磁能
目录
1 磁能 2
2 载流线圈系统的磁能 2
3 外磁场中的载流线圈 2
3.1 载流线圈在外磁场中的磁能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 载流线圈在外磁场中的磁能与势能的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 任意电流分布的磁能 3
5 利用磁能计算自感系数 3
6 存在介质时的磁能 3
7 由磁能求安培力 4
7.1 用势能求力和力矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
7.2 维持电流不变 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
7.3 维持磁通量不变 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1
1 磁能
所谓磁能, 是指电流从无到有无限缓慢地建立过程中, 外界抵抗感应电动势所做的功; 也即磁场从无到有
无限缓慢地建立过程中, 外界抵抗涡旋电场力所做的功
有感应电动势
𝜖 = −
𝑑
Φ
𝑑𝑡
= −𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
抵抗感应电动势做功的功率
𝑃 = −𝐼𝜖 = 𝐼
𝑑Φ
𝑑𝑡
= 𝐿𝐼
𝑑𝐼
𝑑𝑡
那么抵抗感应电动势做功
𝐴 =
∫
∞
0
𝑃𝑑𝑡 =
∫
Φ
0
𝐼𝑑Φ =
1
2
𝐿𝐼
2
该功仅与电流 (或磁场) 分布有关, 而与过程无关
单个载流线圈的磁能为
𝑊 =
1
2
𝐿𝐼
2
=
1
2
𝐼Φ
2 载流线圈系统的磁能
𝑊
=
1
2
∑
𝑀
𝑖 𝑗
𝐼
𝑖
𝐼
𝑗
=
1
2
∑
𝐼
𝑖
Φ
𝑖
其中 Φ
𝑖
是穿过第 𝑖 个线圈的总磁通量
磁能可以拆分为各线圈的自感磁能与线圈间的互感磁能
𝑊 =
1
2
∑
𝐿
𝑖
𝐼
2
𝑖
+
∑
𝑖< 𝑗
𝑀
𝑖 𝑗
𝐼
𝑖
𝐼
𝑗
对于两线圈系统
𝑊 =
1
2
𝐿
1
𝐼
2
1
+
1
2
𝐿
2
𝐼
2
2
+ 𝑀 𝐼
1
𝐼
2
两线圈的互感磁能即为二者间的相互作用能
𝑊
12
= 𝑀𝐼
1
𝐼
2
= 𝐼
1
Φ
12
= 𝐼
1
∬
𝑆
1
®
𝐵
2
· 𝑑
®
𝑆
1
对一般的线圈系统, 线圈 1 与其他线圈的相互作用能为
𝑊
1
=
𝑁
∑
2
𝑊
1𝑖
=
𝑁
∑
2
𝑀
1𝑖
𝐼
1
𝐼
𝑖
= 𝐼
1
Φ
𝑒
= 𝐼
1
∬
𝑆
1
®
𝐵
2
· 𝑑
®
𝑆
1
其中,Φ
𝑒
是其他线圈的磁场
®
𝐵
𝑒
穿过线圈 1 的磁通量
3 外磁场中的载流线圈
3.1 载流线圈在外磁场中的磁能
某个载有电流 𝐼 的线圈与其他线圈的相互作用又称为线圈 𝐶 处在 (其他线圈激发的) 外磁场
®
𝐵
𝑒
中的磁能
𝑊
𝑒
= 𝐼
1
Φ
𝑒
= 𝐼
∬
𝑆
®
𝐵
𝑒
· 𝑑
®
𝑆
对均匀外场中的线圈, 或非均匀外场中的小线圈
𝑊
𝑒
= 𝐼
®
𝐵
𝑒
·
®
𝑆 = ®𝑚 ·
®
𝐵
𝑒
3.2 载流线圈在外磁场中的磁能与势能的关系
在维持各电流不变情形下移动某个线圈
1. 电源做功等于安培力做功两倍
2. 电源做功等于互能或磁能增量的两倍
3. 安培力做功等于互能或磁能增量, 等于势能的减小量
对均匀外场中的载流线圈, 或非均匀外场中的小载流线圈, 其势能为
𝑈 = − ®𝑚 ·
®
𝐵
𝑒
由洛伦兹力不做功可以推出动生电动势 + 安培力消耗功率 =0
4 任意电流分布的磁能
任意电流分布的磁能为
𝑊 =
1
2
∭
®
𝐽 ·
®
𝐴𝑑𝑉
积分区域: 将所有电流包含在内的任一区域: 譬如全空间
能量为电流所携带，有电流之处就有能量
利用 𝜇
0
®
𝐽 = ∇ ×
®
𝐵 后, 任意电流分布的磁能也可以写为
𝑊 =
∭
𝐵
2
2𝜇
0
𝑑𝑉
积分区域: 全空间或磁场不为零区域, 可以定义磁能密度
𝑤 =
𝐵
2
2𝜇
0
能量为磁场所携带, 有磁场之处就有磁能
5 利用磁能计算自感系数
𝑊 =
1
2
𝐿𝐼
2
⇒ 𝐿 =
2𝑊
𝐼
2
6 存在介质时的磁能
介质对磁场的影响体现在 𝐿 与 𝑀 中
考察某载流线圈有沿 𝐻 线的安培环路定理
𝐼
0
=
∮
𝐶
®
𝐻 · 𝑑
®
𝑙 =
∮
𝐶
𝐻𝑑𝑙
穿过电流所围曲面的磁通量为
Φ =
∬
𝑆
®
𝐵 · 𝑑
®
𝑆 =
∬
𝑆
𝐵𝑑𝑆
⊥
那么电源抵抗感应电动势做功为
𝛿𝐴 = −𝐼
0
𝜖 𝑑𝑡 = 𝐼
0
𝑑Φ =
∭
𝐻𝛿𝐵𝑑𝑉 =
∭
®
𝐻 · 𝛿
®
𝐵𝑑𝑉
电源由于做功而在空间单位体积内消耗的能量为
𝛿𝑎 =
®
𝐻 · 𝛿
®
𝐵
又有
®
𝐵 = 𝜇
0
(
®
𝐻 +
®
𝑀), 则
𝛿𝑎 = 𝛿
(
1
2
𝜇
0
𝐻
2
)
+ 𝜇
0
®
𝐻 · 𝛿
®
𝑀
前一项与过程无关, 称为宏观磁能密度, 后一项称为磁化功密度
对于简单介质
®
𝑀 = 𝜒
®
𝐻
则磁化功密度为
1
2
𝜇
0
®
𝐻 ·
®
𝑀
那么对于简单介质
𝛿𝐴 = 𝛿
∭
(
1
2
®
𝐵 ·
®
𝐻
)
𝑑𝑉
建立传导电流或磁场过程中外界抵抗感应电动势做功与过程无关
𝐴 =
∭
(
1
2
®
𝐵 ·
®
𝐻
)
𝑑𝑉
由此定义磁场能量 𝑊 与能量密度 𝑤
𝑊 =
∭
(
1
2
®
𝐵 ·
®
𝐻
)
𝑑𝑉, 𝑤 =
1
2
®
𝐵 ·
®
𝐻
利用
®
𝐵 = ∇ ×
®
𝐴 得到电流的观点
𝑊 =
1
2
∭
®
𝐽
0
·
®
𝐴𝑑𝑉
7
由磁能求安培力
7.1 用势能求力和力矩
®
𝐹 = −(∇𝑈)
𝑚
, 𝜏 = −
(
𝜕𝑈
𝜕𝜃
)
𝑚
7.2 维持电流不变
®
𝐹 = (∇𝑊)
𝐼
, 𝜏 =
(
𝜕𝑊
𝜕𝜃
)
𝐼
7.3 维持磁通量不变
®
𝐹 = −(∇𝑊)
Φ
, 𝜏 = −
(
𝜕 𝑊
𝜕𝜃
)
Φ
