电磁数学补充
目录
1 向量叉乘 2
2 向量微分 2
3 常用矢量 2
3.1 线元 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 面元 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.3 偏导数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.4 标量场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.5 标量场的梯度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.6 梯度的几何意义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.7 梯度积分基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 矢量场 4
4.1 矢量场的散度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.1.1 使用矢量场的通量定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.1.2 散度积分的基本定理 (高斯定理) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2 矢量场的旋度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2.1 使用矢量场的环量定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2.2 旋度积分的基本定理（斯托克斯定理） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5
平面角与立体角
5
5.1 平面角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.2 立体角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1
1 向量叉乘
(
®
𝐴 ×
®
𝐵) ×
®
𝐶 = (
®
𝐴 ·
®
𝐶)
®
𝐵 − (
®
𝐵 ·
®
𝐶)
®
𝐴
®
𝐶 × (
®
𝐴 ×
®
𝐵) = (
®
𝐶 ·
®
𝐵)
®
𝐴 − (
®
𝐶 ·
®
𝐴)
®
𝐵
向量混合积, 数值上等于 ± 体积
(
®
𝐴 ×
®
𝐵) ·
®
𝐶 =
𝐴
𝑥
𝐴
𝑦
𝐴
𝑧
𝐵
𝑥
𝐵
𝑦
𝐵
𝑧
𝐶
𝑥
𝐶
𝑦
𝐶
𝑧
混合积可以轮换
(
®
𝐴 ×
®
𝐵) ·
®
𝐶 = (
®
𝐵 ×
®
𝐶) ·
®
𝐴 = (
®
𝐶 ×
®
𝐴) ·
®
𝐵
2 向量微分
数乘
𝑑
𝑑𝑡
( 𝑓
®
𝐴) =
𝑑𝑓
𝑑𝑡
®
𝐴 + 𝑓
𝑑
®
𝐴
𝑑𝑡
点乘
𝑑
𝑑𝑡
(
®
𝐴 ·
®
𝐵) =
𝑑
®
𝐴
𝑑𝑡
·
®
𝐵 +
𝑑
®
𝐵
𝑑𝑡
·
®
𝐴
则有
𝑑(
®
𝐴
2
) = 2
®
𝐴𝑑
®
𝐴 = 2𝐴𝑑𝐴 ⇒
®
𝐴𝑑
®
𝐴 = 𝐴𝑑𝐴
说明矢量大小不变时 𝑑
®
𝐴 ⊥
®
𝐴, 只能改变方向
|
®
𝐴(𝑡)| = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⇔
𝑑
®
𝐴
𝑑𝑡
= ®𝜔 ×
®
𝐴 ⊥
®
𝐴
叉乘 (要保持顺序相同)
𝑑
𝑑𝑡
(
®
𝐴 ×
®
𝐵) =
𝑑
®
𝐴
𝑑𝑡
×
®
𝐵 +
®
𝐴 ×
𝑑
®
𝐵
𝑑𝑡
则有
𝑑
®
𝐴
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝐴
®
𝐴) =
𝑑𝐴
𝑑𝑡
ˆ
𝐴 + 𝐴
𝑑
ˆ
𝐴
𝑑𝑡
=
𝑑𝐴
𝑑𝑡
ˆ
𝐴 + ®𝜔 ×
®
𝐴
3 常用矢量
3.1 线元
曲线上无限靠近两点之间的相对位矢
1. 线元沿着曲线的切线方向
2. 约定起点和终点后，开曲线上各线元的方向唯一确定
3. 约定绕行方向后，闭曲线上各线元的方向唯一确定
3.2 面元
𝑑®𝑠 =
ˆ
𝑛𝑑𝑠 = (𝑛
𝑥
𝑑𝑠)
ˆ
𝑥 + (𝑛
𝑦
𝑑𝑠)
ˆ
𝑦 + (𝑛
𝑧
𝑑𝑠)
ˆ
𝑧
方向沿法线方向，开曲面上各点的法向可以任意约定 (要求连续变化),𝜕𝑠 表示 𝑠 的边界如果规定了绕行
方向, 面元的方向遵循右手定则. 闭曲面以向外法向作为面元方向
3.3 偏导数
𝜕𝜑
𝜕𝑥
= lim
𝑥→0
𝜑(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧)
Δ𝑥
= 𝜕
𝑥
𝜑
表示 ®𝑟 处沿 𝑥 轴的变化率 (𝑦𝑧 同) 偏导数满足莱布尼茨法则和链式法则
3.4 标量场
在空间每点都指定了唯一的标量
𝜑 = 𝜑(®𝑟) = 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧)
等值面
𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
三位标量场在任一点附近等值面可以视为平行平面, 二维则为平行直线沿着等值线/等值面法向标量场变
化最快
3.5 标量场的梯度
𝑑𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕𝜑
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝜑
𝜕𝑦
𝑑𝑦 +
𝜕𝜑
𝜕𝑧
𝑑𝑧
=
𝜕𝜑
𝜕𝑥
ˆ
𝑥 +
𝜕𝜑
𝜕𝑦
ˆ
𝑦 +
𝜕𝜑
𝜕𝑧
ˆ
𝑧
· (𝑑𝑥
ˆ
𝑥 + 𝑑𝑦
ˆ
𝑦 + 𝑑𝑧
ˆ
𝑧)
梯度算子
∇ =
ˆ
𝑥
𝜕
𝜕𝑥
+
ˆ
𝑦
𝜕
𝜕𝑦
+
ˆ
𝑧
𝜕
𝜕𝑧
=
ˆ
𝑥𝜕
𝑥
+
ˆ
𝑦𝜕
𝑦
+
ˆ
𝑧𝜕
𝑧
直角坐标下 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) 的梯度
∇𝜑 =
𝜕𝜑
𝜕𝑥
ˆ
𝑥 +
𝜕𝜑
𝜕𝑦
ˆ
𝑦 +
𝜕𝜑
𝜕𝑧
ˆ
𝑧
𝑑𝜑(®𝑟) = 𝜑(®𝑟 + 𝑑
®
𝑙) − 𝜑(®𝑟) = ∇𝜑 · 𝑑
®
𝑙
若某点 ∇𝜑(𝑃) = 0, 𝑃 为驻值点, 附近小偏移在一阶近似下不会引起标量场的任何改变 梯度积分基本定理
𝑑𝜑 = ∇𝜑 · 𝑑
®
𝑙 ⇒
®𝑟
2
®𝑟
1
∇𝜑 · 𝑑
®
𝑙 = 𝜑(®𝑟
2
) − 𝜑(®𝑟
1
)
给定标量场中
𝑐
∇𝜑 · 𝑑
®
𝑙 = 0
3.6 梯度的几何意义
𝑑𝜑 = |∇𝜑||𝑑𝑙| cos 𝜃
𝜃 = 0 时 𝑑𝜑 最大, 梯度指向 𝜑 增长最快的方向, 垂直于等值面
∇𝜑 =
𝜕𝜑
𝜕𝑛
·
ˆ
𝑛
3.7 梯度积分基本定理
𝑄
𝑃
∇𝜑 · 𝑑
®
𝑙 = 𝜑(𝑄) − 𝜑(𝑃)
4 矢量场
®
𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
ˆ
𝑥𝐹
𝑥
+
ˆ
𝑦𝐹
𝑦
+
ˆ
𝑧𝐹
𝑧
4.1 矢量场的散度
矢量场
®
𝐹 (®𝑟) 的散度是一个标量场
∇ ·
®
𝐹 = 𝜕
𝑥
𝐹
𝑥
+ 𝜕
𝑦
𝐹
𝑦
+ 𝜕
𝑧
𝐹
𝑧
散度量度矢量场
®
𝐹 (®𝑟) 在 ®𝑟 点附近是否发散或汇聚若 ∇ ·
®
𝐹 处处为零, 称为无源场, 否则称为有源场 (静电
场是有源场)
4.1.1 使用矢量场的通量定义
®
𝐹 (®𝑟) 穿过闭曲面 𝑠 的通量
𝜙
𝐹
=
𝑠
®
𝐹 · 𝑑®𝑠
对任意闭曲面均有 𝜙 = 0 则称为无源场, 存在一个 𝑠 使得 𝜙 ≠ 0 则称为有源场将曲面切成两块可得
𝑠
®
𝐹 · 𝑑®𝑠 =
𝑠
1
®
𝐹 · 𝑑®𝑠 +
𝑠
2
®
𝐹 · 𝑑®𝑠
进而可得切成 𝑛 块
𝜙 =
𝑁
𝑘
=
1
𝑉
𝑘
1
𝑉
𝑘
𝑠
𝑘
®
𝐹 · 𝑑®𝑠
𝑉
𝑘
→ 0 时
𝑉
𝑘
=
𝑑𝑣
1
𝑉
𝑘
𝑠
𝑘
®
𝐹 · 𝑑𝑠 = ∇ ·
®
𝐹
(设想正方体情形可证)
4.1.2 散度积分的基本定理 (高斯定理)
𝑆
®
𝐹 · 𝑑®𝑠 =
𝑉
(∇ ·
®
𝐹)𝑑𝑉 ⇒
®
𝐹 · 𝑑®𝑠 = 0(∀𝑠) ⇔ ∇ ·
®
𝐹 (®𝑟) = 0(∀𝐹)
4.2 矢量场的旋度
矢量场的旋度是矢量场
∇ ×
®
𝐹 =
ˆ
𝑥
ˆ
𝑦
ˆ
𝑥
𝜕
𝑥
𝜕
𝑦
𝜕
𝑧
𝐹
𝑥
𝐹
𝑦
𝐹
𝑧
若 ∇ ×
®
𝐹 处处为零称为无旋场, 否则称为有旋场
4.2.1 使用矢量场的环量定义
Γ
𝑣
= lim
Δ𝑙→0
®𝑣 · 𝑑
®
𝑙 =
𝑐
𝑣 cos 𝜃𝑑𝑙
若 Γ > 0, 沿着 𝑐 正方向转动,< 0 则沿着负方向若对于 ∀ 闭曲线均有 Γ
𝐹
= 0, 则无旋场，反之则有旋场将
闭曲线所围区域分为两段，新的边上新增环量相互抵消，则有
𝑐
®
𝐹 · 𝑑
®
𝑙 =
𝑐
1
®
𝐹 · 𝑑
®
𝑙 +
𝑐
2
®
𝐹 · 𝑑
®
𝑙
分割 ++，则
Γ =
Γ
𝑘
=
𝑐
𝑘
®
𝐹 · 𝑑
®
𝑙 =
𝑆
𝑘
[
1
𝑆
𝑘
𝑐
𝑘
®
𝐹
·
𝑑
®
𝑙
]
由正方体情形可得
ˆ
𝑛 · (∇ ×
®
𝐹) = lim
𝑆→0
[
1
𝑆
𝑆
®
𝐹 · 𝑑
®
𝑙]
4.2.2 旋度积分的基本定理（斯托克斯定理）
Γ =
𝐶
®
𝐹 · 𝑑
®
𝑙 =
𝑆
(∇ ×
®
𝐹) · 𝑑
®
𝑆 ⇒
𝑐
®
𝐹 · 𝑑
®
𝑙 = 0(∀𝑐) ⇔ ∇ ×
®
𝐹 (®𝑟) = 0(∀ ®𝑟)
5 平面角与立体角
5.1 平面角
曲线相对于 𝑂 所张的角度，数值上等于相应的单位圆弧的长度平面角元:𝑑 𝜃 =
𝑑𝑙
⊥
𝑟
=
𝑑𝑙 cos 𝜃
𝑟
, 𝜃 =
𝑐
𝑑𝜃 闭曲
线相对于内部一点所张的平面角为 2𝜋, 外部为 0, 直线为 𝜋
5.2 立体角
曲面相对于 𝑂 所张的角度，数值上等于相应的单位半径球面的面积立体角元:dΩ =
𝑑𝑆
⊥
𝑟
2
=
𝑑𝑆 cos 𝜃
𝑟
2
=
ˆ
𝑟 ·𝑑
®
𝑆
𝑟
2
, Ω =
𝑆
𝑑Ω 面元法向选择不同差一个符号，但闭曲面面元方向已定闭曲面相对于点 𝑂 立体角为
Ω =
𝑆
ˆ
𝑟
𝑟
2
· 𝑑
®
𝑆
为平方反比矢量场
®
𝐹 =
ˆ
𝑟
𝑟
2
穿过闭曲面的通量
Ω =
4𝜋, O 在 S 内
0, O 在 S 外
