一维自由粒子
目录
1 传播子 2
1.1 delta 函数的演化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 一般初态的演化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 平移的初态 3
2.1 相干态的演化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 一般的传播子 4
3.1 传播子是时间演化算子在位置表象中的表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 能量表象中的传播子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 传播子满足的方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1
1 传播子
1.1 delta 函数的演化
考虑自由粒子的 Hamilton 量
𝐻 =
𝑃
2
2𝑚
它显然与动量算符对易, 所以能量本征态是动量本征态, 取动量表象是极为方便的. 假定动量表象的本征
矢与本征值分别为
|
𝑘
⟩
, ℏ𝑘
那么能量” 本征值” 为
𝐸 =
ℏ
2
𝑘
2
2𝑚
动量本征态是完备的, 这意味着任意的态都可以在动量表象下展开
|
𝜓
⟩
=
∫
𝑐(𝑘)
|
𝑘
⟩
d𝑘
其中组合系数为内积
𝑐(𝑘) =
⟨
𝑘 |𝜓
⟩
若选取初始态为位于位置 𝑥
0
的粒子, 那么
⟨
𝑘 |𝑥
0
⟩
=
∫
⟨
𝑘 |𝑥
⟩ ⟨
𝑥|𝑥
0
⟩
d𝑥 =
1
√
2𝜋
∫
𝑒
−𝑖𝑘 𝑥
𝛿(𝑥 − 𝑥
0
)d𝑥 =
1
√
2𝜋
𝑒
−𝑖𝑘 𝑥
0
那么它演化到 𝑡 时刻的态为
|
𝜓(𝑡)
⟩
= 𝑒
−𝑖𝐻𝑡 /ℏ
|
𝜓(0)
⟩
=
1
√
2𝜋
∫
𝑒
−𝑖𝑘 𝑥
0
exp
−
𝑖ℏ𝑘
2
𝑡
2𝑚
|
𝑘
⟩
d𝑘
求其波函数
𝜓
(
𝑥, 𝑡
)
=
⟨
𝑥
|
𝜓
(
𝑡
)
⟩
=
1
2𝜋
∫
exp
𝑖𝑘 (𝑥 − 𝑥
0
) −
𝑖ℏ𝑘
2
𝑡
2𝑚
d𝑘
注意 (不) 到 (一点)
∫
+∞
−∞
𝑒
−𝑢𝑦
2
𝑒
𝑣𝑦
d𝑦 =
r
𝜋
𝑢
𝑒
𝑣
2
4𝑢
, ℜ(𝑢) > 0
那么
𝜓(𝑥, 𝑡) =
r
𝑚
2𝜋𝑖ℏ𝑡
exp
𝑖𝑚(𝑥 − 𝑥
0
)
2
2ℏ𝑡
它就是初态为 𝛿(𝑥 − 𝑥
0
) 的自由粒子在 𝑡 时刻的波函数, 称其为传播子
𝐾 (𝑥, 𝑡; 𝑥
0
, 0) =
r
𝑚
2𝜋𝑖ℏ𝑡
exp
𝑖𝑚(𝑥 − 𝑥
0
)
2
2ℏ𝑡
1.2 一般初态的演化
对于一般的自由粒子初态, 同样将其在动量表象下展开
|
𝜓
⟩
=
∫
𝑐(𝑘)
|
𝑘
⟩
d𝑘
只不过这里的组合系数 𝑐(𝑘) 是未知的, 但是仍然可以形式地将其写为内积, 并在位置表象下计算
𝑐(𝑘) =
⟨
𝑘 |𝜓
⟩
=
∫
⟨
𝑘 |𝑥
′
⟩ ⟨
𝑥
′
|𝜓
⟩
d𝑥
′
=
1
√
2𝜋
∫
𝑒
−𝑖𝑘 𝑥
′
𝜓(𝑥
′
)d𝑥
′
其中 𝜓(𝑥
′
) 是初始时刻的波函数. 由于哈密顿量不含时,𝑡 时刻的量子态可以直接写出
|
𝜓(𝑡)
⟩
=
∫
𝑐(𝑘) exp
−
𝑖ℏ𝑘
2
𝑡
2𝑚
|
𝑘
⟩
d𝑘
再求其波函数
𝜓(𝑥, 𝑡) =
⟨
𝑥|𝜓 (𝑡)
⟩
=
∫
𝑐(𝑘) exp
−
𝑖ℏ𝑘
2
𝑡
2𝑚
⟨
𝑥|𝑘
⟩
d𝑘
将内积展开并代入组合系数得到
𝜓(𝑥, 𝑡) =
∫
1
2𝜋
∫
𝑒
𝑖𝑘 (𝑥−𝑥
′
)
exp
−
𝑖ℏ𝑘
2
𝑡
2𝑚
d𝑘
𝜓(𝑥
′
)d𝑥
′
中间的积分是传播子, 所以
𝜓(𝑥, 𝑡) =
∫
𝐾 (𝑥, 𝑡; 𝑥
′
, 0)𝜓 (𝑥
′
)d𝑥
′
𝑡 = 0 时刻的波函数经由传播子给出了 𝑡 时刻的波函数
2 平移的初态
假定对初态进行动量平移操作
|
𝜓(0)
⟩
= 𝑒
𝑖𝑘
0
𝑋/ℏ
|
𝜑
⟩
它在位置表象下的波函数可以简单地写出
𝜓(𝑥, 0) =
⟨
𝑥|𝜓 (0)
⟩
= 𝑒
𝑖𝑘
0
𝑥/ℏ
𝜑(𝑥)
那么由传播子给出 𝑡 时刻的波函数
𝜓(𝑥, 𝑡) =
∫
r
𝑚
2𝜋𝑖ℏ𝑡
exp
𝑖𝑚(𝑥 − 𝑥
′
)
2
2ℏ𝑡
𝜑(𝑥
′
)𝑒
𝑖𝑘
0
𝑥
′
/ℏ
d𝑥
′
=
r
𝑚
2𝜋𝑖ℏ𝑡
∫
exp
(
𝑖𝑚
2ℏ𝑡
"
𝑥
2
−
𝑥 −
𝑘
0
𝑡
𝑚
2
+
𝑥 −
𝑘
0
𝑡
𝑚
− 2
𝑥 −
𝑘
0
𝑡
𝑚
𝑥
′
+ 𝑥
′2
#)
𝜑(𝑥
′
)d𝑥
′
从指数中提出一个相位因子得到
𝜓(𝑥, 𝑡) = exp
𝑖𝑘
0
ℏ
𝑥 −
𝑘
0
𝑡
2𝑚
r
𝑚
2𝜋𝑖ℏ𝑡
∫
exp
(
𝑖𝑚
2ℏ𝑡
𝑥 −
𝑘
0
𝑡
𝑚
− 𝑥
′
2
)
𝜑(𝑥
′
)d𝑥
′
注意到
r
𝑚
2𝜋𝑖ℏ𝑡
exp
(
𝑖𝑚
2ℏ𝑡
𝑥 −
𝑘
0
𝑡
𝑚
− 𝑥
′
2
)
正是一个传播子
𝐾
𝑥 −
𝑘
0
𝑡
𝑚
, 𝑡; 𝑥
′
, 0
那么波函数就写为
𝜓(𝑥, 𝑡) = exp
𝑖𝑘
0
ℏ
𝑥 −
𝑘
0
𝑡
2𝑚
𝜑
𝑥 −
𝑘
0
𝑡
𝑚
, 𝑡
2.1 相干态的演化
对于相干态的波函数
𝜓
𝛼
(𝑥
1
, 0) =
𝑒
𝑖 𝜃
𝛼
4
√
𝜋
p
𝛽 exp
−
1
2
𝛽
2
(𝑥
1
− 𝑥
0
)
2
+
𝑖𝑝
0
𝑥
1
ℏ
利用传播子给出 𝑡 时刻的波函数
𝜓(𝑥, 𝑡) =
∫
+∞
−∞
𝐾 (𝑥, 𝑡; 𝑥
1
, 0)𝜓
𝛼
(𝑥
1
, 0)𝑑𝑥
1
得到
𝜓(𝑥, 𝑡) =
𝑒
𝑖
𝜋
4
𝑒
𝑖 𝜃
𝛼
4
√
𝜋
√
𝛽
𝜉 (𝑡)
exp
−
𝛽
2
(𝑥 − 𝑥
0
)
2
2𝜉
2
(𝑡)
+
𝑖𝑝
0
𝑥
ℏ𝜉
2
(𝑡)
−
𝑖𝑝
2
0
𝑡
2ℏ𝑚𝜉
2
(𝑡)
−
𝛽
2
𝑥
0
𝑝
0
𝑡
𝑚𝜉
2
(𝑡)
其中
𝜉 (𝑡) =
r
1 +
𝑖ℏ𝛽
2
𝑡
𝑚
得到概率分布对其求模平方
|𝜓(𝑥, 𝑡)|
2
=
𝛽
√
𝜋
1
q
1 +
ℏ
2
𝛽
4
𝑡
2
𝑚
2
exp
(
−
𝛽
2
𝑥 −
𝑥
0
+
𝑝
0
𝑡
𝑚
2
1 +
ℏ
2
𝛽
4
𝑡
2
𝑚
2
)
这是一个高斯波包. 如果取 𝑝
0
= 0, 波函数会在原地扩散; 若 𝑝
0
≠ 0, 波函数会一边扩散一边移动
3 一般的传播子
3.1 传播子是时间演化算子在位置表象中的表示
一般地, 我们希望
|
𝜓(r
2
, 𝑡
2
)
⟩
=
ˆ
𝑈( 𝑡
2
, 𝑡
1
)
|
𝜓(r
1
, 𝑡
1
)
⟩
将其转换到位置表象
𝜓(r
2
, 𝑡
2
) =
⟨
r |𝜓(r
2
, 𝑡
2
)
⟩
=
⟨
r
|
ˆ
𝑈( 𝑡
2
, 𝑡
1
)
|
𝜓(r
1
, 𝑡
1
)
⟩
=
∫
⟨
r
|
ˆ
𝑈( 𝑡
2
, 𝑡
1
)
r
′
r
′
|𝜓(r
1
, 𝑡
1
)
d
3
r
′
而后面的部分正是 𝑡
1
时刻的波函数 𝜓(r
1
, 𝑡
1
), 所以
𝜓(r
2
, 𝑡
2
) =
∫
⟨
r
|
ˆ
𝑈( 𝑡
2
, 𝑡
1
)
r
′
𝜓(r
′
, 𝑡
1
)d
3
r
′
这就是一般的传播子
,
即
,传播子是时间演化算子在位置表象中的表示
𝐾 (r
2
, 𝑡
2
; r
1
, 𝑡
1
) =
⟨
r
2
|
ˆ
𝑈( 𝑡
2
, 𝑡
1
)
|
r
1
⟩
3.2 能量表象中的传播子
假定哈密顿量的本征值是离散的
𝐻
|
𝐸
𝑛
⟩
= 𝐸
𝑛
|
𝑢
𝑛
⟩
按照定义, 将传播子在能量表象下展开
𝐾 (r
2
, 𝑡
2
; r
1
, 𝑡
1
) =
⟨
r
2
|
ˆ
𝑈( 𝑡
2
, 𝑡
1
)
|
r
1
⟩
=
Õ
𝑗,𝑘
r
2
|𝑢
𝑗
𝑢
𝑗
ˆ
𝑈( 𝑡
2
, 𝑡
1
)
|
𝑢
𝑘
⟩ ⟨
𝑢
𝑘
|r
1
⟩
鉴于时间演化算子作用在能量本征态上是简单的
ˆ
𝑈( 𝑡
2
, 𝑡
1
)
𝑢
𝑗
= 𝑒
−𝑖𝐸
𝑗
(𝑡
2
−𝑡
1
)/ℏ
𝑢
𝑗
代入上式得到
𝐾 (r
2
, 𝑡
2
; r
1
, 𝑡
1
) =
Õ
𝑗,𝑘
r
2
|𝑢
𝑗
𝑒
−𝑖𝐸
𝑗
(𝑡
2
−𝑡
1
)/ℏ
𝛿
𝑗 𝑘
⟨
𝑢
𝑘
|r
1
⟩
=
Õ
𝑗
𝑒
−𝑖𝐸
𝑗
(𝑡
2
−𝑡
1
)/ℏ
r
2
|𝑢
𝑗
𝑢
𝑗
|r
1
正好得到了能量本征态的波函数, 那么传播子就是
𝐾 (r
2
, 𝑡
2
; r
1
, 𝑡
1
) =
Õ
𝑗
𝑢
𝑗
(r
2
)𝑢
∗
𝑗
(r
1
)𝑒
−𝑖𝐸
𝑗
(𝑡
2
−𝑡
1
)/ℏ
3.3 传播子满足的方程
上面得到的传播子要求 𝑡
2
> 𝑡
1
, 为了使得 𝑡 可以取任意值, 加入阶跃函数将其扩展
𝐾 (r
2
, 𝑡
2
; r
1
, 𝑡
1
) = 𝜃 (𝑡
2
− 𝑡
1
)
Õ
𝑗
𝑢
𝑗
(r
2
)𝑢
∗
𝑗
(r
1
)𝑒
−𝑖𝐸
𝑗
(𝑡
2
−𝑡
1
)/ℏ
用薛定谔算子作用在 r
2
, 𝑡
2
上, 希望计算
𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑡
2
− 𝐻(r
2
, −𝑖ℏ∇
2
)
𝐾 (r
2
, 𝑡
2
; r
1
, 𝑡
1
)
时间的导数有
𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑡
2
𝐾 (2, 1) = 𝑖ℏ𝛿(𝑡
2
− 𝑡
1
)
Õ
𝑗
𝑢
∗
𝑗
(r
1
)𝑢
𝑗
(r
2
)𝑒
−𝑖𝐸
𝑗
(𝑡
2
−𝑡
1
)/ℏ
+ 𝜃 (𝑡
2
− 𝑡
1
)
Õ
𝑗
𝐸
𝑗
𝑢
∗
𝑗
(r
1
)𝑢
𝑗
(r
2
)𝑒
−𝑖𝐸
𝑗
(𝑡
2
−𝑡
1
)/ℏ
由于 𝑢
𝑗
是哈密顿量的本征函数, 被哈密顿量作用后得到本征值
𝐻(r
2
, −𝑖ℏ∇
2
)𝐾 (2, 1) = 𝜃 (𝑡
2
− 𝑡
1
)
Õ
𝑗
𝐸
𝑗
𝑢
∗
𝑗
(r
1
)𝑢
𝑗
(r
2
)𝑒
−𝑖𝐸
𝑗
(𝑡
2
−𝑡
1
)/ℏ
因而
𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑡
2
− 𝐻(r
2
, −𝑖ℏ∇
2
)
𝐾 (r
2
, 𝑡
2
; r
1
, 𝑡
1
) = 𝑖ℏ𝛿(𝑡
2
− 𝑡
1
)
Õ
𝑗
𝑢
∗
𝑗
(r
1
)𝑢
𝑗
(r
2
)𝑒
−𝑖𝐸
𝑗
(𝑡
2
−𝑡
1
)/ℏ
又由于
𝛿(𝑡
2
− 𝑡
1
)𝑒
−𝑖𝐸
𝑗
(𝑡
2
−𝑡
1
)/ℏ
= 𝛿(𝑡
2
− 𝑡
1
)
所以
𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑡
2
− 𝐻(r
2
, −𝑖ℏ∇
2
)
𝐾 (r
2
, 𝑡
2
; r
1
, 𝑡
1
) = 𝑖ℏ𝛿(𝑡
2
− 𝑡
1
)
Õ
𝑗
𝑢
∗
𝑗
(r
1
)𝑢
𝑗
(r
2
)
由于能量本征态是正交归一的完备基矢, 所以
Õ
𝑗
𝑢
∗
𝑗
(r
1
)𝑢
𝑗
(r
2
) =
Õ
𝑗
𝑢
𝑗
(r
2
)𝑢
∗
𝑗
(r
1
) =
Õ
𝑗
r
2
|𝑢
𝑗
𝑢
𝑗
|r
1
=
⟨
r
1
|r
2
⟩
= 𝛿(r
1
− r
2
)
那么原式即
𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑡
2
− 𝐻(r
2
, −𝑖ℏ∇
2
)
𝐾 (r
2
, 𝑡
2
; r
1
, 𝑡
1
) = 𝑖ℏ𝛿(r
1
− r
2
)𝛿(𝑡
2
− 𝑡
1
)
这就是传播子满足的方程, 方程的解是格林函数
