真空中的静电场
目录
1 电荷守恒 4
1.1 电荷的量子性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 电子的共轭对称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 电子的相对论不变性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 宏观电荷分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 点电荷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 电荷守恒定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 库仑定律 5
2.1 库伦定律的主要内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 SI 制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 电势能 5
3.1 移动电荷做功 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 电势能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 电场强度 6
4.1 静电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 点电荷的电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.3 点电荷系统的电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.4 连续电荷分布的电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.5 电场强度的计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.5.1 叠加原理与对称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.6 电偶极子的电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.6.1 电偶极子在远处的电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.7 连续电荷分布电场的例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.7.1 细棒 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.7.2 无限长均匀带电细棒 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.7.3 均匀带点圆环轴线上的电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.7.4 均匀带点圆盘 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.7.5 无限大均匀带电平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.8 边值关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1
5 高斯定理 9
5.1 高斯定理的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2 高斯定理中的电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.3 高斯定理中的电量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.4 高斯定理的与库伦定律的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.5 高斯定理的物理含义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.6 高斯定理的微分形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.7 高斯定理的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.7.1 均匀带电球面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.7.2 均匀带电球体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.7.3 无限大带电平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.7.4 无限大均匀带电细棒 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.7.5 法向边值关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6 环路定理 11
6.1 静电场的环量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.2 静电场的环路定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.3 环路定理的微分形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.4 切向边值关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7 静电势 12
7.1 电势与电势差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7.1.1 静电势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7.1.2 电势差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7.1.3 等势面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.1.4 叠加原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.2 局域电荷分布的电势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.2.1 点电荷系统的电势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.2.2 连续电荷分布的电势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.2.3 球面球心处 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.2.4 均匀带电圆环对称轴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.2.5 均匀带电圆盘对称轴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.2.6 均匀带电圆盘边缘 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.2.7 均匀带电球面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.2.8 均匀带电球体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.2.9 无限长均匀带电细棒 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.3 电场与电势的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.3.1 等势面的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.3.2 不同电荷分布的等势面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7.4 电偶极子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7.4.1 电偶极子的电势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7.4.2 电偶极子的电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.4.3 数学小贴士 (?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.4.4 任意局域电荷分布在远处的电势与电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.4.5 任意局域电荷分布激发的电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.5 电荷分布与电势的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8 平均值定理 18
8.1 电势在球面上的平均值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8.1.1 点电荷在球面外 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8.1.2 点电荷在球面内 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8.1.3 电势的平均值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8.2 唯一性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8.2.1 恩肖定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8.3 电场在球体内的平均值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8.3.1 点电荷在球外 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8.3.2 点电荷在球内 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8.3.3 电场的平均值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9 电场对电荷的作用 21
9.1 静电力与静电力矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9.2 外场中的电偶极子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9.2.1 电偶极子受到的静电力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9.2.2 电偶极子受到的静电力矩 (相对 O 点) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9.3 体电荷受力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9.4 面电荷受力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1 电荷守恒
1747 年，美国科学家富兰克林：在室温下，丝绸摩擦过的玻璃棒所带的电荷称为正电荷；毛皮摩擦过的
橡胶棒所带的电荷称为负电荷
1.1 电荷的量子性
1909 年，R. A. Millikan 在油滴实验中实验发现小粒子带电量是不连续的，它只能是元电荷的整数倍。电
荷的最小单位是
𝑒 = 1.602 × 10
19
𝐶
1.2 电子的共轭对称性
反粒子存在
1.3 电子的相对论不变性
在不同的惯性系内的观察者对同一物体所带电量进行测量所得到的量值都相同。即电荷是一个相对论不
变量
1.4 宏观电荷分布
在宏观电磁学中，通常总是将电荷视为是分布在一个空间区域中的，并定义体电荷密度为
𝜌(®𝑟) =
Δ𝑄
Δ𝑉
=
𝑑𝑄
𝑑𝑉
Δ𝑉 宏观小，微观大 (至少包含几百个原子，否则无意义)
如果电荷分布在很薄的区域内，其厚度相比于问题所涉距离要小得多，这时我们将电荷近似视为是分布
在一个面上的，并定义其面电荷密度为
𝜎(®𝑟) =
Δ𝑄
Δ𝑆
=
𝑑𝑄
𝑑𝑆
又有Δ𝑉 = Δ𝑆 · 𝑑
⊥
, 则𝜎 = 𝜌𝑑
⊥
如果电荷分布在很细的管状区域内，其横向尺度远小于问题中所涉距离，这时可将电荷近似视为是分布
在一条线上的，并定义其线电荷密度为
𝜆(®𝑟) =
Δ𝑄
Δ𝑙
=
𝑑𝑄
𝑑𝑙
又有Δ𝑉 = Δ𝑙 · 𝑆
⊥
, 则𝜆 = 𝜌𝑆
⊥
1.5 点电荷
当一个带电体本身的线度比所研究的问题中所涉及的距离小很多时，该带电体的形状与电荷在其上的分
布状况均无关紧要，该带电体就可看作一个带电的点，叫点电荷。当在宏观意义上谈论电子、质子等带电
粒子时，完全可以把它们视为点电荷。
点电荷、线电荷和面电荷都是相对的概念。至于带电体的尺度、粗细、厚度比问题所涉及的距
离小多少时，才能将带电体视为点电荷、线电荷或面电荷，这要依问题所要求的精度而定。
1.6 电荷守恒定律
电荷守恒的图像是局域的守恒 (连续性方程, 见讲义)
2 库仑定律
符号约定
𝐹
12
表示
𝑞
1
受到
𝑞
2
的作用力
®𝑟
12
表示 𝑞1 相对于 𝑞2 的位矢
点电荷 𝑞1 受到点电荷 𝑞2 的作用力为
®
𝐹
12
= 𝑘
𝑞
1
𝑞
2
𝑟
2
12
ˆ
𝑟
12
= 𝑘
𝑞
1
𝑞
2
𝑟
3
12
®𝑟
12
2.1 库伦定律的主要内容
1. 同号点电荷相互排斥，异号点电荷相互吸引
2. 力的大小反比于两点电荷之间距离的平方
3. 力的大小正比于每个点电荷的电量
4. 力的方向沿着两点电荷的连线 (两个点只能确定一个特殊方向)
2.2 SI 制
在 SI 制中，电流强度的单位安培是基本单位，电量单位是库仑，满足 1𝐶 = 1𝐴 · 𝑠
𝑘 = 8.99»10
9
𝑁 · 𝑚
2
/𝐶
2
通常将耦合常数 𝑘 利用真空介电常数 𝜖
0
写为
1
4𝜋𝜖
0
, 𝜖
0
= 8.85 × 10
−12
𝐶
2
/(𝑁 · 𝑚
2
)
库仑定律表示为
®
𝐹
12
=
𝑞
1
𝑞
2
ˆ
𝑟
12
4𝜋𝜖
0
𝑟
2
12
3 电势能
3.1 移动电荷做功
将 𝑞
0
无限缓慢地从 ®𝑟
1
移到 ®𝑟
2
外界需要做多大功
𝐴(®𝑟
1
→ ®𝑟
2
) =
®𝑟
1
®𝑟
2
®
𝐹
外
· 𝑑
®
𝑙 =
®𝑟
1
®𝑟
2
(−
®
𝐹) · 𝑑
®
𝑙
= −
𝑄𝑞
0
4𝜋𝜖
0
®𝑟
1
®𝑟
2
®𝑟 · 𝑑®𝑟
𝑟
3
= −
𝑄𝑞
0
4𝜋𝜖
0
𝑟
1
𝑟
2
𝑑𝑟
𝑟
2
= +
𝑄𝑞
0
4𝜋𝜖
0
𝑟
1
𝑟
2
𝑑
1
𝑟
⇒ 𝐴(®𝑟
1
→ ®𝑟
2
) =
𝑄𝑞
0
4𝜋𝜖
0
𝑟
2
−
𝑄𝑞
0
4𝜋𝜖
0
𝑟
1
由叠加原理, 若 𝑞
0
受到若干电荷的静电力作用, 则移动 𝑞
0
的过程中外界抵抗静电力做功完全由起点和终
点决定, 与中间路程无关
𝐴(1 → 2) =
𝐶
1
®
𝐹 · 𝑑
®
𝑙 =
𝐶
2
®
𝐹 · 𝑑
®
𝑙 =
𝐶
3
·𝑑
®
𝑙
沿着任意闭曲线移动电荷外界抵抗静电力做功为零
𝐴(1 → 1) =
𝐶
®
𝐹 · 𝑑
®
𝑙 = 0
静电力是保守力!
3.2 电势能
点电荷 𝑞
0
在 ®𝑟 处的电势能定义为
𝑈(®𝑟) = −
𝑃
®𝑟
®
𝐹 · 𝑑
®
𝑙 =
®𝑟
𝑃
®
𝐹 · 𝑑
®
𝑙
其中
®
𝐹 是受到的静电力,𝑃 称为电势能的参考点, 原则上参考点可以任意选择, 某点的势能就是该点和参
考点的势能之差
若以无穷远为参考点, 则点电荷 𝑞
0
的电势能为
𝑈(𝑣𝑒𝑐𝑟) =
𝑄𝑞
0
4𝜋𝜖
0
𝑟
一个场源点电荷
=
𝑞
0
4𝜋𝜖
0
𝑁
𝑘=0
𝑞
𝑘
ℝ
𝑘
多个场源点电荷
=
𝑞
0
4𝜋𝜖
0
𝑑𝑞
ℝ
连续的场源电荷
4 电场强度
电场强度
®
𝐸 (®𝑟, 𝑡) 定义为静止于 ®𝑟 处的单位正点电荷在 𝑡 时刻受到的力
4.1 静电场
静止电荷产生的电场称为静电场
静电场对其他电荷的作用力称为静电力
4.2 点电荷的电场
静止点电荷激发的电场为
®
𝐸 =
𝑞
4𝜋𝜖
0
ˆ
𝑟
𝑟
2
也将此结论称为库仑定律
任意电荷分布激发的电场都可以由库仑定律和叠加原理得到
4.3 点电荷系统的电场
定义场点 ®𝑟 相对于原点 ®𝑟
𝑘
的位矢
®
ℝ
𝑘
= ®𝑟 − ®𝑟
𝑘
则
®
𝐸 ®𝑟 =
𝑘
𝑞
𝑘
4𝜋𝜖
0
ˆ
ℝ
𝑘
ℝ
2
𝑘
=
𝑘
𝑞
𝑘
4𝜋𝜖
0
®𝑟 − ®𝑟
𝑘
|
®𝑟 − ®𝑟
𝑘
|
4.4 连续电荷分布的电场
®
𝐸 ®𝑟 =
1
4𝜋𝜖
0
ˆ
ℝ
ℝ
2
𝑑𝑞
0
电荷元:
体分布
:
𝑑𝑞
0
=
𝜌
(®
𝑟
0
)
𝑑𝑉
0
面分布:𝑑𝑞
0
= 𝜎(®𝑟
0
)𝑑𝑆
0
线分布:𝑑𝑞
0
= 𝜆(®𝑟)𝑑𝑙
0
4.5 电场强度的计算
可以计算 𝐸 的每一个分量, 矢量积分化为三个标量积分
具有特殊对称性的电荷分布, 也可以先判断 𝐸 的方向, 再计算其大小, 矢量积分化为一个标量积分
4.5.1 叠加原理与对称性
如果电荷分布存在对称平面, 那么对称面上的电场没有法向分量, 即平行于对称面
如果电荷分布存在对称轴, 那么对称轴上的电场沿着对称轴
4.6 电偶极子的电场
电偶极子: 相隔一定距离的一对等量异号的点电荷
电偶极矩:
®𝑝 = 𝑞
®
𝑙 = (+𝑞)®𝑟
+
+ (−𝑞)®𝑟
−
4.6.1 电偶极子在远处的电场
®
𝐸 =
𝑞
4𝜋𝜖
0
®𝑟
+
𝑟
3
+
−
®𝑟
−
𝑟
3
−
其中
®𝑟
+
= ®𝑟 −
®
2/2 = 𝑥
ˆ
𝑥 = 𝑦
ˆ
𝑦 + (𝑧 − 𝑙/2)
ˆ
𝑧
®𝑟
−
= ®𝑟 +
®
𝑙/2 = 𝑥
ˆ
𝑥 + 𝑦
ˆ
𝑦 + (𝑧 + 𝑙/2)
ˆ
𝑧
代入, 泰勒展开保留第一个非零项得
®
𝐸 =
𝑞
4𝜋𝜖
0
®𝑟 −
®
𝑙/2
𝑟
3
+
−
®𝑟 +
®
𝑙/2
𝑟
3
−
=
𝑞
4𝜋𝜖
0
1
𝑟
3
+
−
1
𝑟
3
−
®𝑟 −
1
2
1
𝑟
3
+
+
1
𝑟
3
−
®
𝑙
≡
𝑞
4𝜋𝜖
0
3(
®
𝑙 ·
ˆ
𝑟)
𝑟
3
−
®
𝑙
𝑟
3
⇒
®
𝐸 ≡
3( ®𝑝 ·
ˆ
𝑟) − ®𝑝
4𝜋𝜖
0
𝑟
3
=
𝑝
4𝜋𝜖
0
𝑟
3
[(2 cos 𝜃)
ˆ
𝑟 + (sin 𝜃)
ˆ
𝜃] , (𝑟 >> 𝑙)
中垂面上 𝜃 = 𝜋/2
®
𝐸
⊥
= −
®𝑝
4𝜋𝜖
0
𝑟
3
延长线上 𝜃 = 0, 𝜋
®
𝐸
k
=
2 ®𝑝
4𝜋𝜖
0
𝑟
3
4.7 连续电荷分布电场的例子
4.7.1 细棒
线电荷密度 𝜆, 长 𝐿 的细棒, 令
ˆ
𝑧 为细棒方向,
ˆ
𝑠 为垂直细棒方向, 空间中一点 𝑃 的电场强度为
®
𝐸 =
𝜆
4𝜋𝜖
0
𝑠
[
ˆ
𝑧(sin 𝜃
2
− sin 𝜃
1
) −
ˆ
𝑠(cos 𝜃
2
− cos 𝜃
1
)]
其中 𝜃
1
, 𝜃
2
分别为棒两端点到 𝑃 连线与
ˆ
𝑧 的夹角
大小
𝐸 =
𝜆
2𝜋𝜖
0
𝑠
sin
𝛼
2
方向
tan 𝛽 =
𝜃
1
+ 𝜃
2
2
= 𝜃
1
+
𝛼
2
𝑃 点的电场沿着 𝑃 与两端点连线的角平分线方向
4.7.2 无限长均匀带电细棒
®
𝐸 =
𝜆
2𝜋𝜖
0
𝑠
ˆ
𝑠
电荷密度相同时, 细棒可以等价为圆弧 (保持角度相同)
4.7.3 均匀带点圆环轴线上的电场
®
𝐸 =
𝑄
4𝜋𝜖
0
𝑧
(𝑎
2
+ 𝑧
2
)
3
2
ˆ
𝑧
4.7.4 均匀带点圆盘
®
𝐸 =
ˆ
𝑧
𝜎𝑧
2𝜖
0
𝑧
|
𝑧
|
−
𝑧
√
𝑎
2
+ 𝑧
2
4.7.5 无限大均匀带电平面
®
𝐸 =
ˆ
𝑧
𝜎
2𝜖
0
𝑧
|
𝑧
|
4.8 边值关系
边值关系: 面电荷两侧无限靠近的两点处电场强度的关系
空间任一点的电场等于电荷元 𝜎Δ𝑆 产生的电场
®
𝐸
𝑆
以及其他电荷产生的电场
®
𝐸
0
之叠加:
®
𝐸 =
®
𝐸
𝑆
+
®
𝐸
0
其中 𝜎Δ𝑆 在面两侧产生的电场不连续
®
𝐸
𝑆1
= −
𝜎
2𝜖
0
ˆ
𝑛 ,
®
𝐸
𝑆2
= +
𝜎
2𝜖
0
ˆ
𝑛
而
®
𝐸
0
在面的上下两侧连续
®
𝐸
0
1
=
®
𝐸
0
2
=
®
𝐸
0
0
得到电场的边值关系
®
𝐸
2
−
®
𝐸
1
=
𝜎
𝜖
0
ˆ
𝑛
电场在面电荷两侧的法向分量不连续, 切向分量连续
5 高斯定理
穿过闭曲面𝑆的电场通量 =
𝑆内包含的总电量
真空介电常数𝜖
0
Φ
𝐸
=
𝑆
®
𝐸 · 𝑑
®
𝑆 =
𝑄
内
𝜖
0
5.1 高斯定理的证明
若空间中有若干点电荷, 由叠加原理得到
Φ
𝐸
=
𝑆
®
𝐸 · 𝑑
®
𝑆 =
𝑆
𝑖
®
𝐸
𝑖
· 𝑑
®
𝑆 =
𝑖
𝑆
®
𝐸
𝑖
· 𝑑
®
𝑆
点电荷 𝑄
𝑖
激发的电场
®
𝐸
𝑖
对电通量的贡献只决定于该点电荷是在闭曲面的内部还是外部. 显然对于连续
分布的电荷, 高斯定理也成立
5.2 高斯定理中的电场
用以计算电场通量的闭曲面称为高斯面
用以计算电场通量的电场指的是总电场, 而只有高斯面内的电荷激发的电场才对电通量有贡献, 高斯面外
的电荷激发的电场对电通量的贡献为零
5.3 高斯定理中的电量
高斯面上不能有有限电荷的分布
5.4 高斯定理的与库伦定律的关系
高斯定理是库伦定律的推论, 比库伦定律更普适
5.5 高斯定理的物理含义
高斯定理表明: 静电场是有源场
正电荷是静电场的源, 负电荷是静电场的汇
对于点电荷系统, 电荷发出或接收的电场线数目 (代数和) 与其电量成正比
5.6 高斯定理的微分形式
由于 𝑄 =
𝑉
𝜌𝑑𝑉, 及数学高斯定理
𝑆
®
𝐸 · 𝑑
®
𝑆 =
𝑉
∇ ·
®
𝐸𝑑𝑉
因此, 高斯定理可以写为
𝑉
∇ ·
®
𝐸𝑑𝑉 =
𝑉
𝜌
𝜖
0
𝑑𝑉
此式对于任意 𝑉 皆成立, 故高斯定理可以写成微分形式
∇ ·
®
𝐸 =
𝜌
𝜖
0
表明电场线不会在没有电荷的地方产生或消失
5.7 高斯定理的应用
5.7.1 均匀带电球面
若 𝑟 < 𝑎 则 𝐸 = 0
若 𝑟 > 𝑎, 则
®
𝐸 (®𝑟) =
𝜎
𝜖
0
𝑎
2
𝑟
2
, 𝑟 > 𝑎
0, 𝑟 < 𝑎
5.7.2 均匀带电球体
®
𝐸 (®𝑟) =
𝜌
3𝜖
0
𝑎
3
𝑟
3
®𝑟, 𝑟 > 𝑎
𝜌
3𝜖
0
®𝑟, 𝑟 < 𝑎
5.7.3 无限大带电平面
®
𝐸 =
+
𝜎
2𝜖
0
ˆ
𝑧, 𝑧 > 0
−
𝜎
2𝜖
0
ˆ
𝑧, 𝑧 < 0
5.7.4 无限大均匀带电细棒
®
𝐸 =
𝜆
2𝜋𝜖
0
𝑠
ˆ
𝑠
5.7.5 法向边值关系
设某曲面上有面电荷分布, 没有奇异电荷 (点电荷, 线电荷), 由高斯定理可以得出, 曲面两侧无限靠近的点
电场的法向分量之差为
ˆ
𝑛 · (
®
𝐸
2
−
®
𝐸
1
) =
𝜎
𝜖
0
高斯定理无法给出面电荷两侧电场切向分量的关系
6 环路定理
6.1 静电场的环量
静电场沿着闭合曲线 𝐶 的环量定义为
Γ =
𝐶
®
𝐸 · 𝑑
®
𝑙
反映静电场是否有旋
线元
𝑑
®
𝑙
的方向由回路
𝐶
的绕行方式决定
物理上, 等于移动单位正电荷静电力做的功
数学上, 该积分称为线积分
6.2 静电场的环路定理
𝐶
®
𝐸 · 𝑑
®
𝑙 = 0
静电场是无旋场
静电力做功由起点和终点决定, 与路径无关, 静电力沿任何闭合曲线做功为零
静电场的无旋性来源于库仑力是有心力的特性, 而不是平方反比律
推论: 静电场的电场线不可能是闭合曲线, 否则沿电场线环量不是零
6.3 环路定理的微分形式
由数学斯托克斯定理
𝐶
®
𝐸 · 𝑑
®
𝑙 =
𝑆
(∇ ×
®
𝐸) · 𝑑
®
𝑆
此式对于任意 𝑆 皆成立, 故环路定理可以写成微分形式
∇ ×
®
𝐸 = 0
直角坐标系下, 该方程表示为
𝜕
𝑦
𝐸
𝑧
= 𝜕
𝑧
𝐸
𝑦
, 𝜕
𝑧
𝐸
𝑥
= 𝜕
𝑥
𝐸
𝑧
, 𝜕
𝑥
𝐸
𝑦
= 𝜕
𝑦
𝐸
𝑥
6.4 切向边值关系
设某曲面上有面电荷分布, 没有奇异电荷, 则与曲面相切的任一方向上, 电场的投影连续, 即
ˆ
𝑛 × (
®
𝐸
2
−
®
𝐸
1
) = 0
面电荷两侧电场的切向分量连续
7 静电势
7.1 电势与电势差
7.1.1 静电势
空间中 ®𝑟 点处 (以 𝑃 为参考点) 的电势定义为
𝜑(®𝑟) = −
𝑃
®𝑟
®
𝐸 · 𝑑
®
𝑙 =
®𝑟
𝑃
®
𝐸 · 𝑑
®
𝑙
电势的单位是焦耳/库仑, 又称伏特
电势等于单位电荷的电势能:𝜑(®𝑟) = 𝑈(®𝑟)/𝑞
0
电势与试探电荷无关, 完全由静电场的性质决定
电势的不确定性:𝜑
0
(®𝑟) = 𝜑(®𝑟) + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
求某点的电势大可以直接用不定积分反正差个常数, 参考点就是使得不定积分等于零的点
7.1.2 电势差
点 1 与点 2 的电势之差称为 1 与 2 的电势差
𝑉
12
= 𝜑
1
− 𝜑
2
=
1
2
®
𝐸 · 𝑑
®
𝑙
电势差与电势具有相同的单位
电势差与参考点的选择无关
电势差又称电势降, 起点减终点
相邻两点的电势差:𝑑𝜑 = 𝜑(®𝑟 + 𝑑
®
𝑙) − 𝜑(®𝑟) = −
®
𝐸 · 𝑑
®
𝑙
7.1.3 等势面
电势为空间坐标的标量函数, 是标量场. 电势的等值面称为等势面
7.1.4 叠加原理
由于电场满足叠加原理, 因而电势应满足叠加原理
总电荷分布 𝜌 = 𝜌
1
+ 𝜌
2
的电势等于 𝜌
1
和 𝜌
2
各自的电势之和
总电场
®
𝐸 =
®
𝐸
1
+
®
𝐸
2
的电势等于
®
𝐸
1
和
®
𝐸
2
各自的电势之和
7.2 局域电荷分布的电势
约定: 对于局域电荷分布, 电势参考点选为 ∞
点电荷的电势为
𝜑®𝑟 =
𝑞
4𝜋𝜖
0
𝑟
由上面点电荷的电势以及叠加原理, 可以给出任意居于电荷分布的电势
7.2.1 点电荷系统的电势
𝜑(®𝑟) =
1
4𝜋𝜖
0
𝑁
𝑘=1
𝑞
𝑘
ℝ
𝑘
7.2.2 连续电荷分布的电势
𝜑(®𝑟) =
1
4𝜋𝜖
0
𝑑𝑞
ℝ
体分布:𝑑𝑞 = 𝜌(®𝑟
0
)𝑑𝑉
0
面分布:𝑑𝑞 = 𝜎(®𝑟
0
)𝑑𝑆
0
线分布:𝑑𝑞 = 𝜆(®𝑟
0
)𝑑𝑙
0
7.2.3 球面球心处
𝜑
0
=
𝑄
4𝜋𝜖
0
𝑎
7.2.4 均匀带电圆环对称轴
𝜑(𝑧) =
𝑄
4𝜋𝜖
0
√
𝑎
2
+ 𝑧
2
7.2.5 均匀带电圆盘对称轴
𝜑(𝑧) =
𝜎
2𝜖
0
𝑎
2
+ 𝑧
2
−
|
𝑧
|
盘心处的电势为 𝜑
0
= 𝜎
𝑎
2𝜖
0
7.2.6 均匀带电圆盘边缘
𝜑 =
𝜎𝑎
𝜋𝜖
0
(二重积分先积哪个比较简单?)
7.2.7 均匀带电球面
𝜑 =
𝜎𝑎
𝜖
0
𝑎
𝑟
, 𝑟 ≥ 𝑎
𝜎𝑎
𝜖
0
, 𝑟 ≤ 𝑎
7.2.8 均匀带电球体
𝜑 =
𝜌𝑎
2
3𝜖
0
3
2
−
1
2
𝑟
2
𝑎
2
, 𝑟 ≥ 𝑎
𝜌𝑎
2
3𝜖
0
𝑎
𝑟
, 𝑟 ≤ 𝑎
7.2.9 无限长均匀带电细棒
𝜑 = −
𝜆
2𝜋𝜖
0
ln 𝑠 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
7.3 电场与电势的关系
对于任意的 𝑑
®
𝑙 都有
𝑑𝜑 = 𝜑(®𝑟 + 𝑑
®
𝑙) − 𝜑(®𝑟) =
−
®
𝐸 ·
®
𝑙
∇𝜑 · 𝑑
®
𝑙
因此
®
𝐸 = −∇𝜑 = −
𝜕𝜑
𝜕𝑛
ˆ
𝑛
电场垂直于等势面, 指向电势下降最快的方向
7.3.1 等势面的性质
1. 一根电场线不可能与同一等势面相交两次或多次
2. 空间某点的电场强度应与该处的等势面垂直
3. 电场强度的大小也可以用等势面的疏密程度来亮度 (要求相邻等势面的电势差为同一常数)
7.3.2 不同电荷分布的等势面
等量异号点电荷: 中垂面电势为 0
不等量异号点电荷: 电势为 0 的面是一个球面
有限长均匀带电细棒: 等势面是以细棒两端点为焦点的旋转椭球面
7.4 电偶极子
图 1: 电偶极子
7.4.1 电偶极子的电势
𝜑(®𝑟) =
𝑞
4𝜋𝜖
0
1
𝑟
+
−
1
𝑟
−
=
𝑞
4𝜋𝜖
0
𝑟
−
−𝑟
+
𝑟
+
𝑟
−
𝑟
−
+𝑟
+
𝑟
−
+𝑟
+
≈
𝑞
4𝜋𝜖
0
2
®
𝑙 · ®𝑟
2𝑟
3
得
𝜑®𝑟 =
®𝑝 · ®𝑟
4𝜋𝜖
0
𝑟
3
=
𝑝 cos 𝜃
4𝜋𝜖
0
𝑟
2
, (𝑟 >> 𝑙)
7.4.2 电偶极子的电场
图 2: 电偶极子球坐标系
球坐标系下
∇𝜑 =
𝜕𝜑
𝜕𝑟
ˆ
𝑟 +
1
𝑟
𝜕𝜑
𝜕𝜃
ˆ
𝜃 +
1
𝑟 sin 𝜃
𝜕𝜑
𝜕Φ
ˆ
Φ
又有
𝜑®𝑟 =
®𝑝 · ®𝑟
4𝜋𝜖
0
𝑟
3
=
𝑝 cos 𝜃
4𝜋𝜖
0
𝑟
2
得
®
𝐸 = −∇𝜑 =
(2𝑝 cos 𝜃)
ˆ
𝑟 + (𝑝 sin 𝜃)
ˆ
𝜃
4𝜋𝜖
0
𝑟
3
也就是
®
𝐸 (®𝑟) =
3
( ®
𝑝
· ®
𝑟
)
ˆ
𝑟 − ®𝑝
4𝜋𝜖
0
𝑟
3
, (𝑟 >> 𝑙)
7.4.3 数学小贴士 (?)
点电荷 𝑞 的电势与电场满足
𝑞
4𝜋𝜖
0
ˆ
𝑟
𝑟
2
− ∇
𝑞
4𝜋𝜖
0
1
𝑟
⇒ ∇
1
𝑟
= −
ˆ
𝑟
𝑟
2
= −
®𝑟
𝑟
3
由梯度的定义有 𝑓 (®𝑟 + ®𝜖) ≈ 𝑓 (®𝑟 + 𝜖 · ∇𝑓 (®𝑟)), 令
𝑓 (®𝑟) =
1
𝑟
, ®𝜖 = −®𝑟
0
𝑓 (®𝑟 − ®𝑟
0
) =
1
|
®𝑟 − ®𝑟
0
|
≈ 𝑓 (®𝑟) − ®𝑟
0
· ∇𝑓 (®𝑟) =
1
𝑟
− ®𝑟
0
· ∇
1
𝑟
=
1
𝑟
− ®𝑟
0
·
−
®𝑟
𝑟
3
⇒
1
ℝ
=
1
|
®𝑟 − ®𝑟
0
|
≈
1
𝑟
+
®𝑟
0
· ®𝑟
𝑟
3
, (𝑟 >> 𝑟
0
)
7.4.4 任意局域电荷分布在远处的电势与电场
局域电荷: 所有的电荷都可以包含在一个半径为 𝑎 的球内
给定的局域电荷在任一点 ®𝑟 处的电荷为 (以球心为原点)
𝜑(®𝑟) =
1
4𝜋𝜖
0
𝑑𝑞
ℝ
=
1
4𝜋𝜖
0
𝑑𝑞
|
®𝑟 − ®𝑟
0
|
在远离电荷的地方, 即 𝑟 >> 𝑎 时, 有
𝜑(®𝑟) ≈
1
4𝜋𝜖
0
1
𝑟
+
®𝑟 · ®𝑟
𝑟
3
𝑑𝑞
=
1
4𝜋𝜖
0
1
𝑟
𝑑𝑞 +
®𝑟
𝑟
3
·
®𝑟
0
𝑑𝑞
考虑主要贡献以及对其主要修正后, 局域电荷在远处的电势可以写为
𝜑(®𝑟) ≈
1
4𝜋𝜖
0
𝑟
+
®𝑝 · ®𝑟
4𝜋𝜖
0
𝑟
3
( 𝑟 >> 𝑎)
带电体的总电量
𝑄 =
𝑑𝑞 →
𝑘
𝑞
𝑘
带电体相对于 𝑂 的电偶极矩为
®𝑝 =
®𝑟𝑑𝑞 →
𝑘
𝑞
𝑘
®𝑟
𝑘
电偶极矩与原点选择有关, 除非 𝑄 = 0
电偶极矩可以叠加
𝐴+𝐵
®𝑟𝑑𝑞 =
𝐴
®𝑟𝑑𝑞 +
𝐵
®𝑟𝑑𝑞 ⇒ ®𝑝
𝐴+𝐵
= ®𝑝
𝐴
+ ®𝑝
𝐵
电偶极矩与电荷的有效中心
定义带电体的正负电荷的有效中心为
®𝑟
±
1
𝑄
±
®𝑟𝑑𝑞
±
由于
𝑝 =
®𝑟𝑑𝑞
+
+
®𝑟𝑑𝑞
−
= 𝑄
+
·
1
𝑄
+
®𝑟𝑑𝑞
+
+𝑄
−
1
𝑄
−
®𝑟𝑑𝑞
−
因此
®𝑝 = 𝑄
+
®𝑟
+
+𝑄
−
®𝑟
−
对于电中性物体,𝑄
+
= −𝑄
−
= 𝑄
0
, 有
®𝑝 = 𝑄
0
(®𝑟
+
− ®𝑟
−
)
7.4.5 任意局域电荷分布激发的电场
总电场 = 点电荷电场 + 电偶极子电场 + 电四极子电场 +...
7.5 电荷分布与电势的关系
描述静电场特性的两个基本方程为
∇ ·
®
𝐸 =
𝜌
𝜖
0
, ∇ ×
®
𝐸 =
®
0
将环路定理确定的关系
®
𝐸 = −∇𝜑 代入高斯定理可得
𝜌
𝜖
0
= ∇ ×
®
𝐸 = ∇ · (−∇𝜑) = − ∇ · (∇𝜑) = −∇
2
𝜑
从而得到泊松方程
∇
2
𝜑 = −
𝜌
𝜖
0
直角坐标系下可以写为
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑥
2
+
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑦
2
+
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑧
2
= −
𝜌
𝜖
0
已知电荷分布, 求解该方程可以得到电势分布
在没有电荷的区域内, 静电势满足拉普拉斯方程
∇
2
𝜑 = 0
直角坐标系下可以写为
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑥
2
+
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑦
2
+
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑧
2
= 0
拉普拉斯算子是一个标量算子
∇
2
= ∇ · ∇ =
𝜕
2
𝜕𝑥
2
+
𝜕
2
𝜕𝑦
2
+
𝜕
2
𝜕𝑧
2
拉普拉斯算子也可以作用与矢量场上, 得到另一个矢量场
8 平均值定理
8.1 电势在球面上的平均值
< 𝜑 > =
1
𝑆
𝑆
𝜑(ℝ)𝑑𝑆
=
1
4𝜋𝑎
2
𝑆
𝑄𝑑𝑆
4𝜋𝜖
0
ℝ
=
𝑆
(𝑄/4𝜋𝑎
2
)𝑑𝑆
4𝜋𝜖
0
ℝ
点电荷 𝑄 的电势在球面上的平均值等于均匀分布有电量 𝑄 的球面在点电荷位置的电势
8.1.1 点电荷在球面外
< 𝜑 >=
𝑄
4𝜋𝜖
0
𝑟
, (𝑟 > 𝑎)
电势平均值等于 𝑄 在球心处产生的电势 𝜑(𝑂)
8.1.2 点电荷在球面内
< 𝜑 >=
𝑄
4𝜋𝜖
0
𝑎
, (𝑟 < 𝑎)
电势平均值等于电量 𝑄 分布于球面上时在球心处产生的电势
8.1.3 电势的平均值定理
任意电荷分布产生的电势在球面上的平均值等于以下两项之和
1. 球外电荷在球心处产生的电势
2. 球内电荷分布于球面上时在球心处产生的电势
< 𝜑 >= 𝜑
外
(𝑂) +
𝑄
内
4𝜋𝜖
0
𝑎
两个推论
1. 在没有电荷存在的三维区域, 电势在球面上的平均值等于球心处的电势
2. 在没有电荷存在的三维区域内部, 电势既无局部极大值, 也无局部极小值; 极大值和极小值只能在区
域边界上取得
8.2 唯一性定理
设区域 𝑉 内的电荷分布已知, 若给定边界 𝑆 = 𝜕𝑉 上各点的电势, 则区域 𝑉 内的电势和电场唯一确定
∇
2
𝜑(®𝑟) = −
𝜌(®𝑟)
𝜖
0
, (®𝑟 ∈ 𝑉)
𝜑(®𝑟) = 𝑓 (®𝑟), (®𝑟 ∈ 𝑉),
⇒ 𝜑(®𝑟), (∀®𝑟 ∈ 𝑉)
证明: 反证法. 设有两个解 𝜑
1
和 𝜑
2
满足条件
∇
2
𝜑
1
(®𝑟) = −
𝜌(®𝑟)
𝜖
0
− ∇
2
𝜑
2
(®𝑟), (®𝑟 ∈ 𝑉)
𝜑
1
(𝑣𝑒𝑐𝑟) = 𝑓 (®𝑟) = 𝜑
2
(®𝑟), (®𝑟 ∈ 𝜕𝑉 )
则二者之差 𝜑 = 𝜑
1
− 𝜑
2
满足
∇
2
𝜑(®𝑟 ∈ 𝑉) = 0, 𝜑(®𝑟 ∈ 𝜕𝑉) = 0
故 𝜑 在内部无极值点, 其极大值与极小值均在边界上取到, 且皆为零, 得内部有 𝜑 ≡ 0, 从而 𝜑
1
= 𝜑
2
□
8.2.1 恩肖定理
只受静电力作用的点电荷不可能处于稳定平衡状态
证明. 点电荷只有在其电势能取极小值处才能稳定平衡
对于正电荷, 要求点电荷所在处的电势取极小值
对于负电荷, 要求点电荷所在处的电势取极大值
但是在点电荷所在处, 并无外部其他电荷, 不可能出现电势的极大值或极小值, 所以点电荷不可能处于稳
定平衡状态 □
8.3 电场在球体内的平均值
<
®
𝐸 > =
1
𝑉
𝑉
®
𝐸 (
®
ℝ)𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝑎
3
/3
𝑉
𝑄
®
ℝ
4𝜋𝜖
0
ℝ
3
𝑑𝑉
= −
𝑉
−
®
ℝ
4𝜋𝜖
0
ℝ
3
𝑄𝑑𝑉
4𝜋𝑎
3
/3
点电荷 𝑄 的电场在球体内的平均值等于均匀分布有电量 𝑄 的球体在点电荷处产生的电场的负值
8.3.1 点电荷在球外
<
®
𝐸 >= −
𝑄®𝑟
4𝜋𝜖
0
𝑡
3
, (𝑟 > 𝑎)
电场平均值等于 𝑄 在球心处产生的电场
®
𝐸 (𝑂)
8.3.2 点电荷在球内
<
®
𝐸 >= −
𝑄®𝑟
4𝜋𝜖
0
𝑎
3
, (𝑟 < 𝑎)
电场平均值等于将 ®𝑝 = 𝑄®𝑟 置于球面上与其相切处时在球心处产生的电场
8.3.3 电场的平均值定理
任意电荷分布产生的电场在球体内的平均值等于以下两项之和
1. 球外电荷在球心处产生的电场
2. 电偶极子 ®𝑝 置于球面上与其相切处时在球心处产生的电场, 其中 ®𝑝 是球内电荷相对于球心的电偶极
矩
<
®
𝐸 >=
®
𝐸 (𝑂) −
®𝑝
4𝜋𝜖
0
𝑎
3
9 电场对电荷的作用
9.1 静电力与静电力矩
某个带电体之外的其他电荷激发的电场称为外场, 记作
®
𝐸
𝑒
则外电场对带电体施加的作用力为
®
𝐹 =
®
𝐸
𝑒
𝑑𝑞
外电场对带电体施加的力矩 (相对于某个给定点 O)
®
𝜏
=
®
𝑟
×
®
𝐸
𝑒
𝑑𝑞
点电荷系统受到的静电力和静电力矩
®
𝐹 =
𝑞
𝑘
®
𝐸
𝑒
(®𝑟
𝑘
) , ®𝜏 =
®𝑟
𝑘
× 𝑞
𝑘
®
𝐸
𝑒
(®𝑟
𝑘
)
连续电荷分布受到的静电力和静电力矩
®
𝐹 =
®
𝐸
𝑒
𝑑𝑞 , ®𝜏 =
®𝑟 ×
®
𝐸
𝑒
𝑑𝑞
9.2 外场中的电偶极子
9.2.1 电偶极子受到的静电力
电偶极子所受静电力的 𝑥 分量为
𝐹
𝑥
= 𝑞𝐸
𝑒𝑥
(®𝑟
+
) − 𝑞𝐸
𝑒𝑥
(®𝑟
−
)
= 𝑞
𝐸
𝑒𝑥
®𝑟 +
1
2
®
𝑙
− 𝑞𝐸
𝑒𝑥
®𝑟 −
1
2
®
𝑙
≈ 𝑞
®
𝑙 · ∇𝐸
𝑒𝑥
(®𝑟)
≈ ®𝑝 · ∇
⇒
®
𝐹 = ( ®𝑝 · ∇)
®
𝐸
𝑒
= ( ®𝑝 · ∇𝐸
𝑒𝑥
)
ˆ
𝑥 + ( ®𝑝 · ∇𝐸
𝑒𝑦
)
ˆ
𝑦 + ( ®𝑝 · ∇)
ˆ
𝑧
= 𝑝
𝑥
𝜕
𝑥
®
𝐸
𝑒
+ 𝑝
𝑦
𝜕
𝑦
®
𝐸
𝑒
+ 𝑝
𝑧
𝜕
𝑧
®
𝐸
𝑒
该力不是由于电场而是由于电场的不均匀性造成的, 称为梯度力
9.2.2 电偶极子受到的静电力矩 (相对 O 点)
®𝜏 = ®𝑟
+
× 𝑞
®
𝐸
𝑒
(®𝑟
+
) − ®𝑟
−
× 𝑞
®
𝐸
𝑒
(®𝑟
−
)
= ®𝑟 × 𝑞 [
®
𝐸
𝑒
(®𝑟
+
) −
®
𝐸
𝑒
(®𝑟
−
)] +
1
2
®
𝑙 × 𝑞 [
®
𝐸
𝑒
(®𝑟
+
) +
®
𝐸
𝑒
(®𝑟
−
)]
得到
⇒ ®𝜏 = ®𝑟 ×
®
𝐹 + ®𝑝 ×
®
𝐸
𝑒
则相对于电偶极子中心的力矩为
®𝜏 = ®𝑝 ×
®
𝐸
𝑒
电偶极子有沿外场方向排列的趋势 (能量最小)
在均匀外场中
®
𝐹 = 0, 故 ®𝜏 = ®𝑝 ×
®
𝐸
𝑒
, 与原点选择无关
9.3 体电荷受力
空间任一点的总电场
®
𝐸 可以视为三部分叠加: 外场
®
𝐸
𝑒
, 电荷元 𝜌𝛿𝑉 产生的电场, 体电荷上其他电荷产生
的电场
®
𝐸
0
𝑉
®
𝐸 =
®
𝐸
𝑒
+
®
𝐸
𝑉
+
®
𝐸
0
𝑉
由牛顿第三定律, 被积函数中的
®
𝐸
𝑒
可替换为
®
𝐸
0
=
®
𝐸
𝑒
+
®
𝐸
0
𝑉
由于 𝜌Δ𝑉 在自身处产生的电场趋于零, 因而
®
𝐸
0
=
®
𝐸
®
𝐹 =
𝑉
𝜌
®
𝐸
𝑒
𝑑𝑉 =
𝑉
𝜌
®
𝐸𝑑𝑉
𝜌
®
𝐸
𝑒
𝑑𝑉 → 电荷元受到外场的作用力
𝜌
®
𝐸𝑑𝑉 → 电荷元实际受到的静电作用力
静电力密度: 单位体积电荷受到的静电力
®
𝑓 = 𝜌
®
𝐸
9.4 面电荷受力
空间中任一点的总电场
®
𝐸 可视为三部分叠加: 外场
®
𝐸
𝑒
, 电荷元 𝜎𝛿𝑉 产生的电场, 曲面上其他电荷产生的
电场
®
𝐸
0
𝑆
®
𝐸 =
®
𝐸
𝑒
+
®
𝐸
𝑆
+
®
𝐸
0
𝑆
由牛顿第三定律, 被积函数中
®
𝐸
𝑒
可替换为
®
𝐸
0
=
®
𝐸
𝑒
由于
®
𝐸
0
在 Δ𝑆 处连续, 因而
®
𝐸
0
=<
®
𝐸
0
>
由于 <
®
𝐸
𝑆
>= 0, 因而 <
®
𝐸
0
>=<
®
𝐸
0
+
®
𝐸
𝑆
>=<
®
𝐸 >=
1
2
(
®
𝐸
1
+
®
𝐸
2
)
®
𝐹 =
𝑆
𝜎
®
𝐸
𝑒
𝑑𝑆 =
𝑆
𝜎 <
®
𝐸 > 𝑑𝑆
𝜎
®
𝐸
𝑒
𝑑𝑆 → 电荷元受到外场的作用力
𝜎 <
®
𝐸 > 𝑑𝑆 → 电荷元实际受到的静电作用力
静电压力 (压强)
𝑝 = 𝜎
ˆ
𝑛· <
®
𝐸 >
