两体系统的纠缠度量
目录
1 Von Neumann 熵 2
2 两体纯态的纠缠熵 2
3 纠缠的生成与蒸馏 3
3.1 纠缠蒸馏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 纠缠生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.3 纠缠度量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 并发度 Concurrence 3
5 几何度量 4
6 负性判据 Negativity 5
6.1
部分转置正定判据
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6.2 负性判据 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1
1 Von Neumann 熵
对于一个量子态而言, Von Neumann 定义为测量某个物理量, 测量结果的香农熵的最小值. 具体而言, 对
于一个密度矩阵 𝜌, 将其在自身的本征基下展开
𝜌 =
𝑖
𝑝
𝑖
|𝜓
𝑖
⟩⟨𝜓
𝑖
|
那么 Von Neumann 熵定义为
𝑆(𝜌) = −
𝑖
𝑝
𝑖
log
2
𝑝
𝑖
具体的证明过程见量子力学-冯诺依曼熵. 对于任何纯态, Von Neumann 熵为零
2 两体纯态的纠缠熵
对于二体纯态, 每个子系统的 Von Neumann 熵相等. 这是因为二体的纯态总是可以进行 Schmidt 分解
|𝜓⟩ =
𝑖
𝜆
𝑖
|𝑢
𝑖
⟩
𝐴
⊗ |𝑣
𝑖
⟩
𝐵
其中 𝜆
𝑖
为非负实数. 那么整个系统的密度矩阵为
𝜌 = |𝜓⟩⟨𝜓| =
𝑖, 𝑗
𝜆
𝑖
𝜆
𝑗
|𝑢
𝑖
⟩
𝐴
⟨𝑢
𝑗
|
𝐴
⊗ |𝑣
𝑖
⟩
𝐵
⟨𝑣
𝑗
|
𝐵
求出子系统 𝐴 的约化密度矩阵
𝜌
𝐴
= Tr
𝐵
(𝜌) =
𝑖, 𝑗
𝜆
𝑖
𝜆
𝑗
|𝑢
𝑖
⟩
𝐴
⟨𝑢
𝑗
|
𝐴
Tr(|𝑣
𝑖
⟩
𝐵
⟨𝑣
𝑗
|
𝐵
) =
𝑖
𝜆
𝑖
|𝑢
𝑖
⟩
𝐴
⟨𝑢
𝑖
|
𝐴
因此子系统 𝐴 的 Von Neumann 熵为
𝑆(𝜌
𝐴
) = −
𝑖
𝜆
𝑖
log
2
𝜆
𝑖
显然, 子系统 𝐵 具有相同的 Von Neumann 熵, 称为二体纯态的纠缠熵. 在所有二体纯态中, Bell 态的纠
缠熵最大
|Φ
+
⟩ =
1
√
2
(|00⟩ + |11⟩)
|Φ
−
⟩ =
1
√
2
(|00⟩ − |11⟩)
|
Ψ
+
⟩ =
1
√
2
(|
01
⟩ + |
10
⟩)
|Ψ
−
⟩ =
1
√
2
(|01⟩ − |10⟩)
这是因为两个子系统的
约化密度矩阵都是最大混态
, 显然最大混合态的 Von Neumann 熵最大. 它们的纠
缠熵为 1 比特
3 纠缠的生成与蒸馏
3.1 纠缠蒸馏
纠缠蒸馏是指通过局域操作和经典通信, 从多个弱纠缠态中提取出较少数量的强纠缠态的过程. 由于贝尔
态具有最大的纠缠度, 因而纠缠蒸馏的目标通常是贝尔态
如果已经有 𝑛 个弱纠缠态, 能够提取出的贝尔态数量 𝑚 满足
lim
𝑛→∞
𝑚
𝑛
= 𝐸
𝐷
(𝜌)
其中 𝜌 为纠缠态的密度矩阵, 它可以用来衡量弱纠缠的纠缠度
3.2 纠缠生成
纠缠生成是指通过局域操作和经典通信, 将贝尔态制备成目标纠缠态的过程. 如果需要制备 𝑛 个目标纠
缠态, 所需的贝尔态数量 𝑚 满足
lim
𝑛→∞
𝑚
𝑛
= 𝐸
𝐹
(𝜌)
其中 𝜌 为目标纠缠态的密度矩阵, 它也可以用来衡量目标纠缠态的纠缠度
3.3 纠缠度量
可以证明, 对于 𝐴, 𝐵 两体系统的纯态, 有
𝐸
𝐷
(𝜌) = 𝐸
𝐹
(𝜌) = 𝑆(𝜌
𝐴
) = 𝑆(𝜌
𝐵
)
也即纯态的纠缠转换是可逆的, 也说明了 𝑛 个非最大纠缠态可以压缩到 𝑛𝑆(𝜌
𝐴
) 个量子比特的空间中, 即
Schumacher 量子无噪声信道编码定理
需要注意的是, 无论使用何种方法, 总有
𝐸
𝐷
(𝜌) ≤ 𝐸
𝐹
(𝜌)
如果纠缠蒸馏能得到更多的贝尔态, 那么就可以再使用这些贝尔态生成更多的初态, 然后左脚踩右脚上
天, 得到无限多的贝尔态. 这显然是不可能的
4 并发度 Concurrence
对于一个二体系统的密度矩阵 𝜌, 并发度衡量其纠缠程度. 不同于纠缠熵只能用于纯态, 并发度可以描述
混态. 对于密度矩阵 𝜌, 计算
˜
𝜌 = (𝜎
𝑦
⊗ 𝜎
𝑦
)𝜌
∗
(𝜎
𝑦
⊗ 𝜎
𝑦
)
其中 𝜌
∗
是 𝜌 的复共轭, 𝜎
𝑦
是泡利矩阵
𝜎
𝑦
=
0 −𝑖
𝑖 0
计算矩阵
𝑅 =
√
𝜌
˜
𝜌
√
𝜌
设 𝑅 的特征值按降序排列为 {𝜆
𝑖
}, 则并发度定义为
𝐶(𝜌) = max(0, 𝜆
1
− 𝜆
2
− 𝜆
3
− 𝜆
4
)
并发度的取值范围是 [0, 1], 其中 𝐶 = 0 表示无纠缠态, 𝐶 = 1 表示最大纠缠态. 或者也可以采取方便计算
的形式
𝑅 = 𝜌
˜
𝜌
随后计算 𝑅 的特征值的平方根, 并按降序排列得到 {𝜆
𝑖
}. 这是因为
𝜌
˜
𝜌 =
√
𝜌
√
𝜌
˜
𝜌
,
√
𝜌
˜
𝜌
√
𝜌 =
√
𝜌
˜
𝜌
√
𝜌
实际上只是交换了矩阵的乘法顺序. 由于它们都是方阵, 因而具有完全一样的特征值
若以密度矩阵 𝜌 为目标生成纠缠, 则需要的贝尔态数量为
𝐸
𝐹
(𝜌) = ℎ
1 +
1 − 𝐶 (𝜌)
2
2
其中 ℎ(𝑥) = −𝑥 log
2
𝑥 − (1 − 𝑥) log
2
(1 − 𝑥) 为二进熵函数
𝐶(𝜌) =
2(1 − Tr(𝜌
2
))
5 几何度量
如果有两个量子态 𝜌 和 𝜎, 则它们之间距离定义为相对熵
𝐷(𝜌, 𝜎) = Tr(𝜌 log
2
𝜌) − Tr(𝜌 log
2
𝜎)
它衡量两个量子态的差异. 一个量子态 𝜌 的几何纠缠度量定义为
𝐸 (𝜌) = min
𝜎∈D
𝐷(𝜌||𝜎)
其中 D 为所有可分态的集合. 也就是说几何度量实际上是量子态和最近可分态的距离
6 负性判据 Negativity
6.1 部分转置正定判据
在 2 × 2 和 2 × 3 的系统中, 量子态可分等价于则其部分转置矩阵半正定. 其中部分转置指的是将密度矩
阵 𝜌 在某个子系统上进行转置操作, 比如对于二体系统 𝐴, 𝐵, 有
𝜌 =
𝑖, 𝑗,𝑘,𝑙
𝑝
𝑖 𝑗,𝑘𝑙
|𝑖⟩
𝐴
⟨𝑗 |
𝐴
⊗ |𝑘⟩
𝐵
⟨𝑙|
𝐵
则对 𝐵 系统进行部分转置得到
𝜌
𝑇
𝐵
=
𝑖, 𝑗,𝑘,𝑙
𝑝
𝑖 𝑗,𝑘𝑙
|𝑖⟩
𝐴
⟨𝑗 |
𝐴
⊗ |𝑙⟩
𝐵
⟨𝑘 |
𝐵
在更高维度的系统中, 如果部分转置矩阵存在负特征值, 则该态必然是纠缠态, 但反之不成立. 部分转置
矩阵没有负特征值的纠缠态称为束缚纠缠态
6.2 负性判据
基于 PPT 判据, 可以定义量子态的负性为所有负特征值的绝对值之和
𝑁 (𝜌) =
𝜆
𝑖
<0
|𝜆
𝑖
|
或者
𝑁 (𝜌) =
|𝜆
𝑖
| − 𝜆
𝑖
2
=
∥𝜌
𝑇
𝐵
∥
1
− 1
2
其中 𝜆
𝑖
为部分转置矩阵的特征值. 基于此, 还可以定义对数负性
𝐸
𝑁
(𝜌) = log
2
∥𝜌
𝑇
𝐵
∥
1
其中 ∥ · ∥
1
为矩阵的迹范数
∥𝐴∥
1
= Tr
√
𝐴
†
𝐴
