量子门电路
目录
1 量子门 2
1.1 泡利门 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Hadamard 门 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 CNOT 门 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Tooli 门 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 普适门 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 量子生成门 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 量子电路 5
2.1 Bell 态的制备 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 bell 测量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 量子隐形传态 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 远程 CNOT 门 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 交换门 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
1 量子门
1.1 泡利门
泡利门是一类单量子比特门, 分为四种: 𝑋, 𝑌, 𝑍, 𝐼. 其中 𝐼 为恒等门, 不改变量子比特的状态. 其他三种门
的作用如下
1. 𝑋 门: 将量子比特沿着 𝑥 轴旋转 𝜋 角
2. 𝑌 门: 将量子比特沿着 𝑦 轴旋转 𝜋 角
3. 𝑍 门: 将量子比特沿着 𝑧 轴旋转 𝜋 角
注意此处的旋转是在布洛赫球上的旋转, 而不是在空间中的旋转. 此处的 x,y,z 轴是布洛赫球上的坐标轴,
而不是空间中的坐标轴
𝑋 门类似于非门, 将
|
0
⟩
变为
|
1
⟩
, 将
|
1
⟩
变为
|
0
⟩
. 其矩阵形式为
𝑋 =
0 1
1 0
𝑌 门和 𝑍 门的矩阵形式分别为
𝑌 =
0 −𝑖
𝑖 0
, 𝑍 =
1 0
0 −1
对于单个量子比特而言, 多个泡利门的作用顺序不影响最终的结果. 这样的矩阵相乘再交换将会相差一个
符号, 即全局相位, 不影响测量结果
1.2 Hadamard 门
Hadamard 门是一个单量子比特门, 它对
|
0
⟩
和
|
1
⟩
的作用如下
𝐻
|
0
⟩
=
1
√
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
𝐻
|
1
⟩
=
1
√
2
(
|
0
⟩
−
|
1
⟩
)
将 Hadamard 门写为矩阵形式
𝐻 =
1
√
2
1 1
1 −1
叠加态也可以被 Hadamard 门作用, 如
1
√
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
) 可以写为向量
1
√
2
1
1
作用 Hadamard 门后得到
1
√
2
1 1
1 −1
1
√
2
1
1
=
1
0
它将有 100% 的概率测量为
|
0
⟩
实际上, 将
|
0
⟩
和
|
1
⟩
组合表示的量子比特写为另一种形式
|
+
⟩
=
1
√
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
|
−
⟩
=
1
√
2
(
|
0
⟩
−
|
1
⟩
)
这两个态也可以作为基矢表示量子态.Hadamard 门的作用就是将
|
0
⟩
和
|
1
⟩
转化为
|
+
⟩
和
|
−
⟩
, 反之亦然
Hadamard 门在量子电路中写为 (图源 https://zhuanlan.zhihu.com/p/189145265)
1.3 CNOT 门
CNOT 门是一个两量子比特门, 两个比特分为控制比特和目标比特.CNOT 门在量子电路中写为
𝑞
0
𝑞
1
其中 𝑞
1
为控制比特,𝑞
2
为目标比特. 控制比特为
|
1
⟩
时, 目标比特翻转; 为
|
0
⟩
时, 目标比特保持不变. 或
者可以表示为
CNOT
|
𝑐, 𝑡
⟩
=
|
𝑐, 𝑡 ⊕ 𝑐
⟩
其中 ⊕ 表示异或, 相同为 0, 不同为 1
1.4 Tooli 门
Tooli 门是一个三量子比特门, 两个比特为控制比特, 一个比特为目标比特.Tooli 门在量子电路中写为
𝑞
0
𝑞
0
𝑞
1
𝑞
1
𝑞
2
𝑞
2
⊕ 𝑞
0
𝑞
1
其中 𝑞
0
和 𝑞
1
为控制比特,𝑞
2
为目标比特. 当且仅当两个控制比特均为
|
1
⟩
时, 目标比特翻转; 否则目标比
特保持不变. 或者可以表示为
Tooli
|
𝑐
1
, 𝑐
2
, 𝑡
⟩
=
|
𝑐
1
, 𝑐
2
, 𝑡 ⊕ 𝑐
1
𝑐
2
⟩
其中 𝑐
1
, 𝑐
2
表示逻辑与运算
1.5 普适门
能够组合成任意二进制函数的门集合称为普适门. 显然经典电路的普适门包含下面的操作
• 与门: 两个输入均为 1 时输出为 1, 否则输出为 0
• 或门: 至少有一个输入为 1 时输出为 1, 否则输出为 0
• 非门: 输入为 1 时输出为 0, 输入为 0 时输出为 1
• 复制门: 将输入复制到多个输出
与或非实际上都可以用与非 (NAND) 门来实现
NAND(𝑎, 𝑏) ≡ 𝑎 ↑ 𝑏 = 𝑎 ∧ 𝑏 = 1 − 𝑎𝑏
注意到
NOT(𝑎) = 𝑎 ↑ 𝑎
AND(𝑎, 𝑏) = 𝑎 ↑ 𝑏 = (𝑎 ↑ 𝑏) ↑ (𝑎 ↑ 𝑏)
OR(𝑎, 𝑏) = 𝑎 ↑ 𝑏 = (𝑎 ↑ 𝑎) ↑ (𝑏 ↑ 𝑏)
因此NAND 门和复制门即可构成经典电路的普适门. 在量子门中, 只需要一个值为 0 的辅助比特, Tooli
门和非门可以实现所有的可逆经典逻辑操作
Tooli
|
𝑎, 𝑏, 1
⟩
=
|
𝑎, 𝑏, 𝑁 𝐴𝑁 𝐷 (𝑎, 𝑏)
⟩
Tooli
|
1, 𝑏, 𝑐
⟩
=
|
1, 𝑏, 𝐶𝑁𝑂 𝑇 (1, 𝑏, 𝑐)
⟩
Tooli
|
1, 𝑏, 0
⟩
=
|
1, 𝑏, 𝐶𝑂𝑃𝑌 (𝑏)
⟩
Tooli
|
𝑎, 1, 1
⟩
=
|
𝑎, 1, 𝑁𝑂𝑇 (𝑎)
⟩
1.6 量子生成门
对于任意的幺正操作, 在其自身的本征表象下都是对角矩阵
𝑈 =
𝑒
𝑖 𝜃
1
0 ··· 0
0 𝑒
𝑖 𝜃
2
··· 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 ··· 𝑒
𝑖 𝜃
𝑛
希望能重复使用一个门来实现任意的旋转角, 注意到
若 𝑘 是无理数, 当 𝑛 遍历所有整数时
𝑛 · 𝑘mod1
在 [0, 1) 上稠密分布
那么就需要
1. 所有的角度都不是 𝜋 的有理数倍
2. 所有的角度之间都是无理数倍关系
2 量子电路
2.1 Bell 态的制备
Bell 态的制备电路由 Hadamard 门和 CNOT 门组成
若要制备 Bell 态
|
Φ
+
⟩
=
1
√
2
(
|
00
⟩
+
|
11
⟩
)
可以使用电路
分析: 不妨设上面的比特为 𝐴, 下面的比特为 𝐵, 在初始时系统的状态为
|
00
⟩
=
|
0
⟩
𝐴
|
0
⟩
𝐵
首先对 𝐴 比特作用 Hadamard 门, 得到
1
√
2
(
|
0
⟩
𝐴
+
|
1
⟩
𝐴
)
|
0
⟩
𝐵
=
1
√
2
(
|
00
⟩
+
|
10
⟩
)
以 𝐴 为控制比特, 则
|
00
⟩
→
|
00
⟩
,
|
10
⟩
→
|
11
⟩
, 得到
1
√
2
(
|
00
⟩
+
|
11
⟩
)
也就是 Bell 态
|
Φ
+
⟩
若要制备 Bell 态
|
Φ
−
⟩
=
1
√
2
(
|
00
⟩
−
|
11
⟩
)
只需要在上面的电路中 𝐵 比特的 CNOT 门后加一个 𝑍 门即可. 将 𝐵 比特的相位翻转, 即可由
|
Φ
+
⟩
得到
|
Φ
−
⟩
若要制备 Bell 态
|
Ψ
+
⟩
=
1
√
2
(
|
01
⟩
+
|
10
⟩
)
只需要在上面的电路中 𝐵 比特的 CNOT 门后加一个 𝑋 门即可. 将 𝐵 比特翻转, 即可由
|
Φ
+
⟩
得到
|
Ψ
+
⟩
若要制备 Bell 态
|
Ψ
−
⟩
=
1
√
2
(
|
01
⟩
−
|
10
⟩
)
只需要在上面的电路中 𝐵 比特的 CNOT 门后加一个 𝑋 门和一个 𝑍 门即可. 将 𝐵 比特翻转并相位翻转,
即可由
|
Φ
+
⟩
得到
|
Ψ
−
⟩
2.2 bell 测量
Bell 态的测量电路正是制备电路反过来
分析: 不妨设上面的比特为 𝐴, 下面的比特为 𝐵. 若输入的是
|
Φ
+
⟩
, 即
|
Φ
+
⟩
=
1
√
2
(
|
00
⟩
+
|
11
⟩
)
则经过 CNOT 门后得到
1
√
2
(
|
00
⟩
+
|
10
⟩
)
再经过 𝐴 比特的 Hadamard 门得到
1
√
2
1
√
2
(
|
0
⟩
𝐴
+
|
1
⟩
𝐴
)
|
0
⟩
𝐵
+
1
√
2
(
|
0
⟩
𝐴
−
|
1
⟩
𝐴
)
|
1
⟩
𝐵
=
|
00
⟩
若输入的是
|
Φ
−
⟩
, 即
|
Φ
−
⟩
=
1
√
2
(
|
00
⟩
−
|
11
⟩
)
则经过 CNOT 门后得到
1
√
2
(
|
00
⟩
−
|
10
⟩
)
再经过 𝐴 比特的 Hadamard 门得到
1
√
2
1
√
2
(
|
0
⟩
𝐴
+
|
1
⟩
𝐴
)
|
0
⟩
𝐵
−
1
√
2
(
|
0
⟩
𝐴
−
|
1
⟩
𝐴
)
|
0
⟩
𝐵
=
|
10
⟩
若输入的是
|
Ψ
+
⟩
, 即
|
Ψ
+
⟩
=
1
√
2
(
|
01
⟩
+
|
10
⟩
)
则经过 CNOT 门后得到
1
√
2
(
|
01
⟩
+
|
11
⟩
)
再经过 𝐴 比特的 Hadamard 门得到
1
√
2
1
√
2
(
|
0
⟩
𝐴
+
|
1
⟩
𝐴
)
|
1
⟩
𝐵
+
1
√
2
(
|
0
⟩
𝐴
−
|
1
⟩
𝐴
)
|
1
⟩
𝐵
=
|
01
⟩
若输入的是
|
Ψ
−
⟩
, 即
|
Ψ
−
⟩
=
1
√
2
(
|
01
⟩
−
|
10
⟩
)
则经过 CNOT 门后得到
1
√
2
(
|
01
⟩
−
|
11
⟩
)
再经过 𝐴 比特的 Hadamard 门得到
1
√
2
1
√
2
(
|
0
⟩
𝐴
+
|
1
⟩
𝐴
)
|
1
⟩
𝐵
−
1
√
2
(
|
0
⟩
𝐴
−
|
1
⟩
𝐴
)
|
1
⟩
𝐵
=
|
11
⟩
2.3 量子隐形传态
量子隐形传态可以在不传递粒子的情况下传递量子信息. 其过程如下
初态: 系统有三个量子比特
• Alice 有一个量子比特 𝐴, 这是要传递的量子信息
• Alice 和 Bob 各有一个量子比特 𝐵 和 𝐶, 它们处于 Bell 态
|
Φ
+
⟩
|
Φ
+
⟩
𝐵𝐶
=
1
√
2
(
|
00
⟩
𝐵𝐶
+
|
11
⟩
𝐵𝐶
)
贝尔测量: 对 𝐴 和 𝐵 比特进行贝尔测量. 为了表述测量结果, 假定 A 的量子态为
|
𝜓
⟩
= 𝛼
|
0
⟩
+ 𝛽
|
1
⟩
那么整个系统的态为
|
𝜓
⟩
𝐴𝐵𝐶
=
|
𝜓
⟩
𝐴
⊗
|
Φ
+
⟩
𝐵𝐶
=
1
√
2
(𝛼
|
000
⟩
+ 𝛼
|
011
⟩
+ 𝛽
|
100
⟩
+ 𝛽
|
111
⟩
)
进行贝尔测量需要对 AB 比特进行 CNOT 操作, 控制比特为 A, 目标比特为 B, 量子态变为
1
√
2
(𝛼
|
000
⟩
+ 𝛼
|
011
⟩
+ 𝛽
|
110
⟩
+ 𝛽
|
101
⟩
)
然后对 A 比特进行 Hadamard 操作, 得到
|
𝜓
⟩
𝐴𝐵𝐶
=
1
2
[
𝛼(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
|
00
⟩
𝐵𝐶
+ 𝛼(
|
0
⟩
−
|
1
⟩
)
|
11
⟩
𝐵𝐶
+ 𝛽(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
|
10
⟩
𝐵𝐶
+ 𝛽(
|
0
⟩
−
|
1
⟩
)
|
01
⟩
𝐵𝐶
]
=
1
2
|
0
⟩
𝐴
[
𝛼(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
|
0
⟩
𝐵
+ 𝛽(
|
0
⟩
−
|
1
⟩
)
|
1
⟩
𝐵
]
+
1
2
|
1
⟩
𝐴
[
𝛼(
|
0
⟩
−
|
1
⟩
)
|
0
⟩
𝐵
+ 𝛽(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
|
1
⟩
𝐵
]
=
1
2
[|
00
⟩
𝐴𝐵
(𝛼
|
0
⟩
+ 𝛽
|
1
⟩
) +
|
10
⟩
𝐴𝐵
(𝛽
|
0
⟩
+ 𝛼
|
1
⟩
) +
|
01
⟩
𝐴𝐵
(𝛼
|
0
⟩
− 𝛽
|
1
⟩
) +
|
11
⟩
𝐴𝐵
(𝛽
|
0
⟩
− 𝛼
|
1
⟩
)
]
测量: 此时对 AB 比特进行测量, 将会有四种情况
• 若测量结果为
|
00
⟩
, 则 𝐶 比特的状态为 𝛼
|
0
⟩
+ 𝛽
|
1
⟩
• 若测量结果为
|
10
⟩
, 则 𝐶 比特的状态为 𝛽
|
0
⟩
+ 𝛼
|
1
⟩
• 若测量结果为
|
01
⟩
, 则 𝐶 比特的状态为 𝛼
|
0
⟩
− 𝛽
|
1
⟩
• 若测量结果为
|
11
⟩
, 则 𝐶 比特的状态为 𝛽
|
0
⟩
− 𝛼
|
1
⟩
已经和原始的 𝐴 比特状态非常相近了! 对应做四种操作
• 若测量结果为
|
00
⟩
, 则不做任何操作
• 若测量结果为
|
10
⟩
, 则对 𝐶 比特做 𝑋 门操作
• 若测量结果为
|
01
⟩
, 则对 𝐶 比特做 𝑍 门操作
• 若测量结果为
|
11
⟩
, 则对 𝐶 比特做 𝑋 门和 𝑍 门操作
即可得到 𝐶 比特的态
𝛼
|
0
⟩
+ 𝛽
|
1
⟩
这正是原来的 𝐴 比特的态
2.4 远程 CNOT 门
远程 CNOT 门可以利用纠缠实现空间上分离的两个量子比特之间进行 CNOT 操作. 其过程如下
初态: 系统有四个量子比特, 两个 Alice 的量子比特 𝐴
1
, 𝐴
2
, 两个 Bob 的量子比特 𝐵
1
, 𝐵
2
. 其中 𝐴
1
, 𝐵
1
处
于 Bell 态
|
Φ
+
⟩
𝐴
1
𝐵
1
=
1
√
2
(
|
00
⟩
𝐴
1
𝐵
1
+
|
11
⟩
𝐴
1
𝐵
1
)
为了方便表述, 假设 𝐴
2
和 𝐵
2
的量子态分别为
|
𝜓
⟩
𝐴
2
= 𝛼
|
0
⟩
+ 𝛽
|
1
⟩
,
|
𝜙
⟩
𝐵
2
= 𝛾
|
0
⟩
+ 𝛿
|
1
⟩
那么整个系统的态为 (省略系数)
|
𝜓
⟩
𝐴
1
𝐴
2
𝐵
1
𝐵
2
= (𝛼
|
0
⟩
+ 𝛽
|
1
⟩
)
𝐴
2
⊗ (
|
00
⟩
+
|
11
⟩
)
𝐴
1
𝐵
1
⊗ (𝛾
|
0
⟩
+ 𝛿
|
1
⟩
)
𝐵
2
Alice 操作: 对 𝐴
1
和 𝐴
2
比特进行 CNOT 操作, 以 𝐴
2
为控制比特,𝐴
1
为目标比特, 得到
|
𝜓
⟩
𝐴
1
𝐴
2
𝐵
1
= 𝛼
|
0
⟩
𝐴
2
(
|
00
⟩
𝐴
1
𝐵
1
+
|
11
⟩
𝐴
1
𝐵
1
) + 𝛽
|
1
⟩
𝐴
2
(
|
10
⟩
𝐴
1
𝐵
1
+
|
01
⟩
𝐴
1
𝐵
1
)
=
|
0
⟩
𝐴
1
𝛼
|
00
⟩
𝐴
2
𝐵
1
+ 𝛽
|
11
⟩
𝐴
2
𝐵
1
+
|
1
⟩
𝐴
1
𝛼
|
10
⟩
𝐴
2
𝐵
1
+ 𝛽
|
01
⟩
𝐴
2
𝐵
1
对 𝐴
1
比特进行测量, 得到
• 若测量结果为
|
0
⟩
, 则 𝐴
2
𝐵
1
比特的状态为 𝛼
|
00
⟩
+ 𝛽
|
11
⟩
• 若测量结果为
|
1
⟩
, 则 𝐴
2
𝐵
1
比特的状态为 𝛼
|
10
⟩
+ 𝛽
|
01
⟩
Alice
将测量结果发送给
Bob,
根据测量结果
,Bob
对
𝐵
1
进行操作
• 若测量结果为
|
0
⟩
, 则不做任何操作
• 若测量结果为
|
1
⟩
, 则对 𝐵
1
比特做 𝑋 门操作
这样一来, 得到 𝐴
2
𝐵
1
比特的状态
• 若测量结果为
|
0
⟩
, 则 𝐴
2
𝐵
1
比特的状态为 𝛼
|
00
⟩
+ 𝛽
|
11
⟩
• 若测量结果为
|
1
⟩
, 则 𝐴
2
𝐵
1
比特的状态为 𝛼
|
11
⟩
+ 𝛽
|
00
⟩
不难发现, 测量结果为
|
0
⟩
或
|
1
⟩
区别仅在于 𝛼 和 𝛽 互换了一下. 不妨假设测量结果为
|
0
⟩
, 则整个系统的
态为
|
𝜓
⟩
𝐴
2
𝐵
1
𝐵
2
= (𝛼
|
00
⟩
+ 𝛽
|
11
⟩
)
𝐴
2
𝐵
1
⊗ (𝛾
|
0
⟩
+ 𝛿
|
1
⟩
)
𝐵
2
Bob 操作: 对 𝐵
1
和 𝐵
2
比特进行 CNOT 操作. 以 𝐵
1
为控制比特,𝐵
2
为目标比特, 得到
|
𝜓
⟩
𝐴
2
𝐵
1
𝐵
2
= 𝛼
|
00
⟩
𝐴
2
𝐵
1
(𝛾
|
0
⟩
+ 𝛿
|
1
⟩
)
𝐵
2
+ 𝛽
|
11
⟩
𝐴
2
𝐵
1
(𝛿
|
0
⟩
+ 𝛾
|
1
⟩
)
𝐵
2
=
|
0
⟩
𝐵
1
(𝛼𝛾
|
00
⟩
+ 𝛼𝛿
|
01
⟩
) +
|
1
⟩
𝐵
1
(𝛽𝛿
|
10
⟩
+ 𝛽𝛾
|
11
⟩
)
然后 Bob 对 𝐵
1
进行 Hadamard 操作, 得到
|
𝜓
⟩
𝐴
2
𝐵
1
𝐵
2
= (
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
𝐵
1
(𝛼𝛾
|
00
⟩
+ 𝛼𝛿
|
01
⟩
) + (
|
0
⟩
−
|
1
⟩
)
𝐵
1
(𝛽𝛿
|
10
⟩
+ 𝛽𝛾
|
11
⟩
)
=
|
0
⟩
𝐵
1
(𝛼𝛾
|
00
⟩
+ 𝛼𝛿
|
01
⟩
+ 𝛽𝛿
|
10
⟩
+ 𝛽𝛾
|
11
⟩
) +
|
1
⟩
𝐵
1
(𝛼𝛾
|
00
⟩
+ 𝛼𝛿
|
01
⟩
− 𝛽𝛿
|
10
⟩
− 𝛽𝛾
|
11
⟩
)
=
|
0
⟩
𝐵
1
(𝛼
|
0
⟩
𝐴
2
(𝛾
|
0
⟩
+ 𝛿
|
1
⟩
)
𝐵
2
+ 𝛽
|
1
⟩
𝐴
2
(𝛿
|
0
⟩
+ 𝛾
|
1
⟩
)
𝐵
2
)
+
|
1
⟩
𝐵
1
(𝛼
|
0
⟩
𝐴
2
(𝛾
|
0
⟩
+ 𝛿
|
1
⟩
)
𝐵
2
− 𝛽
|
1
⟩
𝐴
2
(𝛿
|
0
⟩
+ 𝛾
|
1
⟩
)
𝐵
2
)
随后对 𝐵
1
进行测量, 得到
• 若测量结果为
|
0
⟩
, 则 𝐴
2
𝐵
2
比特的状态为
𝛼
|
0
⟩
𝐴
2
(𝛾
|
0
⟩
+ 𝛿
|
1
⟩
)
𝐵
2
+ 𝛽
|
1
⟩
𝐴
2
(𝛿
|
0
⟩
+ 𝛾
|
1
⟩
)
𝐵
2
• 若测量结果为
|
1
⟩
, 则 𝐴
2
𝐵
2
比特的状态为
𝛼
|
0
⟩
𝐴
2
(𝛾
|
0
⟩
+ 𝛿
|
1
⟩
)
𝐵
2
− 𝛽
|
1
⟩
𝐴
2
(𝛿
|
0
⟩
+ 𝛾
|
1
⟩
)
𝐵
2
Bob 将测量结果发送给 Alice, 根据测量结果,Alice 对 𝐴
2
进行操作
• 若测量结果为
|
0
⟩
, 则不做任何操作
• 若测量结果为
|
1
⟩
, 则对 𝐴
2
比特做 𝑍 门操作, 即将 𝐴
2
比特的相位翻转
这样一来, 得到 𝐴
2
𝐵
2
比特的状态就变为
𝛼
|
0
⟩
𝐴
2
(𝛾
|
0
⟩
+ 𝛿
|
1
⟩
)
𝐵
2
+ 𝛽
|
1
⟩
𝐴
2
(𝛿
|
0
⟩
+ 𝛾
|
1
⟩
)
𝐵
2
显然, 𝐴
2
为
|
0
⟩
时对应 𝐵
2
的态不变,𝐴
2
为
|
1
⟩
时对应 𝐵
2
的态与原来的相反. 若 𝐴
1
的测量结果为
|
1
⟩
, 则
只是将 𝛼 和 𝛽 互换一下,𝐵
2
的态不受影响. 这样就实现了远程 CNOT 门
2.5 交换门
交换门是一个两量子比特门, 它将两个量子比特的状态交换. 其实现如下
假定有两个量子比特 𝐴, 𝐵, 初始时的状态为
|
𝜓
⟩
𝐴
= 𝛼
|
0
⟩
+ 𝛽
|
1
⟩
,
|
𝜓
⟩
𝐵
= 𝛾
|
0
⟩
+ 𝛿
|
1
⟩
那么系统的状态为
|
𝜓
⟩
𝐴𝐵
= (𝛼
|
0
⟩
+ 𝛽
|
1
⟩
)
𝐴
⊗ (𝛾
|
0
⟩
+ 𝛿
|
1
⟩
)
𝐵
= 𝛼𝛾
|
00
⟩
𝐴𝐵
+ 𝛼𝛿
|
01
⟩
𝐴𝐵
+ 𝛽𝛾
|
10
⟩
𝐴𝐵
+ 𝛽𝛿
|
11
⟩
𝐴𝐵
首先以 𝐴 为控制比特,𝐵 为目标比特, 进行 CNOT 操作, 得到
𝜓
𝐴𝐵
= 𝛼𝛾
|
00
⟩
𝐴𝐵
+ 𝛼𝛿
|
01
⟩
𝐴𝐵
+ 𝛽𝛾
|
11
⟩
𝐴𝐵
+ 𝛽𝛿
|
10
⟩
𝐴𝐵
再以 𝐵 为控制比特,𝐴 为目标比特, 进行 CNOT 操作, 得到
𝜓
𝐴𝐵
= 𝛼𝛾
|
00
⟩
𝐴𝐵
+ 𝛼𝛿
|
11
⟩
𝐴𝐵
+ 𝛽𝛾
|
01
⟩
𝐴𝐵
+ 𝛽𝛿
|
10
⟩
𝐴𝐵
最后再以 𝐴 为控制比特,𝐵 为目标比特, 进行 CNOT 操作, 得到
𝜓
𝐴𝐵
= 𝛼𝛾
|
00
⟩
𝐴𝐵
+ 𝛼𝛿
|
10
⟩
𝐴𝐵
+ 𝛽𝛾
|
01
⟩
𝐴𝐵
+ 𝛽𝛿
|
11
⟩
𝐴𝐵
= (𝛾
|
0
⟩
+ 𝛿
|
1
⟩
)
𝐴
⊗ (𝛼
|
0
⟩
+ 𝛽
|
1
⟩
)
𝐵
即实现了两个量子比特的状态交换
