) = 𝛼(0)𝑒
−𝑖𝜔𝑡
𝛼(0) 由零时刻的位置和动量决定
𝛼(0) =
1
√
2
𝛽𝑥 (0) +𝑖
𝑝(0)
𝛽
那么可以用 𝛼 描述谐振子的运动
˜
𝑥 =
1
√
2
𝛼(0)𝑒
−𝑖𝜔𝑡
+ 𝛼
∗
(0)𝑒
𝑖 𝜔𝑡
,
˜
𝑝 = −
𝑖
√
2
𝛼(0)𝑒
−𝑖𝜔𝑡
− 𝛼
∗
(0)𝑒
𝑖 𝜔𝑡
Hamilton 量可以改写为
𝐻 = ℏ𝜔
|
𝛼
0
|
2
对于量子谐振子而言,𝑋, 𝑃, 𝐻 可以用产生湮灭算子表示
𝑋 =
1
√
2𝛽
(𝑎 + 𝑎
†
), 𝑃 = −
𝑖ℏ𝛽
√
2
(𝑎 − 𝑎
†
), 𝐻 = ℏ𝜔
𝑎
†
𝑎 +
1
2
由于算子 𝑎, 𝑎
†
不含时, 其期望值满足方程
𝑖ℏ
d
h
𝑎
i
d𝑡
=
h
[𝑎, 𝐻]
i
= ℏ𝜔
h
𝑎
i
解得
h
𝑎
i
=
h
𝑎
i
(0)𝑒
−𝑖𝜔𝑡
𝑋, 𝑃, 𝐻 的期望值就可以表示为
h
𝑋
i
=
1
√
2𝛽
h
𝑎
i
(0)𝑒
−𝑖𝜔𝑡
+
h
𝑎
i
(0)
∗
𝑒
𝑖 𝜔𝑡
,
h
𝑃
i
= −
𝑖ℏ𝛽
√
2
h
𝑎
i
(0)𝑒
−𝑖𝜔𝑡
−
h
𝑎
i
(0)
∗
𝑒
𝑖 𝜔𝑡
h
𝐻
i
= ℏ𝜔
𝑎
†
𝑎
(0) +
ℏ𝜔
2
与经典谐振子的差别仅在于哈密顿量的零点能. 希望找到满足这样条件的量子态
|
𝜓
i
, 即期望值满足
h
𝜓
|
𝑎
|
𝜓
i
= 𝛼
0
h
𝜓
|
𝑎
†
𝑎
|
𝜓
i
=
|
𝛼
0
|
2
4.2 相干态的求解
设 a
|
𝜓
i
=
|
𝜑
i
, 上式即化为
h
𝜓
|
𝜑
i
= 𝛼
0
,
h
𝜑
|
𝜑
i
=
|
𝛼
0
|
2
那么由 Chaucy-Schwarz 不等式
|h
𝜓
|
𝜑
i|
2
≤
h
𝜓
|
𝜓
i h
𝜑
|
𝜑
i
得到
|
𝛼
0
|
2
=
|h
𝜓
|
𝜑
i|
2
≤
h
𝜑
|
𝜑
i
设算子
𝑏(𝛼
0
) = a − 𝛼
0
I
那么
𝑏
†
𝑏 = a
†
a − 𝛼
∗
0
a
†
− 𝛼
0
a +
|
𝛼
0
|
2
I
那么
h
𝜓
|
𝑏
†
𝑏
|
𝜓
i
=
h
𝜓
|
a
†
a
|
𝜓
i
− 𝛼
∗
0
h
𝜓
|
a
|
𝜓
i
− 𝛼
0
h
𝜓
|
a
†
|
𝜓
i
+
|
𝛼
0
|
2
=
|
𝛼
0
|
2
−
|
𝛼
0
|
2
−
|
𝛼
0
|
2
+
|
𝛼
0
|
2
= 0
因而
h
𝜓
|
𝑏
†
𝑏
|
𝜓
i
= 0 ⇒ 𝑏
|
𝜓
i
= 0
即
a
|
𝜓
i
= 𝛼
0
|
𝜓
i
这意味着相干态是 𝑎 的本征态. 设相干态为
|
𝛼
i
, 它应当可以用能量本征态展开
|
𝛼
i
=
Õ
𝑛
𝑐
𝑛
|
𝑛
i
为了得到组合系数, 用 𝑎 作用
a
|
𝛼
i
=
Õ
𝑛
𝑐
𝑛
√
𝑛
|
𝑛 − 1
i
= 𝛼
|
𝛼
i
由于能量本征态是正交归一的, 那么
𝑐
𝑛+1
=
𝛼
√
𝑛 + 1
𝑐
𝑛
递推到 𝑛 = 0 时, 得到
𝑐
𝑛
=
𝛼
𝑛
√
𝑛!
𝑐
0
为了得到 𝑐
0
, 利用归一化条件
Õ
𝑛
|
𝑐
𝑛
|
2
=
|
𝑐
0
|
2
Õ
𝑛
|
𝛼
|
2𝑛
𝑛!
= 1
即
|
𝑐
0
|
2
𝑒
|
𝛼
|
2
= 1 ⇒ 𝑐
0
= 𝑒
−
|
𝛼
|
2
/2
那么
|
𝛼
i
= 𝑒
−
|
𝛼
|
2
/2
Õ
𝑛
𝛼
𝑛
√
𝑛!
|
𝑛
i
自然有能级分布的概率密度
𝑝
𝑛
=
|
𝑐
𝑛
|
2
=
|
𝛼
|
2𝑛
𝑛!
𝑒
−
|
𝛼
|
2
当 𝑛 = 𝛼
2
时, 概率最大, 最可几能级为
𝐸 = ℏ𝜔
b𝛼c
2
+
1
2
这实际上也是能量的期望值, 相比于计算级数展开可以使用一种更加优雅的方法
h
𝐻
i
= ℏ𝜔
𝑎
†
𝑎 +
1
2
= ℏ𝜔
|
𝛼
|
2
+
1
2
也可以如此计算能量的方差, 只需要计算
𝐻
2
= ℏ𝜔
𝑎
†
𝑎 +
1
2
2
= ℏ𝜔
|
𝛼
|
4
+ 2
|
𝛼
|
2
+
1
4
进而
Δ𝐻 =
q
h
𝐻
2
i
−
h
𝐻
i
2
= ℏ𝜔
|
𝛼
|
由于
Δ𝐻
h
𝐻
i
=
1
|
𝛼
|
当 𝛼 足够大时, 相干态主要处于最可几能级
4.3 相干态的性质
相干态具有超完备性
𝜋
−1
∬
|
𝛼
i h
𝛼
|
d(𝑅𝑒𝛼)𝑑(𝐼𝑚𝛼 ) = I
这是因为
∬
|
𝛼
i h
𝛼
|
d(𝑅𝑒𝛼)𝑑(𝐼𝑚𝛼 ) =
Õ
𝑛,𝑚
∬
𝛼
𝑛
𝛼
∗𝑚
√
𝑛!𝑚!
𝑒
−
|
𝛼
|
2
|
𝑛
i h
𝑚
|
d(𝑅𝑒𝛼)𝑑(𝐼𝑚𝛼 )
而
∬
𝛼
𝑛
𝛼
∗𝑚
𝑒
−
|
𝛼
|
2
d(𝑅𝑒𝛼)𝑑(𝐼𝑚𝛼 ) =
∫
2 𝜋
0
∫
∞
0
𝑟
𝑛+𝑚+1
𝑒
−𝑟
2
𝑑𝑟𝑑𝜃
=
𝜋𝑛
!
𝛿
𝑛,𝑚
不同的相干态之间不是正交的
h
𝛼
0
|
𝛼
i
= exp
−
1
2
|
𝛼
0
|
2
−
1
2
|
𝛼
|
2
Õ
𝑛,𝑚
𝛼
∗𝑛
𝛼
0𝑚
√
𝑛!𝑚!
h
𝑛
|
𝑚
i
= exp
−
1
2
|
𝛼
0
|
2
−
1
2
|
𝛼
|
2
exp
{
𝛼
∗
𝛼
0
}
再对其取模得到
|h
𝛼
0
|
𝛼
i|
2
= exp
−
1
2
|
𝛼 − 𝛼
0
|
2
可见其不正交
4.4 相干态的演化
由于哈密顿量不含时, 相干态的演化可以直接写出
|
𝜓𝑡
i
= 𝑒
−
|
𝛼
|
2
/2
Õ
𝑛
𝛼
𝑛
√
𝑛!
𝑒
−𝑖𝐸
𝑛
𝑡/ℏ
|
𝑛
i
= 𝑒
−𝑖𝜔𝑡/2
𝑒
−
|
𝛼
|
2
/2
Õ
𝑛
𝛼
𝑛
√
𝑛!
𝑒
−𝑖𝑛𝜔𝑡
|
𝑛
i
只需要做一个换元, 令 𝛼𝑒
−𝑖𝜔𝑡
= 𝛽, 那么
|
𝜓(𝑡)
i
= 𝑒
−𝑖𝜔𝑡/2
𝑒
−
|
𝛽
|
2
/2
Õ
𝑛
𝛽
𝑛
√
𝑛!
|
𝑛
i
它仍然是一个相干态, 只是多了一个相位. 这说明相干态在演化过程中保持为相干态
4.5 不确定关系
将位置算符与动量算符写为升降算子, 可以容易地求出它们的期望
h
𝑋
i
=
r
2ℏ
𝑚𝜔
𝑅𝑒(𝛼𝑒
−𝑖𝜔𝑡
),
h
𝑃
i
= −
√
2ℏ𝑚𝜔𝐼𝑚 (𝛼𝑒
−𝑖𝜔𝑡
)
𝑋
2
=
ℏ
2𝑚𝜔
4[𝑅𝑒(𝛼𝑒
−𝑖𝜔𝑡
)]
2
+ 1
,
𝑃
2
=
ℏ𝑚𝜔
2
4[𝐼𝑚(𝛼𝑒
−𝑖𝜔𝑡
)]
2
+ 1
进而可以得到它们的方差
Δ𝑋 =
r
ℏ
2𝑚𝜔
, Δ𝑃 =
r
ℏ𝑚𝜔
2
进而
Δ𝑋Δ𝑃 =
ℏ
2
相干态是满足最小不确定性关系
4.6 相空间的平移
由于位置算符是动量平移的生成元, 动量平移算符是位置平移的生成元, 那么可以写出位置平移和动量平
移的算子
𝑈
𝑥
(𝑥
0
) = 𝑒
−𝑖𝑃 𝑥
0
/ℏ
, 𝑈
𝑝
(𝑝
0
) = 𝑒
𝑖𝑋 𝑝
0
/ℏ
同时进行位置和动量的平移, 即是相空间的平移, 其算子为
𝐷( 𝑥
0
, 𝑝
0
) = 𝑒
−𝑖𝑃 𝑥
0
/ℏ
◦ 𝑒
𝑖𝑋 𝑝
0
/ℏ
由于位置算子与动量算子有对易关系
[𝑋, 𝑃] = 𝑖ℏI
而且并不介意量子态多一个整体的固定相位, 那么
𝐷( 𝑥
0
, 𝑝
0
) = 𝑒
−𝑖(𝑃 𝑥
0
−𝑋 𝑝
0
)/ℏ
鉴于 𝑋 和 𝑃 都能用升降算子表示
𝑋 =
1
√
2𝛽
(𝑎 + 𝑎
†
), 𝑃 = −
𝑖ℏ𝛽
√
2
(𝑎 − 𝑎
†
)
那么平移算子也可以写为
𝐷( 𝑥
0
, 𝑝
0
) = 𝑒
𝛼𝑎
†
−𝛼
∗
𝑎
其中
𝑥
0
=
r
2ℏ
𝑚𝜔
𝑅𝑒(𝛼), 𝑝
0
=
√
2ℏ𝑚𝜔𝐼𝑚 (𝛼)
由其定义, 平移算符作用在位置算符与动量算符上, 就是对位置和动量进行平移
𝐷 𝑋𝐷
†
= 𝑋 − 𝑥
0
I, 𝐷𝑃𝑋
†
= 𝑃 − 𝑝
0
I
若是将其作用于能量基态上, 将会得到相干态. 利用
𝑒
𝐴
𝑒
𝐵
= 𝑒
𝐴+𝐵
𝑒
1
2
[𝐴,𝐵]
, [𝐴, [𝐴, 𝐵]] = [𝐵, [𝐴, 𝐵]] = 0
可以得到
𝐷(𝛼)
|
0
i
= 𝑒
−
|
𝛼
|
2
/2
Õ
𝑛
𝛼𝑎
†
𝑛
𝑛!
|
0
i
= 𝑒
−
|
𝛼
|
2
/2
Õ
𝑛
𝛼
𝑛
√
𝑛!
|
𝑛
i
=
|
𝛼
i
4.7 平移算子的性质
由于平移算子可以写为升降算子的形式
𝐷(𝛼) = 𝑒
𝛼𝑎
†
−𝛼
∗
𝑎
利用 [𝑎, 𝑎
†
] = I, 可以得到
𝐷(𝛼) = exp
−
1
2
|
𝛼
|
2
exp
𝛼𝑎
†
exp
{
−𝛼
∗
𝑎
}
= exp
1
2
|
𝛼
|
2
exp
{
−𝛼
∗
𝑎
}
exp
𝛼𝑎
†
𝐷 是一个酉算子, 意味着它的伴随就是它的逆. 并且由于平移的物理意义, 它的逆就是反向平移
𝐷
†
(𝛼) = 𝐷( −𝛼)
对于任意的算子 𝐺 (𝑎, 𝑎
†
), 平移算子的作用可以写为
𝐷
†
(𝛼)𝐺(𝑎, 𝑎
†
)𝐷(𝛼) = 𝐺(𝑎 + 𝛼, 𝑎
†
+ 𝛼
∗
)
为了证明它, 需要先证明
𝐷
†
(𝛼)𝑎𝐷(𝛼) = 𝑎 + 𝛼, 𝐷
†
(𝛼)𝑎
†
𝐷(𝛼) = 𝑎
†
+ 𝛼
∗
利用 BCH 公式
𝑒
𝐴
𝐵𝑒
−𝐴
= 𝐵 + [𝐴, 𝐵] +
1
2!
[𝐴, [𝐴, 𝐵]] +
1
3!
[𝐴, [𝐴, [𝐴, 𝐵]]] + ···
鉴于
[𝛼𝑎
†
− 𝛼
∗
𝑎, 𝑎] = 𝛼[𝑎
†
, 𝑎] − 𝛼
∗
[𝑎, 𝑎] = −𝛼I
那么高于一阶的对易子都为零, 因而
𝐷
†
(𝛼)𝑎𝐷(𝛼) = 𝑎 + [𝑎, 𝛼𝑎
†
− 𝛼
∗
𝑎] = 𝑎 + 𝛼I
同理
[𝛼𝑎
†
− 𝛼
∗
𝑎, 𝑎
†
] = 𝛼[𝑎
†
, 𝑎
†
] − 𝛼
∗
[𝑎, 𝑎
†
] = 𝛼
∗
I
那么
𝐷
†
(𝛼)𝑎
†
𝐷(𝛼) = 𝑎
†
+ [𝛼𝑎
†
− 𝛼
∗
𝑎, 𝑎
†
] = 𝑎
†
+ 𝛼
∗
I
更进一步, 利用平移算符的伴随性质, 可以得到
𝐷
†
(𝛼)𝑎
𝑛
(𝑎
†
)
𝑚
𝐷(𝛼) = [𝐷
†
(𝛼)𝑎𝐷(𝛼)]
𝑛
[𝐷
†
(𝛼)𝑎
†
𝐷(𝛼)]
𝑚
= (𝑎 + 𝛼)
𝑛
(𝑎
†
+ 𝛼
∗
)
𝑚
任意的函数 𝐺 (𝑎, 𝑎
†
) 都可以写为 𝑎 和 𝑎
†
的幂级数
𝐺 (𝑎, 𝑎
†
) =
Õ
𝑛,𝑚
𝑐
𝑛,𝑚
𝑎
𝑛
(𝑎
†
)
𝑚
那么被平移算子作用后
𝐷
†
(𝛼)𝐺(𝑎, 𝑎
†
)𝐷(𝛼) =
Õ
𝑛,𝑚
𝑐
𝑛,𝑚
𝐷
†
(𝛼)𝑎
𝑛
(𝑎
†
)
𝑚
𝐷(𝛼) =
Õ
𝑛,𝑚
𝑐
𝑛,𝑚
(𝑎 + 𝛼)
𝑛
(𝑎
†
+ 𝛼
∗
)
𝑚
= 𝐺 (𝑎 + 𝛼, 𝑎
†
+ 𝛼
∗
)
至此完成了证明
两次平移算子的作用可以归于一次平移算子的作用, 只不过需要添加一个相位
𝐷(𝛼)𝐷 (𝛽) = 𝑒
𝛼𝛽
∗
−𝛼
∗
𝛽
𝐷(𝛼 + 𝛽) = 𝑒
𝑖𝐼 𝑚(𝛼𝛽
∗
)
𝐷(𝛼 + 𝛽)
4.8 相干态的波函数
利用平移算子可以将波函数写为
𝜑
𝛼
(𝑥) =
h
𝑥
|
𝛼
i
=
h
𝑥
|
𝐷(𝛼)
|
0
i
代入
𝐷(𝛼) = exp
𝑖
2ℏ
𝑥
0
𝑝
0
exp
𝑖
ℏ
𝑝
0
𝑋
exp
−
𝑖
ℏ
𝑥
0
𝑃
其中
𝑥
0
=
s
2
𝛽
𝑅𝑒(𝛼), 𝑝
0
=
p
2ℏ𝛽𝐼𝑚(𝛼)
那么
𝜑
𝛼
(𝑥) =
h
𝑥
|
exp
𝑖
2ℏ
𝑥
0
𝑝
0
exp
𝑖
ℏ
𝑝
0
𝑋
exp
−
𝑖
ℏ
𝑥
0
𝑃
|
0
i
鉴于
h
𝑥
|
exp
𝑖
ℏ
𝑝
0
𝑋
=
h
𝑥
|
Õ
𝑛
𝑖
ℏ
𝑝
0
𝑋
𝑛
𝑛!
=
∫
+∞
−∞
Õ
𝑛
h
𝑥
|
𝑖
ℏ
𝑝
0
𝑋
𝑛
𝑛!
|
𝑥
0
i h
𝑥
0
|
d𝑥
0
= exp
𝑖
ℏ
𝑝
0
𝑥
h
𝑥
|
那么就得到了波函数
𝜓
𝛼
(𝑥) = exp
𝑖
2ℏ
𝑥
0
𝑝
0
exp
𝑖
ℏ
𝑝
0
𝑥
𝑢
0
(𝑥 − 𝑥
0
)
如果展开为一个解析的形式, 利用
𝑢
0
(𝑥) =
√
𝛽
4
√
𝜋
exp
−
𝛽𝑥
2
2
那么
𝜓
𝛼
(𝑥) =
√
𝛽
4
√
𝜋
exp
𝑖
2ℏ
𝑥
0
𝑝
0
exp
(
−
𝛽
√
2
(𝑥 − 𝑥
0
)
2
+𝑖
𝑝
0
ℏ
𝑥
)
5 受迫谐振子
对谐振子施加一个外力, 其 Hamilton 量为
𝐻 =
𝑃
2
2𝑚
+
1
2
𝑚𝜔
2
𝑋
2
− 𝑓 (𝑡)𝑋
将其写为
𝐻 = 𝐻
0
+𝑉 (𝑡)
𝐻
0
的时间演化算子可以简单的写出
𝑈
0
(𝑡) = 𝑒
−𝑖𝐻
0
𝑡/ℏ
= 𝑒
−𝑖𝜔𝑡
(
𝑎
†
𝑎+
1
2
)
它满足方程
𝑖ℏ
d𝑈
0
(𝑡)
d𝑡
= 𝐻
0
𝑈
0
(𝑡)
期望中的时间演化算子应当满足
|
𝜓(𝑡)
i
= 𝑈 (𝑡)
|
𝜓(0)
i
假定有演化路径
|
𝜓(0)
i
˜
𝑈 (𝑡 )
−−−→
˜
𝜓(𝑡)
𝑈
0
(𝑡 )
−−−−→
|
𝜓(𝑡)
i
那么时间演化算子应当写为
𝑈(𝑡) = 𝑈
0
(𝑡)
˜
𝑈(𝑡)
相当于从 𝑈 (𝑡) 中剥离出 𝑈
0
(𝑡) 的部分 . 由于 𝑈
0
(𝑡) 是酉算子, 那么
˜
𝑈(𝑡) = 𝑈
†
0
(𝑡)𝑈(𝑡)
有
˜
𝜓(𝑡)
=
˜
𝑈(𝑡)
˜
𝜓(0)
, 那么
𝑖ℏ
d
˜
𝜓(𝑡)
d𝑡
= 𝑖ℏ
d
˜
𝑈(𝑡)
d𝑡
˜
𝜓(0)
由于
˜
𝑈(𝑡) = 𝑈
†
0
(𝑡)𝑈(𝑡), 那么
d
˜
𝑈(𝑡)
d𝑡
=
d𝑈
†
0
(𝑡)
d𝑡
𝑈(𝑡) +𝑈
†
0
(𝑡)
d𝑈(𝑡)
d𝑡
= −
1
𝑖ℏ
𝑈
†
0
𝐻
0
𝑈 +𝑈
†
0
1
𝑖ℏ
(𝐻
0
+𝑉)𝑈
化简得
d
˜
𝑈(𝑡)
d𝑡
=
1
𝑖ℏ
𝑈
†
0
𝑉𝑈
0
˜
𝑈(𝑡) =
1
𝑖ℏ
˜
𝑉 (𝑡)
˜
𝑈(𝑡)
即
𝑖ℏ
d
˜
𝜓(𝑡)
d𝑡
=
˜
𝑉 (𝑡)
˜
𝜓(𝑡)
将受迫谐振子中的 𝑓 (𝑡)𝑋 写为
𝑊 (𝑡) =
𝑓 (𝑡)
√
2𝛽
(𝑎 + 𝑎
†
)
那么
𝐻 = 𝐻
0
+𝑊 (𝑡)
那么
˜
𝑊 (𝑡) = 𝑈
†
0
(𝑡)𝑊 (𝑡)𝑈
0
(𝑡) = −
𝑓 (𝑡)
√
2𝛽
𝑎𝑒
−𝑖𝜔𝑡
+ 𝑎
†
𝑒
𝑖 𝜔𝑡
为了形式的简化, 定义
𝐹 (𝑡) =
1
√
2𝛽
∫
𝑡
0
𝑓 (𝑠)𝑒
𝑖 𝜔𝑠
d𝑠
那么
˜
𝑊 (𝑡) = −𝐹 (𝑡)𝑎 − 𝐹
∗
(𝑡)𝑎
†
相互作用图像中有方程
𝑖ℏ
d
˜
𝑈
d𝑡
=
˜
𝑊
˜
𝑈
即
d
˜
𝑈
d𝑡
= 𝑖
¤
𝐹𝑎 +
¤
𝐹
∗
𝑎
†
˜
𝑈
令
𝑆 = 𝑒
−𝑖𝐹𝑎
†
˜
𝑈
那么
d𝑆
d𝑡
= −𝑖
¤
𝐹𝑎
†
𝑒
−𝑖𝐹𝑎
†
˜
𝑈 + 𝑒
−𝑖𝐹𝑎
†
d
˜
𝑈
d𝑡
= −𝑖
¤
𝐹𝑎
†
𝑒
−𝑖𝐹𝑎
†
˜
𝑈 + 𝑒
−𝑖𝐹𝑎
†
𝑖(
¤
𝐹
∗
𝑎 +
¤
𝐹𝑎
†
)
˜
𝑈
即
d𝑆
d𝑡
= 𝑖𝑒
−𝑖𝐹𝑎
†
¤
𝐹
∗
𝑎
˜
𝑈
将
˜
𝑈 替换为 𝑒
𝑖𝐹𝑎
†
𝑆 得到
d𝑆
d𝑡
= 𝑖𝑒
−𝑖𝐹𝑎
†
¤
𝐹
∗
𝑎𝑒
𝑖𝐹𝑎
†
𝑆
利用对易子改写
d𝑆
d𝑡
= 𝑖
¤
𝐹
∗
𝑎 + [−𝑖𝐹𝑎
†
, 𝑎]
𝑆 = 𝑖
¤
𝐹
∗
(
𝑎 +𝑖𝐹
)
𝑆
解得
𝑆 = 𝑒
𝑖𝐹
∗
𝑎
exp
−
∫
𝑡
0
𝐹 (𝑠)
¤
𝐹
∗
(𝑠)d𝑠
进而得到 𝑈(𝑡)
𝑈(𝑡) = exp
−
∫
𝑡
0
𝐹 (𝑠)
¤
𝐹
∗
(𝑠)d𝑠
𝑒
−𝑖𝐻
0
𝑡/ℏ
𝑒
𝑖𝐹𝑎
†
𝑒
𝑖𝐹
∗
𝑎
考虑一般一些的含时情形, 有三个算子 𝐴, 𝐵, 𝐶, 它们满足
[𝐴(𝑡), 𝐴(𝑡
0
)] = [𝐵(𝑡), 𝐵(𝑡
0
)] = 0
[𝐴(𝑡), 𝐵( 𝑡
0
)] = 𝐶 (𝑡, 𝑡
0
)
[𝐴(𝑡
00
), 𝐶 (𝑡, 𝑡
0
)] = [𝐵(𝑡
00
), 𝐶 (𝑡, 𝑡
0
)] = 0
希望求解下面的方程
d𝑉 (𝑡)
d𝑡
= [𝐴(𝑡) + 𝐵(𝑡)]𝑉 (𝑡)
可以解得
𝑉 (𝑡) = exp
∫
𝑡
0
𝐵(𝑠)d𝑠
exp
∫
𝑡
0
𝐴(𝑠)d𝑠
exp
∫
𝑡
0
∫
𝑠
0
𝐶(𝑠
0
, 𝑠)d𝑠
0
d𝑠
𝑉 (0)
将 𝑉 (𝑡) 换为向量该解应当也成立, 那么求解同样的方程
d
˜
𝜓(𝑡)
d𝑡
= 𝑖(
¤
𝐹
∗
𝑎 +
¤
𝐹𝑎
†
)
˜
𝜓(𝑡)
,
˜
𝜓(0)
=
|
𝜓(0)
i
做换元
|
𝜒(𝑡)
i
= 𝑒
−𝑖𝐹𝑎
˜
𝜓(𝑡)
,
|
𝜒(0)
i
=
|
𝜓(0)
i
那么方程就会变为
d
|
𝜒(𝑡)
i
d𝑡
= 𝑖
¤
𝐹
∗
(𝑎 + 𝑖𝐹)
|
𝜒(𝑡)
i
= (𝑖
¤
𝐹
∗
𝑎 −
¤
𝐹𝐹I)
|
𝜒(𝑡)
i
由于 [𝑖
¤
𝐹
∗
𝑎, 𝐹I] = 0, 那么由公式可以直接得到
|
𝜒(𝑡)
i
= 𝑒
−𝑖𝐹
∗
𝑎
exp
−
∫
𝑡
0
𝐹 (𝑠)
¤
𝐹
∗
(𝑠)d𝑠
|
𝜒(0)
i
进而
|
𝜓(𝑡)
i
= exp
−
∫
𝑡
0
𝐹 (𝑠)
¤
𝐹
∗
(𝑠)d𝑠
𝑒
−𝑖𝐻
0
𝑡/ℏ
𝑒
𝑖𝐹𝑎
†
𝑒
𝑖𝐹
∗
𝑎
|
𝜓(0)
i
简记为
|
𝜓(𝑡)
i
= 𝐺 (𝑡)𝑒
−𝑖𝐻
0
𝑡/ℏ
𝑒
𝑖𝐹𝑎
†
𝑒
𝑖𝐹
∗
𝑎
|
𝜓(0)
i
若取初态
|
𝜓(0)
i
为能量基态
|
0
i
, 那么
|
𝜓(𝑡)
i
= 𝐺 (𝑡)𝑒
−𝑖𝐻
0
𝑡/ℏ
𝑒
𝑖𝐹𝑎
†
𝑒
𝑖𝐹
∗
𝑎
|
0
i
由于 𝑎
|
0
i
= 0,𝑎 的指数自动消失
|
𝜓(𝑡)
i
= 𝐺 (𝑡)𝑒
−𝑖𝐻
0
𝑡/ℏ
𝑒
𝑖𝐹𝑎
†
|
0
i
将 𝐹 的指数展开为幂级数
𝑒
𝑖𝐹𝑎
†
|
0
i
=
Õ
𝑛
(𝑖𝐹𝑎
†
)
𝑛
𝑛!
|
0
i
=
Õ
𝑛
(𝑖𝐹)
𝑛
𝑛!
𝑎
†𝑛
|
0
i
=
Õ
𝑛
(𝑖𝐹)
𝑛
√
𝑛!
|
𝑛
i
由于
𝐻
0
= ℏ𝜔
𝑎
†
𝑎 +
1
2
= ℏ𝜔
𝑁 +
1
2
那么
𝑒
−𝑖𝐻
0
𝑡/ℏ
|
𝑛
i
= 𝑒
−𝑖𝜔𝑡
(
𝑛+
1
2
)
|
𝑛
i
故
|
𝜓(𝑡)
i
= 𝐺 (𝑡)𝑒
−𝑖𝜔𝑡/2
Õ
𝑛
(𝑖𝐹)
𝑛
√
𝑛!
𝑒
−𝑖𝑛𝜔𝑡
|
𝑛
i
它正好长者一副相干态的形式
|
𝛼
i
= 𝑒
−
|
𝛼
|
2
/2
Õ
𝑛
𝛼
𝑛
√
𝑛!
|
𝑛
i
只需要令
𝛼(𝑡) = 𝑖𝐹𝑒
−𝑖𝜔𝑡
上式便化为了
|
𝜓(𝑡)
i
= 𝐺 (𝑡)𝑒
−𝑖𝜔𝑡/2
|
𝛼(𝑡)
i
这正是一个相干态. 事实上只有相干态才能在时间演化后保持为相干态
