1 EPR 问题-量子力学的完备性
EPR 认为, 物理理论完备需要满足必要条件
任意一个现实中的物理元素都应该在物理理论中有对应的物理量
如果一个物理理论预言可以用某种方式在不干扰系统的情况下以 100% 的概率确定一个物理量的值, 那
么就应当存在与之对应的现实中的物理元素, 即实在性要素
假定有这样一个量子态
|
Ψ
⟩
=
1
√
2
(|
𝑧+
⟩ |
𝑧−
⟩
+
|
𝑧−
⟩ |
𝑧+
⟩)
那么可以通过测量 𝐴 粒子的 𝑧 方向自旋, 来确定 𝐵 粒子的 𝑧 方向自旋. 如果 𝐴 与 𝐵 之间间隔足够远 (比
如远到类空间隔), 对 𝐴 的测量不应对 𝐵 产生任何扰动, 因而 𝑆
𝑧
是 𝐵 的一个实在性要素
然而系统处于一个叠加的纠缠态, 不能确定 𝐵 的 𝑧 方向自旋. 因而量子力学中量子态的描述是不完备的
更进一步, 由于名称是无所谓的,
|
Ψ
⟩
可以写为
|
Ψ
⟩
=
1
√
2
(|
𝑥+
⟩ |
𝑥−
⟩
+
|
𝑥−
⟩ |
𝑥+
⟩)
那么 𝑆
𝑥
也是 𝐵 的一个实在性要素, 甚至于任意方向的自旋 𝑆
𝑛
都是 𝐵 的实在性要素, 它们应当同时具有
确定的值, 但是量子力学中不对易的物理量不能同时具有确定的值, 因而有下面的命题成立
量子力学不完备, 或, 两个不对易的物理量不能同时具有实在性
这等价于: 如果量子力学完备, 那么两个不对易的物理量能同时具有实在性. 而量子力学告诉我们这是不
可能的, 因而量子力学不完备
上述问题的关键在于定域性, 即如果两个粒子离得足够远, 一个粒子测量结果应不受另一个粒子的影响
2 经典关联与隐变量模型
为了描述定域性, 引入隐变量. 两个粒子的关联是由于携带了一些信息, 这些信息不为我们所知, 设隐变
量 𝜆 是这些信息的集合. 由于定域性, 两个粒子的测量结果应当只与它们携带的信息有关
这就像站在上帝视角一般, 如果知道两个粒子相互作用时的一切细节, 那么就能预言它们的测量结果, 也
就是说在给定隐变量 𝜆 的条件下, 两个粒子的测量结果是独立的
𝑃(𝑎𝑏|𝜆) = 𝑃(𝑎|𝜆)𝑃(𝑏| 𝜆)
尝试使用隐变量使得量子力学变得完备. 依然考虑两个粒子的三个对易自旋算符 𝑆
𝑥
, 𝑆
𝑦
, 𝑆
𝑧
考察量子态
|
Ψ
⟩
=
1
√
2
(|
𝑧+
⟩
𝐴
⊗
|
𝑧−
⟩
𝐵
−
|
𝑧−
⟩
𝐴
⊗
|
𝑧+
⟩
𝐵
)
希望给出 𝑥, 𝑦, 𝑧 方向自旋测量的结果. 分别取两个粒子的 𝑧 方向自旋为各自的基, 那么可以写出其密度矩
阵
ˆρ =
1
2
|
𝑧+
⟩
𝐴
⊗
|
𝑧−
⟩
𝐵
−
|
𝑧−
⟩
𝐴
⊗
|
𝑧+
⟩
𝐵
⟨
𝑧+
|
𝐴
⊗
⟨
𝑧−
|
𝐵
−
⟨
𝑧−
|
𝐴
⊗
⟨
𝑧+
|
𝐵
=
1
2
|
𝑧 + 𝑧−
⟩ ⟨
𝑧 + 𝑧−
|
−
|
𝑧 + 𝑧−
⟩ ⟨
𝑧 − 𝑧+
|
−
|
𝑧 − 𝑧+
⟩ ⟨
𝑧 + 𝑧−
|
+
|
𝑧 − 𝑧+
⟩ ⟨
𝑧 − 𝑧+
|
=
1
2
|
𝑧+
⟩ ⟨
𝑧+
|
⊗
|
𝑧−
⟩ ⟨
𝑧−
|
−
|
𝑧+
⟩ ⟨
𝑧−
|
⊗
|
𝑧−
⟩ ⟨
𝑧+
|
−
|
𝑧−
⟩ ⟨
𝑧+
|
⊗
|
𝑧+
⟩ ⟨
𝑧−
|
+
|
𝑧−
⟩ ⟨
𝑧−
|
⊗
|
𝑧+
⟩ ⟨
𝑧+
|
计算得到
𝜌 =
1
2
©
«
©
«
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
ª
®
®
®
®
®
¬
−
©
«
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
ª
®
®
®
®
®
¬
−
©
«
0 0 0 0
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
ª
®
®
®
®
®
¬
+
©
«
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
ª
®
®
®
®
®
¬
ª
®
®
®
®
®
¬
=
1
2
©
«
0 0 0 0
0 1 −1 0
0 −1 1 0
0 0 0 0
ª
®
®
®
®
®
¬
显然测量 𝑧 方向上的自旋测量结果一定是相反的, 实际上对于任意方向上的自旋都是如此. 在任意方向上
的自旋算符应当可以写为
𝑆
𝑛
= sin 𝜃 cos 𝜙𝑆
𝑥
+ sin 𝜃 sin 𝜙𝑆
𝑦
+ cos 𝜃𝑆
𝑧
其中 𝑆
𝑥
, 𝑆
𝑦
, 𝑆
𝑧
是三个方向上的自旋算符, 即
𝑆
𝑥
=
ℏ
2
0 1
1 0
!
, 𝑆
𝑦
=
ℏ
2
0 −𝑖
𝑖 0
!
, 𝑆
𝑧
=
ℏ
2
1 0
0 −1
!
那么
𝑆
𝑛
=
ℏ
2
cos 𝜃 sin 𝜃𝑒
−𝑖 𝜙
sin 𝜃𝑒
𝑖 𝜙
−cos 𝜃
!
计算其本征矢为
|
𝑛−
⟩
=
sin
𝜃
2
𝑒
−𝑖 𝜙
−cos
𝜃
2
!
,
|
𝑛+
⟩
=
cos
𝜃
2
sin
𝜃
2
𝑒
𝑖 𝜙
!
那么有各自空间的投影算子
𝑀
+
=
|
𝑛+
⟩ ⟨
𝑛+
|
=
cos
2
𝜃
2
sin
𝜃
2
cos
𝜃
2
𝑒
−𝑖 𝜙
sin
𝜃
2
cos
𝜃
2
𝑒
𝑖 𝜙
sin
2
𝜃
2
!
𝑀
−
=
|
𝑛
−
⟩ ⟨
𝑛
−
|
=
sin
2
𝜃
2
−sin
𝜃
2
cos
𝜃
2
𝑒
−𝑖 𝜙
−sin
𝜃
2
cos
𝜃
2
𝑒
𝑖 𝜙
cos
2
𝜃
2
!
有
|
𝑛 − 𝑛−
⟩
的投影算子
𝑀
−−
= 𝑀
−
⊗ 𝑀
−
=
©
«
sin
4
𝜃
2
−𝑒
−𝑖 𝜙
cos
𝜃
2
sin
3
𝜃
2
−𝑒
−𝑖 𝜙
cos
𝜃
2
sin
3
𝜃
2
𝑒
−2𝑖 𝜙
cos
2
𝜃
2
sin
2
𝜃
2
−𝑒
𝑖 𝜙
cos
𝜃
2
sin
3
𝜃
2
cos
2
𝜃
2
sin
2
𝜃
2
cos
2
𝜃
2
sin
2
𝜃
2
−𝑒
−𝑖 𝜙
cos
3
𝜃
2
sin
𝜃
2
−𝑒
𝑖 𝜙
cos
𝜃
2
sin
3
𝜃
2
cos
2
𝜃
2
sin
2
𝜃
2
cos
2
𝜃
2
sin
2
𝜃
2
−𝑒
−𝑖 𝜙
cos
3
𝜃
2
sin
𝜃
2
𝑒
2𝑖 𝜙
cos
2
𝜃
2
sin
2
𝜃
2
−𝑒
𝑖 𝜙
cos
3
𝜃
2
sin
𝜃
2
−𝑒
𝑖 𝜙
cos
3
𝜃
2
sin
𝜃
2
cos
4
𝜃
2
ª
®
®
®
®
®
¬
得到
|
𝑛 − 𝑛−
⟩
的概率
𝑝(𝑛 − 𝑛−) = 𝑇𝑟 (𝜌𝑀
−−
) = 0
同样可以求得
𝑝(𝑛 + 𝑛−) = 𝑝(𝑛 − 𝑛+) =
1
2
, 𝑝(𝑛 + 𝑛+) = 0
那么不论测量何种方向上的自旋, 如果两个粒子测量的方向是相同的, 得到的结果一定相反
量子力学不能同时给出三个方向上的自旋, 不过我们认为隐变量是比量子力学更加完备的, 它可以同时给
出三个方向上的自旋. 由于两个粒子的自旋方向一定相反, 测量结果仅有这 8 种可能
𝐴{𝑎, 𝑏, 𝑐} 𝐵{𝑎, 𝑏, 𝑐} 𝑃
+, +, + −, −, − 𝑝
1
+, +, − −, −, + 𝑝
2
+, −, + −, +, − 𝑝
3
+, −, − −, +, + 𝑝
4
−, +, + +, +, − 𝑝
5
−, +, − +, +, + 𝑝
6
−, −, + +, +, − 𝑝
7
−, −, − +, +, + 𝑝
8
其中 𝑎, 𝑏, 𝑐 是空间中任意的三个方向. 那么隐变量模型应当能给出概率
𝑝(𝑎
𝐴
= +, 𝑏
𝐵
= +) = 𝑝
3
+ 𝑝
4
𝑝(𝑏
𝐴
= +, 𝑐
𝐵
= +) = 𝑝
2
+ 𝑝
6
𝑝(𝑎
𝐴
= +, 𝑐
𝐵
= +) = 𝑝
2
+ 𝑝
4
由于概率是非负的, 那么一定有
𝑝
3
+ 𝑝
4
+ 𝑝
2
+ 𝑝
6
≥ 𝑝
2
+ 𝑝
4
即 Bell 不等式的一种形式
𝑝(𝑎
𝐴
= +, 𝑐
𝐵
= +) ≤ 𝑝(𝑎
𝐴
= +, 𝑏
𝐵
= +) + 𝑝(𝑏
𝐴
= +, 𝑐
𝐵
= +)
为了考察量子力学会给出什么样的结果, 不妨取定 𝑏 方向为 𝑧, 对于任意给定的方向 (𝜃, 𝜙), 前面的讨论已
经给出了投影算子
𝑀
+
=
cos
2
𝜃
2
sin
𝜃
2
cos
𝜃
2
𝑒
−𝑖 𝜙
sin
𝜃
2
cos
𝜃
2
𝑒
𝑖 𝜙
sin
2
𝜃
2
!
取 𝑎 = 𝑛(−𝜃), 𝑏 = 𝑧, 𝑐 = 𝑛(𝜃), 那么测量结果 𝑏
𝐴
= +, 𝑐
𝐵
= + 对应的投影算子就是
|
𝑧 + 𝑛(𝜃)+
⟩ ⟨
𝑧 + 𝑛(𝜃)+
|
=
©
«
cos
2
𝜃
2
sin
𝜃
2
cos
𝜃
2
𝑒
−𝑖 𝜙
0 0
sin
𝜃
2
cos
𝜃
2
𝑒
𝑖 𝜙
sin
2
𝜃
2
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
ª
®
®
®
®
®
¬
可以求得概率
𝑝(𝑏
𝐴
= +, 𝑐
𝐵
= +) = 𝑇𝑟 (𝜌
|
𝑏
𝐴
= +, 𝑐
𝐵
= +
⟩ ⟨
𝑏
𝐴
= +, 𝑐
𝐵
= +
|
) =
1
2
sin
2
𝜃
2
取 𝑎 = 𝑛(−𝜃), 𝑏 = 𝑧, 𝑐 = 𝑛(𝜃), 那么有
𝑝(𝑏
𝐴
= +, 𝑐
𝐵
= +) = 𝑝(𝑧 + 𝑛+) =
1
2
sin
2
𝜃
2
为了求解剩下的两个概率, 需要投影算子
|
𝑛(−𝜃) + 𝑧+
⟩ ⟨
𝑛(−𝜃) + 𝑧+
|
=
©
«
cos
2
𝜃
2
0 𝑒
−𝑖 𝜙
cos
𝜃
2
sin
𝜃
2
0
0 0 0 0
𝑒
𝑖 𝜙
cos
𝜃
2
sin
𝜃
2
0 sin
2
𝜃
2
0
0 0 0 0
ª
®
®
®
®
®
¬
求得概率
𝑝(𝑎
𝐴
= +, 𝑏
𝐵
= +) = 𝑇𝑟 (𝜌
|
𝑛(−𝜃) + 𝑧+
⟩ ⟨
𝑛(−𝜃) + 𝑧+
|
) =
1
2
sin
2
𝜃
2
同样求解投影算子
|
𝑛(−𝜃) + 𝑛(𝜃)+
⟩ ⟨
𝑛(−𝜃) + 𝑛(𝜃)+
|
=
©
«
cos
4
𝜃
2
𝑒
𝑖 𝜙
cos
3
𝜃
2
sin
𝜃
2
−𝑒
−𝑖 𝜙
cos
3
𝜃
2
sin
𝜃
2
−𝑒
−2𝑖 𝜙
cos
2
𝜃
2
sin
2
𝜃
2
𝑒
𝑖 𝜙
cos
3
𝜃
2
sin
𝜃
2
cos
2
𝜃
2
sin
2
𝜃
2
−cos
2
𝜃
2
sin
2
𝜃
2
−𝑒
−𝑖 𝜙
cos
𝜃
2
sin
3
𝜃
2
−𝑒
−𝑖 𝜙
cos
3
𝜃
2
sin
𝜃
2
−cos
2
𝜃
2
sin
2
𝜃
2
cos
2
𝜃
2
sin
2
𝜃
2
𝑒
𝑖 𝜙
cos
𝜃
2
sin
3
𝜃
2
−𝑒
−2𝑖 𝜙
cos
2
𝜃
2
sin
2
𝜃
2
−𝑒
−𝑖 𝜙
cos
𝜃
2
sin
3
𝜃
2
𝑒
𝑖 𝜙
cos
𝜃
2
sin
3
𝜃
2
sin
4
𝜃
2
ª
®
®
®
®
®
¬
求得概率
𝑝(𝑎
𝐴
= +, 𝑐
𝐵
= +) = 𝑇𝑟 (𝜌
|
𝑛(−𝜃) + 𝑛(𝜃)+
⟩ ⟨
𝑛(−𝜃) + 𝑛(𝜃)+
|
) =
1
2
sin
2
𝜃
原不等式即为
1
2
sin
2
𝜃 ≤
1
2
sin
2
𝜃
2
+
1
2
sin
2
𝜃
2
当 𝜃 <
𝜋
2
时不等式不成立, 即隐变量模型无法解释量子力学的结果,𝜃 =
𝜋
3
时违反最大. 这反驳了 EPR 的
观点, 量子力学是完备的
