广义演化与广义测量
目录
1 两体系统纯态的 Schmidt 分解 2
2 GHJW 定理与混合态纯化 3
3 广义测量与 Naimark 定理 4
3.1 广义测量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 广义测量本质上是大空间的投影 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 广义测量公设 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4 Naimark 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 广义演化与 Stinespring 扩张定理 7
4.1 广义演化的超算符 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Kraus 表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3 Stinespring 扩张定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1
1 两体系统纯态的 Schmidt 分解
设有两个子系统 𝐴 和 𝐵 构成的复合系统, 其希尔伯特空间为
H = H
𝐴
⊗ H
𝐵
那么任意纯态
|
𝜓
⟩
∈ H 都可以表示为
|
𝜓
⟩
=
Õ
𝑎,𝑏
𝑐
𝑎𝑏
|
𝑎
⟩
⊗
|
𝑏
⟩
, 𝑎 = 1, 2, ··· , 𝑑
𝐴
, 𝑏 = 1, 2, ··· , 𝑑
𝐵
其中 {
|
𝑎
⟩
} 和 {
|
𝑏
⟩
} 分别是子系统 𝐴 和 𝐵 的正交归一基底. 可以对系数矩阵 𝐶 = (𝑐
𝑎𝑏
) 进行奇异值分解
𝐶 = 𝑈𝐷𝑉
†
其中 𝑈 是 𝑑
𝐴
× 𝑑
𝐴
的酉矩阵, 𝑉 是 𝑑
𝐵
× 𝑑
𝐵
的酉矩阵, 𝐷 是 𝑑
𝐴
× 𝑑
𝐵
的对角矩阵, 其对角线上的非零元素
为奇异值. 则可以引入新的基底
|
𝑖
⟩
𝐴
=
Õ
𝑎
𝑈
𝑎𝑖
|
𝑎
⟩
,
|
𝑖
⟩
𝐵
=
Õ
𝑏
𝑉
∗
𝑏𝑖
|
𝑏
⟩
那么纯态
|
𝜓
⟩
可以表示为
|
𝜓
⟩
=
Õ
𝑖
𝐷
𝑖𝑖
|
𝑖
⟩
𝐴
⊗
|
𝑖
⟩
𝐵
或者也可以取
|
𝑎
⟩
为 𝐴 约化密度矩阵的本征矢, 即有
𝜌
𝐴
=
Õ
𝑎
𝜆
𝑎
|
𝑎
⟩
𝐴
⟨
𝑎
|
𝐴
若此时有
|
𝜓
⟩
=
Õ
𝑎,𝑏
𝑐
𝑎𝑏
|
𝑎
⟩
𝐴
⊗
|
𝑏
⟩
𝐵
那么定义
|
˜
𝑎
⟩
𝐵
=
Õ
𝑏
𝑐
𝑎𝑏
|
𝑏
⟩
𝐵
那么
|
𝜓
⟩
=
Õ
𝑎
|
𝑎
⟩
𝐴
⊗
|
˜
𝑎
⟩
𝐵
对 𝐵 求迹得到 𝜌
𝐴
𝜌
𝐴
=
Õ
𝑏
⟨
𝑏
|
𝐵
|
𝜓
⟩ ⟨
𝜓
| |
𝑏
⟩
𝐵
=
Õ
𝑏
⟨
𝑏
|
𝐵
Õ
𝑎
1
𝑎
2
|
𝑎
1
⟩
𝐴
⟨
𝑎
2
|
𝐴
⊗
|
˜
𝑎
1
⟩
𝐵
⟨
˜
𝑎
2
|
𝐵
!
|
𝑏
⟩
𝐵
|
𝑏
⟩
𝐵
和
⟨
𝑏
|
𝐵
作用在 𝐵 子空间上, 成为两个复数, 因此可以交换求和顺序, 从而
𝜌
𝐴
=
Õ
𝑎
1
𝑎
2
|
𝑎
1
⟩
𝐴
⟨
𝑎
2
|
𝐴
Õ
𝑏
⟨
˜
𝑎
2
|
𝐵
|
𝑏
⟩
𝐵
⟨
𝑏
|
𝐵
|
˜
𝑎
1
⟩
𝐵
!
再利用完备关系
Õ
𝑏
|
𝑏
⟩
𝐵
⟨
𝑏
|
𝐵
= 𝐼
𝐵
从而
𝜌
𝐴
=
Õ
𝑎
1
𝑎
2
|
𝑎
1
⟩
𝐴
⟨
𝑎
2
|
𝐴
⟨
˜
𝑎
2
|
˜
𝑎
1
⟩
𝐵
由于
|
𝑎
⟩
𝐴
是
𝜌
𝐴
的本征矢
𝜌
𝐴
=
Õ
𝑎
𝜆
𝑎
|
𝑎
⟩
𝐴
⟨
𝑎
|
𝐴
因此
⟨
˜
𝑎
2
|
˜
𝑎
1
⟩
𝐵
= 𝜆
𝑎
1
𝛿
𝑎
1
𝑎
2
即 {
|
˜
𝑎
⟩
𝐵
} 是相互正交的, 并且模长为
√
𝜆
𝑎
. 对其归一化得到
|
𝑎
⟩
𝐵
=
1
√
𝜆
𝑎
|
˜
𝑎
⟩
𝐵
那么纯态
|
𝜓
⟩
可以表示为
|
𝜓
⟩
=
Õ
𝑎
p
𝜆
𝑎
|
𝑎
⟩
𝐴
⊗
|
𝑎
⟩
𝐵
2 GHJW 定理与混合态纯化
对于系统 𝐴, 假定其密度矩阵是一个混合态
𝜌
𝐴
=
Õ
𝑖
𝑝
𝑖
|
𝑖
⟩
𝐴
⟨
𝑖
|
𝐴
引入一个至少跟 𝐴 一样大的辅助系统 𝐵, 则取其一组标准正交基 {
|
𝑖
⟩
𝐵
}, 那么构造如下纯态
|
𝜓
⟩
𝐴𝐵
=
Õ
𝑖
√
𝑝
𝑖
|
𝑖
⟩
𝐴
⊗
|
𝑖
⟩
𝐵
此时大系统的密度矩阵为
𝜌
𝐴𝐵
=
Õ
𝑖, 𝑗
√
𝑝
𝑖
𝑝
𝑗
|
𝑖
⟩
𝐴
⟨
𝑗
|
𝐴
⊗
|
𝑖
⟩
𝐵
⟨
𝑗
|
𝐵
可以求出系统 𝐴 的约化密度矩阵
𝜌
𝐴
= 𝑡𝑟
𝐵
(𝜌
𝐴𝐵
) =
Õ
𝑘
⟨
𝑘
|
𝐵
𝜌
𝐴𝐵
|
𝑘
⟩
𝐵
=
Õ
𝑖, 𝑗
√
𝑝
𝑖
𝑝
𝑗
|
𝑖
⟩
𝐴
⟨
𝑗
|
𝐴
Õ
𝑘
⟨
𝑘
|
𝐵
|
𝑖
⟩
𝐵
⟨
𝑗
|
𝐵
|
𝑘
⟩
𝐵
!
括号中的部分利用完备关系得到
𝜌
𝐴
=
Õ
𝑖, 𝑗
√
𝑝
𝑖
𝑝
𝑗
|
𝑖
⟩
𝐴
⟨
𝑗
|
𝐴
𝛿
𝑖 𝑗
=
Õ
𝑖
𝑝
𝑖
|
𝑖
⟩
𝐴
⟨
𝑖
|
𝐴
即得到了原来的混合态 𝜌
𝐴
. 这种通过引入辅助系统将混合态表示为纯态的方法称为纯化. 显然纯化不是
唯一的, GHJW 定理说明了任意两种纯化方式都可以通过在辅助系统上施加适当的酉变换相互转换. 设
有两种纯化方式
|
𝜓
⟩
𝐴𝐵
=
Õ
𝑖
√
𝑝
𝑖
|
𝑖
⟩
𝐴
⊗
|
𝑖
⟩
𝐵
,
|
𝜙
⟩
𝐴𝐵
=
Õ
𝑗
√
𝑞
𝑗
|
𝑗
⟩
𝐴
⊗
|
𝑗
⟩
𝐵
对于纯态, 可以进行 Schmidt 分解, 将 𝐴 部分的基底取为 𝜌
𝐴
的本征矢
|
𝑘
⟩
𝐴
, 则有
|
𝜓
⟩
𝐴𝐵
=
Õ
𝑘
p
𝜆
𝑘
|
𝑘
⟩
𝐴
⊗
|
𝑢
𝑘
⟩
𝐵
,
|
𝜙
⟩
𝐴𝐵
=
Õ
𝑘
p
𝜆
𝑘
|
𝑘
⟩
𝐴
⊗
|
𝑣
𝑘
⟩
𝐵
那么这两个态的区别仅在于 𝐵 部分的基底不同. 由于 {
|
𝑢
𝑘
⟩
𝐵
} 和 {
|
𝑣
𝑘
⟩
𝐵
} 都是 𝐵 子空间的正交归一基底,
因此存在酉变换 𝑈
𝐵
使得
|
𝑣
𝑘
⟩
𝐵
= 𝑈
𝐵
|
𝑢
𝑘
⟩
𝐵
从而
|
𝜙
⟩
𝐴𝐵
= (𝟙
𝐴
⊗ 𝑈
𝐵
)
|
𝜓
⟩
𝐴𝐵
3 广义测量与 Naimark 定理
3.1 广义测量
在量子系统中, 一个物理量 𝑀 可以展开为其本征值和本征矢的线性组合
𝑀 =
Õ
𝑚
𝑚
|
𝑚
⟩ ⟨
𝑚
|
如果系统的态为
|
𝜓
⟩
, 那么测量得到 𝑚 的概率为
𝑝
𝑚
=
|⟨
𝑚|𝜓
⟩|
2
=
⟨
𝜓
| |
𝑚
⟩ ⟨
𝑚
| |
𝜓
⟩
=
⟨
𝜓
|
𝑃
𝑚
|
𝜓
⟩
其中 𝑃
𝑚
=
|
𝑚
⟩ ⟨
𝑚
|
是投影算符. 显然投影算符之间是正交的
𝑃
𝑚
𝑃
𝑚
′
= 𝛿
𝑚𝑚
′
𝑃
𝑚
并且完备
Õ
𝑚
𝑃
𝑚
= 𝐼
这称为投影测量, 也即 PVM. 完备性是测量操作必须的, 因为需要满足得到各个结果的概率之和为 1. 不
严谨地说, 如果对于一组测量算符 {𝐸
𝑚
}, 它们满足完备关系
Õ
𝑚
𝐸
𝑚
= 𝕀
但是不满足正交关系, 那么它们称为正定算符值测量 (Positive Operator-Valued Measure, POVM), 也即
广义测量. 广义测量在实际中更为常见, 一个典型的例子是有噪声的探测器. 对于一个准确率 90% 的探
测器而言, 其测得 0 和测得 1 的投影算符逻辑上应该描述为
⟨
0
|
𝑀
0
|
0
⟩
= 0.9,
⟨
1
|
𝑀
0
|
1
⟩
= 0.1,
⟨
0
|
𝑀
1
|
0
⟩
= 0.1,
⟨
1
|
𝑀
1
|
1
⟩
= 0.9
那么就会希望它有下面的投影算符
𝑀
0
= 0.9
|
0
⟩ ⟨
0
|
+ 0.1
|
1
⟩ ⟨
1
|
, 𝑀
1
= 0.1
|
0
⟩ ⟨
0
|
+ 0.9
|
1
⟩ ⟨
1
|
显然它们不满足正交关系, 但是满足完备关系
𝑀
0
+ 𝑀
1
=
|
0
⟩ ⟨
0
|
+
|
1
⟩ ⟨
1
|
= 𝕀
舍弃正交性带来的另一个好处是, 允许测量的结果数多于系统的维度. 例如对于一个量子比特, 可以定义
三个测量算符
𝑀
0
=
|
−
⟩ ⟨
−
|
, 𝑀
+
=
|
1
⟩ ⟨
1
|
, 𝑀
?
= 𝕀 − 𝑀
0
− 𝑀
+
这样构造的目的是
⟨
+
|
𝑀
0
|
+
⟩
= 0,
⟨
0
|
𝑀
+
|
0
⟩
= 0
即测量结果为 0 时, 系统一定不在
|
+
⟩
态; 测量结果为 + 时, 系统一定不在
|
0
⟩
态; 同时允许出现测量结
果为 ? 的情况, 这时无法确定系统的态
虽然这在当前的希尔伯特空间中是不可能的, 但是可以构造一个更大的空间来实现
3.2 广义测量本质上是大空间的投影
设有一个量子系统, 其希尔伯特空间为 H, 将系统分成两个子系统的直和
H = H
𝐴
⊕ H
⊥
𝐴
也就是将原空间的基矢分成两组, {
|
𝑗
𝐴
⟩
} 和 {
𝑗
⊥
𝐴
}, 分别张成子空间 H
𝐴
和 H
⊥
𝐴
. 现在只关注 H
𝐴
, 那么可
以定义一个算符取 H 中 H
𝐴
的部分
𝕀
𝐴
=
Õ
𝑗
𝐴
|
𝑗
𝐴
⟩ ⟨
𝑗
𝐴
|
它对于 H
𝐴
中的任意态都起恒等作用, 而作用于 H
⊥
𝐴
中的任意态都得到零. 在原有的希尔伯特空间 H 上
有一个物理量 𝑀
𝑀 =
Õ
𝑚
𝑚
|
𝑚
⟩ ⟨
𝑚
|
它可以视为一系列投影算符的线性组合
𝑀 =
Õ
𝑚
𝑚𝑃
𝑚
, 𝑃
𝑚
=
|
𝑚
⟩ ⟨
𝑚
|
对于处于 H
𝐴
中的态
|
𝜓
⟩
, 它测量得到
|
𝑚
⟩
的概率为
𝑝
𝑚
=
⟨
𝜓
|
𝑃
𝑚
|
𝜓
⟩
=
⟨
𝜓
|
𝕀
𝐴
𝑃
𝑚
𝕀
𝐴
|
𝜓
⟩
后一个等号是因为 𝕀
𝐴
作用于
|
𝜓
⟩
是恒等的. 那么可以定义 POVM 元素
𝐸
𝑚
= 𝕀
𝐴
𝑃
𝑚
𝕀
𝐴
原先在大空间中的正交向量, 丢弃一些维度后可能不再正交, 因此这些测量算符不再满足正交关系, 但是
可以验证它们依然满足完备关系
Õ
𝑚
𝐸
𝑚
= 𝕀
𝐴
Õ
𝑚
𝑃
𝑚
!
𝕀
𝐴
= 𝕀
𝐴
𝕀𝕀
𝐴
= 𝕀
𝐴
也就是说, 在 H
𝐴
子空间中的广义测量, 实际上是大空间 H 中的投影算符在 H
𝐴
上的投影
3.3 广义测量公设
在投影测量中, 要求描一个物理量的投影算符满足
1. 正交性: 𝑃
𝑚
𝑃
𝑚
′
= 𝛿
𝑚𝑚
′
𝑃
𝑚
, 来自于物理量的本征矢正交
2. 完备性:
Í
𝑚
𝑃
𝑚
= 𝕀, 来自于测量结果的概率和为 1
3. 厄密性: 𝑃
†
𝑚
= 𝑃
𝑚
, 来自于物理量的实数本征值
在广义测量中的投影算符与普通的投影算符有一样的行为. 假设系统有密度矩阵 𝜌, 那么测量得到 𝑚 的
概率为
𝑝
𝑚
= 𝑡𝑟 (𝑀
𝑚
𝜌𝑀
†
𝑚
)
测量后系统的密度矩阵变为
𝜌
′
=
𝑀
𝑚
𝜌𝑀
†
𝑚
𝑡𝑟 (𝑀
𝑚
𝜌𝑀
†
𝑚
)
对于纯态
|
𝜓
⟩
来说, 有测量概率
𝑝
𝑚
=
⟨
𝜓
|
𝑀
†
𝑚
𝑀
𝑚
|
𝜓
⟩
态的塌缩
|
𝜓
′
⟩
=
𝑀
𝑚
|
𝜓
⟩
q
⟨
𝜓
|
𝑀
†
𝑚
𝑀
𝑚
|
𝜓
⟩
无论如何, 测量都应该满足概率归一, 因而对于任意的密度矩阵 𝜌, 都应该有
Õ
𝑚
𝑡𝑟 (𝑀
𝑚
𝜌𝑀
†
𝑚
) = 𝑡𝑟
Õ
𝑚
𝑀
†
𝑚
𝑀
𝑚
𝜌
!
= 1
由于 𝜌 是任意的, 因此必须有
Õ
𝑚
𝑀
†
𝑚
𝑀
𝑚
= 𝕀
对于广义测量投影算符的约束仅有完备性, 并不要求正交性和厄密性. 为了描述概率, 引入 POVM 元素
𝐸
𝑚
= 𝑀
†
𝑚
𝑀
𝑚
显然它们满足归一化条件. 需要注意的是, POVM 元素仅能描述测量结果的概率, 但无法描述测量后态的
塌缩. 多个投影算符可能对应同一个 POVM 元素, 这是因为可以在投影算符前后乘以一个任意的酉算符
而不改变 POVM 元素
(𝑈 𝑀
𝑚
)
†
(𝑈 𝑀
𝑚
) = 𝑀
†
𝑚
𝑈
†
𝑈𝑀
𝑚
= 𝑀
†
𝑚
𝑀
𝑚
= 𝐸
𝑚
其物理意义是, 测量后对态做任何操作都不会改变测量结果的概率
3.4 Naimark 定理
任何 POVM 测量都等价于更大希尔伯特空间中的投影测量. 假定在 H
𝑆
中有一组 POVM 投影算符
Õ
𝑚
𝑀
†
𝑚
𝑀
𝑚
= 𝕀
𝑆
由于 POVM 投影算符的数量和正交性都不能确定, 因而假设它们的数量为 𝑁. 引入一个 𝑁 维的辅助系
统 H
𝐴
, 则总的希尔伯特空间为
H = H
𝑆
⊗ H
𝐴
不妨直接假定总的量子态为
|
𝜓
⟩
=
Õ
𝑚
𝑀
𝑚
|
𝜙
⟩
𝑆
⊗
|
𝑚
⟩
𝐴
可以验证这是一个归一化的态
⟨
𝜓|𝜓
⟩
=
Õ
𝑚,𝑚
′
⟨
𝜙
|
𝑆
𝑀
†
𝑚
𝑀
𝑚
′
|
𝜙
⟩
𝑆
⟨
𝑚
|
𝐴
|
𝑚
′
⟩
𝐴
=
Õ
𝑚
⟨
𝜙
|
𝑆
𝑀
†
𝑚
𝑀
𝑚
|
𝜙
⟩
𝑆
=
⟨
𝜙
|
𝑆
𝕀
𝑆
|
𝜙
⟩
𝑆
= 1
进而就可以梦见一个投影测量
𝑃
𝑚
= 𝕀
𝑆
⊗
|
𝑚
⟩
𝐴
⟨
𝑚
|
𝐴
显然测量概率为
𝑝
𝑚
=
⟨
𝜓
|
𝑃
𝑚
|
𝜓
⟩
=
⟨
𝜙
|
𝑆
𝑀
†
𝑚
𝑀
𝑚
|
𝜙
⟩
𝑆
这就是原先 POVM 测量的概率. 接下来验证测量后态
|
𝜓
′
⟩
=
𝑃
𝑚
|
𝜓
⟩
p
⟨
𝜓
|
𝑃
𝑚
|
𝜓
⟩
=
𝑀
𝑚
|
𝜙
⟩
𝑆
⊗
|
𝑚
⟩
𝐴
q
⟨
𝜙
|
𝑆
𝑀
†
𝑚
𝑀
𝑚
|
𝜙
⟩
𝑆
H
𝑆
部分的态正是 POVM 测量后的态. 因此这个投影测量与原先的 POVM 测量等价, 从而证明了
Naimark 定理
4 广义演化与 Stinespring 扩张定理
4.1 广义演化的超算符
不仅测量可以广义化, 演化过程也可以广义化. 演化过程通常描述为一个酉变换
𝜌
′
= 𝑈𝜌𝑈
†
其中 𝑈 是一个酉算符, 它通过保证内积不变来保证概率守恒. 实际上, 保证概率守恒并不需要酉变换, 只
需要满足演化前后密度矩阵的迹不变即可
𝑡𝑟 (Φ(𝜌)) = 𝑡𝑟 (𝜌)
其中 Φ 是描述演化的映射, 称其为超算符. 一个合法的超算符需要满足以下条件
1. 超算符作用于密度矩阵后仍然是密度矩阵, 因而需要保持厄密性和半正定性
2. 保持迹不变, 来保证概率守恒
4.2 Kraus 表示
事实上, 任何满足厄密保持迹保持的完全正线性映射都可以表示为算符和的形式. 完全正式为了不出现
负概率
Φ(𝜌) =
Õ
𝑘
𝑀
𝑘
𝜌𝑀
†
𝑘
其中 {𝑀
𝑘
} 称为 Kraus 算符, 它们满足完备关系
Õ
𝑘
𝑀
†
𝑘
𝑀
𝑘
= 𝕀
为了证明这一点, 可以对任意密度矩阵 𝜌 进行谱分解
𝜌 =
Õ
𝑖
𝑝
𝑖
|
𝑖
⟩ ⟨
𝑖
|
那么
Φ(𝜌) =
Õ
𝑖
𝑝
𝑖
Φ(
|
𝑖
⟩ ⟨
𝑖
|
)
因此只需要证明对任意纯态
|
𝜓
⟩
, Φ(
|
𝜓
⟩ ⟨
𝜓
|
) 都可以表示为 Kraus 形式. 假定有两个维数一样的空间 H
𝐴
和 H
𝐵
, 超算符作用在 H
𝐴
上. 构造一个最大纠缠态
|
𝜓
⟩
𝐴𝐵
=
Õ
𝑖
|
𝑖
⟩
𝐴
⊗
|
𝑖
⟩
𝐵
那么将超算符作用在 𝐴 子空间上, 则有
𝜌
′
𝐴𝐵
= (Φ ⊗ 𝕀
𝐵
)(
|
𝜓
⟩
𝐴𝐵
⟨
𝜓
|
𝐴𝐵
)
𝜌
′
𝐴𝐵
是一个厄密半正定矩阵, 因而可以进行谱分解
𝜌
′
𝐴𝐵
=
Õ
𝑘
𝜆
𝑘
|
𝑒
𝑘
⟩
𝐴𝐵
⟨
𝑒
𝑘
|
𝐴𝐵
其中 𝜆
𝑘
≥ 0. 注意到如果构造一个作用于 H
𝐴
的算符
𝑀
𝑘
|
𝜓
⟩
𝐴
=
p
𝜆
𝑘
⟨
𝜓
∗
|
𝐵
|
𝑒
𝑘
⟩
𝐴𝐵
其中
|
𝜓
⟩
𝐵
满足
|
𝜓
⟩
𝐵
=
⟨
𝜓
∗
|
𝐴
|
𝜓
⟩
𝐴𝐵
这是为了再反过来做一次内积,
|
𝜓
⟩
𝐵
的系数就会跑到 𝐴 上面. 那么可以验证
Õ
𝑘
𝑀
𝑘
|
𝜓
⟩
𝐴
⟨
𝜓
|
𝐴
𝑀
†
𝑘
=
Õ
𝑘
𝜆
𝑘
⟨
𝜓
∗
|
𝐵
|
𝑒
𝑘
⟩
𝐴𝐵
⟨
𝑒
𝑘
|
𝐴𝐵
|
𝜓
∗
⟩
𝐵
其中
|
𝜓
⟩
𝐵
与
|
𝜓
∗
⟩
𝐵
与求和无关, 可以拿出, 剩下的部分正好就是 𝜌
′
𝐴𝐵
Õ
𝑘
𝑀
𝑘
|
𝜓
⟩
𝐴
⟨
𝜓
|
𝐴
𝑀
†
𝑘
=
⟨
𝜓
∗
|
𝐵
𝜌
′
𝐴𝐵
|
𝜓
∗
⟩
𝐵
将 𝜌
′
𝐴𝐵
的定义代入, 则有
Õ
𝑘
𝑀
𝑘
|
𝜓
⟩
𝐴
⟨
𝜓
|
𝐴
𝑀
†
𝑘
=
⟨
𝜓
∗
|
𝐵
(Φ ⊗ 𝕀
𝐵
)(
|
𝜓
⟩
𝐴𝐵
⟨
𝜓
|
𝐴𝐵
)
|
𝜓
∗
⟩
𝐵
由于算符 Φ ⊗ 𝕀
𝐵
作用在 𝐴 子空间上, 因而可以将
⟨
𝜓
∗
|
𝐵
和
|
𝜓
∗
⟩
𝐵
拿到里面
Õ
𝑘
𝑀
𝑘
|
𝜓
⟩
𝐴
⟨
𝜓
|
𝐴
𝑀
†
𝑘
= Φ
(⟨
𝜓
∗
|
𝐵
|
𝜓
⟩
𝐴𝐵
⟨
𝜓
|
𝐴𝐵
|
𝜓
∗
⟩
𝐵
)
由于
|
𝜓
⟩
𝐴𝐵
是最大纠缠态
|
𝜓
⟩
𝐴𝐵
=
Õ
𝑖
|
𝑖
⟩
𝐴
⊗
|
𝑖
⟩
𝐵
,
|
𝜓
⟩
𝐵
=
⟨
𝜓
∗
|
𝐴
|
𝜓
⟩
𝐴𝐵
因此
⟨
𝜓
∗
|
𝐵
|
𝜓
⟩
𝐴𝐵
=
|
𝜓
⟩
𝐴
从而
Õ
𝑘
𝑀
𝑘
|
𝜓
⟩
𝐴
⟨
𝜓
|
𝐴
𝑀
†
𝑘
= Φ(
|
𝜓
⟩
𝐴
⟨
𝜓
|
𝐴
)
这就证明了 Kraus 表示
4.3 Stinespring 扩张定理
Stinespring 扩张定理说明了
任何合法的超算符都可以视为更大希尔伯特空间中的酉演化的约化
. 假定在
H
𝑆
中有一个合法的超算符 Φ, 按照 Kraus 表示, 它可以表示为算符和的形式
Φ(𝜌) =
Õ
𝑘
𝑀
𝑘
𝜌𝑀
†
𝑘
假定求和有 𝑁 项, 则引入一个 𝑁 维的辅助系统 H
𝐴
. 可以简单地梦见一个作用在 H
𝑆
上的算符
𝑉
|
𝜓
⟩
𝑆
=
Õ
𝑘
𝑀
𝑘
|
𝜓
⟩
𝑆
⊗
|
𝑘
⟩
𝐴
这个形式和前面 Naimark 定理中构造的形式完全相同, 显然 𝑉 的前后内积不变. 这里之所以不用 𝑈 是因
为它将一个 H
𝑆
中的态映射到 H
𝑆
⊗ H
𝐴
中, 因而不是一个酉算符. 对于 H
𝑆
中的任意态
|
𝜓
⟩
𝑆
, 有
𝑉
|
𝜓
⟩
𝑆
⟨
𝜓
|
𝑆
𝑉
†
=
Õ
𝑘
𝑀
𝑘
|
𝜓
⟩
𝑆
⊗
|
𝑘
⟩
𝐴
!
Õ
𝑘
′
⟨
𝜓
|
𝑆
𝑀
†
𝑘
′
⊗
⟨
𝑘
′
|
𝐴
!
=
Õ
𝑘, 𝑘
′
𝑀
𝑘
|
𝜓
⟩
𝑆
⟨
𝜓
|
𝑆
𝑀
†
𝑘
′
⊗
|
𝑘
⟩
𝐴
⟨
𝑘
′
|
𝐴
对辅助系统求迹, 只留下 H
𝑆
部分
𝑡𝑟
𝐴
(𝑉
|
𝜓
⟩
𝑆
⟨
𝜓
|
𝑆
𝑉
†
) =
Õ
𝑘
𝑀
𝑘
|
𝜓
⟩
𝑆
⟨
𝜓
|
𝑆
𝑀
†
𝑘
= Φ(
|
𝜓
⟩
𝑆
⟨
𝜓
|
𝑆
)
这似乎已经完成了证明, 但是实际上 𝑉 并不是一个 H 上的酉算符. 这实际上也很简单, 只需要令
𝑈
|
𝜓
⟩
𝑆
⊗
|
0
⟩
𝐴
= 𝑉
|
𝜓
⟩
𝑆
对于 H
𝐴
中其他的基底, 可以任意定义 𝑈 的作用, 只要保证 𝑈 是酉的即可. 到此就完成了 Stinespring 扩
张定理的证明. 不难发现, 对于 H
𝑆
中的一个超算符, 在大系统中有无穷多种酉演化方式与之对应, 这与
GHJW 定理的结论是类似的
