14 A-B 效应 10
15 超导体的电磁性质 10
15.1 Meissner 效应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
15.2 理想导体欧姆定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
15.3 理想导体中的磁通冻结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
15.4 超导现象的二流体唯象理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
15.5 伦敦第一方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
15.6 伦敦第二方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
15.7 超导体电磁性质方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
15.8 超导体表面电流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
15.9 超导体是完全抗磁体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1 磁矢势
当系统不随时间变化时,
𝜕
𝜕𝑡
= 0, 电场, 磁场可以分离
∇ × H = J
∇ · B = 0
+ H ≡ H (B) ⇒ B (𝑥, 𝑦, 𝑧)
静磁场是无源场, 可以引入磁矢势 A(𝑥, 𝑦, 𝑧)
B = ∇ × A
写成积分就是
∬
𝑆
B · 𝑑S =
∮
𝐿
A · 𝑑l
磁矢势沿闭合曲线的环量代表通过该回路围成的曲面上的磁通量
矢势是不唯一的, 若 A 为 B 的矢势, 则 A + ∇𝜓 也可以是 B 的矢势
∇ × (A + ∇𝜓) = ∇ × A = B
需要对矢势做出一些限制, 称为规范
∇ · A = 0
称为库伦规范. 若 ∇ · A = 𝑢, 那么构造
A
′
= A + ∇𝜓
其中 ∇
2
𝜓 = −𝑢 即可使新的矢势满足库伦规范
2 矢势的微分方程
对各向同性的线性介质有
B = 𝜇H , ∇ × H = J
代入磁矢势有
∇ ×
1
𝜇
∇ × A
= J
若是均匀介质 𝜇 为常数, 则有
∇ × (∇ × A) = 𝜇J
或者
∇(∇ · A) − ∇
2
A = 𝜇J
采用库伦规范时 (∇ · A = 0)
∇
2
A = 𝜇J
它等效为三个泊松方程
∇
2
𝐴
𝑥
= −𝜇𝐽
𝑥
∇
2
𝐴
𝑦
= −𝜇𝐽
𝑦
∇
2
𝐴
𝑧
= −𝜇𝐽
𝑧
类比电荷, 有特解
A(X) =
𝜇
4𝜋
∭
𝑉
J (X
′
)
𝑟
𝑑𝑉
′
3 矢势的边值关系
磁场的边值关系
ˆ
𝑛 · (B
2
− B
1
),
ˆ
𝑛 × (H
2
− H
1
) = K
代入矢势得到
ˆ
𝑛 · (∇ × A
2
− ∇ × A
1
) = 0,
ˆ
𝑛 ×
1
𝜇
2
∇ × A
2
−
1
𝜇
1
∇ × A
1
= K
实际上有更强的条件可以替代
ˆ
𝑛 × (A
2
− A
1
) = 0,
ˆ
𝑛 · (A
2
− A
1
) = 0
这是因为
ˆ
𝑛 · (∇ × A
2
− ∇ × A
1
) =
𝜕 𝐴
𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕 𝐴
𝑥
𝜕𝑦
2
−
𝜕 𝐴
𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕 𝐴
𝑥
𝜕𝑦
1
=
𝜕
𝜕𝑥
(𝐴
𝑦2
− 𝐴
𝑦1
) −
𝜕
𝜕𝑦
(𝐴
𝑥2
− 𝐴
𝑥1
) = 0
但是矢势的连续与磁场切向是否连续不矛盾, 因为 A 连续不代表
𝜕 𝐴
𝑥
𝜕𝑧
,
𝜕 𝐴
𝑦
𝜕𝑧
连续
4 静磁场的能量
静磁场的能量
𝑊 =
1
2
∭
∞
B · H 𝑑𝑉 =
1
2
∭
∞
(∇ × A) · H 𝑑𝑉
利用矢势改写 B
𝑊 =
1
2
∰
∞
(A × H) · 𝑑S +
∭
∞
A · J 𝑑𝑉
第一项是一阶无穷小, 那么
𝑊 =
∭
∞
A · J 𝑑𝑉
4.1 外场中电流系统的能量
考察两个电流系统, 电流分布分别为 J
1
, J
2
, 产生的矢势分别为 A
1
, A
2
, 则两个体系的相互作用能定义
为
𝑊
12
≡ 𝑊
0
−𝑊
1
−𝑊
2
那么
𝑊 =
1
2
∭
∞
(J
1
+ J
2
) · (A
1
+ A
2
)𝑑𝑉 −
1
2
∭
∞
J
1
· A
1
𝑑𝑉 +
∭
∞
J
2
· A
2
𝑑𝑉
因而
𝑊
12
=
1
2
(J
1
· A
2
J
2
· A
1
)𝑑𝑉
电流系统与外磁场的相互作用能
𝑊 =
∭
𝑉
J · A
e
𝑑𝑉
5 磁标势
对自由电流为零的区域
∇ × H = 0
∇ · B = 0
+ B = 𝜇
0
(H + M ) = 𝑓 (H)
⇒
∇ × H = 0
∇ · H = − ∇ · M ≡
𝜌
𝑚
𝜇
0
由此定义” 磁荷密度”
𝜌
𝑚
≡ −𝜇
0
∇ · M
对于自由电流为零的区域, 同时对区域内任何环路
∮
𝐿
H · 𝑑l = 0
引入磁标势 𝜑
𝑚
6 静磁场与静电场的对比
静电场 静磁场
∇ × E = 0 ∇H = 0
∇ · E =
1
𝜖
0
(𝜌
𝑓
+ 𝜌
𝑃
) ∇ · H =
1
𝜇
0
𝜌
𝑚
𝜌
𝑃
= −∇ · P 𝜌
𝑚
= −𝜇
0
∇ · M
D = 𝜖
0
E + P B = 𝜇
0
H + 𝜇
0
M
E = −∇ 𝜑 H = −∇𝜑
𝑚
除了无自由磁荷外, 与静电场完全相同
7 简单情况下的矢势
均匀磁场 B = 𝐵
0
ˆ
𝑧 的矢势, 在柱坐标下
1
𝑟
𝜕 𝐴
𝑧
𝜕𝜃
−
𝜕 𝐴
𝜃
𝜕𝑧
= 0,
𝜕 𝐴
𝑟
𝜕𝑧
−
𝜕 𝐴
𝑧
𝜕𝑟
= 0,
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟 𝐴
𝜃
) −
𝜕 𝐴
𝑟
𝜕𝜃
= 𝐵
0
取 𝐴
𝑟
= 𝐴
𝑧
= 0, 那么
𝜕 𝐴
𝜃
𝜕𝑧
= 0,
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟 𝐴
𝜃
) = 𝑟 𝐵
0
得到
𝐴
𝑟
= 𝐴
𝑧
= 0, 𝐴
𝜃
=
1
2
𝐵
0
𝑟
一般情形下
A =
1
2
B × r
无限长导线产生磁场的矢势, 在柱坐标下
1
𝑟
𝜕 𝐴
𝑧
𝜕𝜃
−
𝜕 𝐴𝜃
𝜕𝑧
= 0,
𝜕 𝐴
𝑟
𝜕𝑧
−
𝜕 𝐴
𝑧
𝜕𝑟
=
𝜇
0
𝐼
2𝜋𝑟
,
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟 𝐴
𝜃
−
𝜕 𝐴
𝑟
𝜕𝜃
)
= 0
取 𝐴
𝑟
= 𝐴
𝜃
= 0, 得到
𝜕 𝐴
𝑧
𝜕𝜃
= 0,
𝜕 𝐴
𝑧
𝜕𝑟
= −
𝜇
0
𝐼
2𝜋𝑟
得到
𝐴
𝑟
= 𝐴
𝜃
= 0, 𝐴
𝑧
= −
𝜇
0
𝐼
2𝜋
ln
𝑟
𝑟
0
8 磁单极子矢势解
采用球坐标
∇ × A = B =
𝑞
𝑚
4𝜋
r
𝑟
3
那么
1
𝑟 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
(sin 𝜃𝐴
𝜙
) −
𝜕 𝐴
𝜃
𝜕𝜙
=
𝑞
𝑚
4𝜋𝑟
2
1
𝑟
1
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜕 𝐴
𝑟
𝜕𝜙
−
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟 𝐴
𝜙
)
= 0,
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟 𝐴
𝜙
) −
𝜕 𝐴
𝑟
𝜕𝜃
= 0
取 𝐴
𝑟
= 𝐴
𝜃
= 0
𝜕
𝜕𝜃
(sin 𝜃𝐴
𝜙
) =
𝑞
𝑚
4𝜋
sin 𝜃
𝑟
,
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟 𝐴
𝜙
) = 0
得到
𝐴
𝜙
=
𝑓 (𝜃)
𝑟
,
𝜕
𝜕𝜃
(sin 𝜃 𝑓 (𝜃)) =
𝑞
𝑚
4𝜋
sin 𝜃
那么
𝑓 (𝜃) =
𝑞
𝑚
4𝜋
(1 − cos 𝜃)
sin 𝜃
9 奇异弦势
𝐴
𝑟
= 𝐴
𝜃
= 0, 𝐴
𝜙
𝑞
𝑚
4𝜋
1 − cos 𝜃
sin 𝜃
⇒ ∇ × A =
𝑞
𝑚
4𝜋
r
𝑟
3
+ B
h
其中 B
h
是奇异区域的奇异场
B
h
≡ 𝑞
𝑚
𝛿(𝑥)𝛿(𝑦)ℎ(−𝑧)
ˆ
𝑧
那么
∮
𝐿
A · 𝑑l =
∫
2 𝜋
0
𝐴
𝜙
𝑟 sin 𝜃𝑑𝜙 =
𝑞
𝑚
2
(1 − cos 𝜃) → 𝑞
𝑚
利用 Stokes 定理得到
∮
𝐿
A · 𝑑l =
∬
𝑆
(∇ × A) · 𝑑S =
∬
h
𝑞
𝑚
4𝜋
r
𝑟
3
+ B
h
i
· 𝑑S → 𝑞
𝑚
除去非物理的奇异部分, 磁单极子场为
B = ∇ × A − B
h
∇ · B = ∇ · (∇ × A) − ∇ · B
h
= −∇ · B
h
= 𝑞
𝑚
𝛿(𝑥)𝛿(𝑦)𝛿(𝑧) = 𝑞
𝑚
𝛿(r)
10 电流系统在远处的矢势
若电流分布在有限的空间, 空间的线度为 𝑙, 则该电流分布对空间较远处 𝑟 产生的场, 可以按照小量
𝑙
𝑟
展
开
A(X) =
𝜇
0
4𝜋
∭
𝑉
J (X
′
)
𝑟
𝑑𝑉
′
记
𝑟 ≡
X − X
′
, 𝑅 ≡ X, 𝑟
′
≡
X
′
将 𝑟 在 X
′
= 0 处展开
1
𝑟
=
1
𝑅
−
3
Õ
𝑖=1
𝑥
′
𝑖
𝜕
𝜕𝑥
′
𝑖
1
𝑅
+
1
2!
3
Õ
𝑖, 𝑗=1
𝑥
′
𝑖
𝑥
′
𝑗
𝜕
2
𝜕𝑥
′
𝑖
𝜕𝑥
′
𝑗
1
𝑅
+ ···
那么
A(X) ≡ A
(0)
+ A
(1)
+ ···
其中
A
(0)
≡
𝜇
0
4𝜋
∭
𝑉
J (X
′
)
𝑅
𝑑𝑉
′
=
𝜇
0
4𝜋𝑅
∭
𝑉
J (X
′
)𝑑𝑉
′
= 0
这是因为电流可以分成电流环的叠加
A
(1)
≡ −
𝜇
0
4𝜋
∭
𝑉
J (X
′
)
3
Õ
𝑖=1
𝑥
′
𝑖
𝜕
𝜕𝑥
𝑖
1
𝑅
𝑑𝑉
′
= −
𝜇
0
4𝜋
∭
𝑉
J (X
′
)X
′
· ∇
1
𝑅
𝑑𝑉
′
= −
𝜇
0
4𝜋
Õ
𝑖
∮
𝐿
𝑖
𝐼
𝑖
𝑑l
′
"
X
′
· ∇
1
𝑅
𝑖
#
=
𝜇
0
4𝜋𝑅
3
Õ
𝑖
∮
𝐿
𝑖
𝑑l
′
(X
′
· R) =
𝜇
0
4𝜋𝑅
3
Õ
𝑖
𝐼
𝑖
∮
𝐿
𝑖
𝑑X
′
(X
′
· R)
考虑
0 =
∮
𝐿
𝑑[X
′
(X
′
· R)] =
∮
𝐿
(X
′
· R)𝑑X
′
+
∮
𝐿
X
′
(𝑑X
′
· R)
∮
𝐿
(X
′
× 𝑑X
′
) × R
=
∮
𝐿
(X
′
· R)𝑑X
′
−
∮
𝐿
X
′
(𝑑X
′
· R)
相加得到
∮
𝐿
(X
′
· R)𝑑X
′
=
1
2
∮
𝐿
(X
′
× 𝑑X
′
) × R
那么上述积分就变为
A
(1)
=
𝜇
0
4𝜋𝑅
3
Õ
𝑖
1
2
𝐼
𝑖
∮
𝐿
𝑖
(X
′
× 𝑑X
′
) × R =
𝜇
0
4𝜋
1
2
∭
𝑉
X
′
× J (X
′
)𝑑𝑉
′
×
R
𝑅
3
≡ 𝜇
0
m ×
R
𝑅
3
其中 m 称为磁偶极矩, 定义为
m ≡
1
2
∭
𝑉
X
′
× J (X
′
)𝑑𝑉
′
磁偶极子的场
A =
𝜇
0
4𝜋
m ×
R
𝑅
3
B = ∇ × A =
𝜇
0
4𝜋
∇ ×
m ×
R
𝑅
3
=
𝜇
0
4𝜋
m
∇ ·
R
𝑅
3
− (m · ∇)
R
𝑅
3
= −
𝜇
0
4𝜋
(m · ∇)
R
𝑅
3
= −
𝜇
0
4𝜋
∇
m · R
𝑅
3
又由于
B ≡ −𝜇
0
∇𝜑
𝑚
那么磁偶极子具有磁标势
𝜑
𝑚
≡
m · R
4𝜋𝑅
3
11 电流环的磁偶极矩
对于电流环
m =
𝐼
2
∮
𝐿
X
′
× 𝑑X
′
= 𝐼ΔS
电流环在远处产生的场可以用偶极子近似
B = −𝜇
0
∇𝜑
𝑚
= −
𝜇
0
4𝜋
∇
m · R
𝑅
3
电流环在近处产生的场可以用一个个小的电流环组合近似
𝜑
𝑚
=
∬
𝑆
𝐼R
4𝜋𝑅
3
· 𝑑S =
𝐼
4𝜋
Ω
电流环张角的梯度就是磁场
B = −𝜇
0
∇𝜑
𝑚
= −
𝜇
0
𝐼
4𝜋
∇Ω
12 小区域电流分布与外场的相互作用能
电流分布与外场中的相互作用能
𝑊 =
∭
𝑉
J · J
𝑒
𝑑𝑉
电流环与外场中的相互作用能量
𝑊 = 𝐼
∮
𝐿
A
𝑒
· 𝑑l = 𝐼
∬
𝑆
B
𝑒
· S = 𝐼Φ
小区域电流分布与外场中的相互作用能量
𝑊 =
Õ
𝑖
𝐼
𝑖
∮
𝐿
𝑖
A
e
· 𝑑l =
Õ
𝑖
𝐼
𝑖
∬
𝑆
B · 𝑑S ≈
Õ
𝑖
𝐼
𝑖
∬
𝑆
B
e
(0) · 𝑑S = B
e
(0) ·
Õ
𝑖
𝐼
𝑖
∬
𝑆
𝑑S = m · B
e
(0)
13 外场中磁偶极子的等效势能
两电流环相互作用能
𝑊 =
1
2
∭
𝑉
(J · A
𝑒
+ J
e
· A)𝑑𝑉 =
1
2
(𝐼Φ
𝑒
+ 𝐼
𝑒
Φ)
那么
𝛿𝑊 =
1
2
(𝛿𝐼Φ
𝑒
+ 𝛿𝐼
𝑒
Φ + 𝐼𝛿Φ
𝑒
+ 𝐼
𝑒
𝛿Φ)
由于电流是不变的, 那么
𝛿𝑊 =
1
2
(𝐼𝛿Φ
𝑒
+ 𝐼
𝑒
𝛿Φ)
磁通变化会产生感生电动势, 它做的负功为
𝛿𝑊
𝑖
= −
𝑑Φ
𝑒
𝑑𝑡
𝛿𝑡 − 𝐼
𝑒
dΦ
d𝑡
𝛿𝑡 = −𝐼𝛿Φ
𝑒
− 𝐼
𝑒
𝛿Φ = −2𝛿𝑊
要维持电流不变, 需要外部电源抵消感生电动势做功
𝛿𝑊
𝑠
= −𝛿𝑊
𝑖
= 2𝛿𝑊
这不是一个孤立体系
外界能量输入 = 磁能增加 + 电流环运动动能
即
𝛿𝑊
𝑠
= 𝛿𝑊 + 𝛿 𝐴
那么等效势能
𝛿𝑉 = −𝛿 𝐴 = 𝛿𝑊 − 𝛿𝑊
𝑠
= −𝛿𝑊
那么外场中的偶极子受力
F = −∇𝑉 = − ∇(m · B
e
) = m × (∇ × B
e
) + (m)
14 A-B 效应
15 超导体的电磁性质
超导电性: 电阻率为零, 电导率为无穷大
𝜎 → ∞
当温度下降到某临界温度之下, 物质的电阻率突然下降至零, 对于汞而言
𝑇
𝑐
= 4.2𝐾
临界温度与外加磁场有关
𝐻
𝑐
= 𝐻
𝑐
(0)
1 −
𝑇
2
𝑇
2
𝑐
15.1 Meissner 效应
超导体内部磁感应强度为零. 与外加磁场的过程无关, 若物质内部有磁场, 则进入超导相后磁场排出
Meissner 效应与超导电性是相互独立的效应
15.2 理想导体欧姆定律
在电磁场中运动的理想导体, 欧姆定律为
J = 𝜎(E + u × B)
那么 𝜎 → ∞
E + u × B = 0
15.3 理想导体中的磁通冻结
理想导体中任一回路包围的磁通变化
dΦ
d𝑡
=
d
d𝑡
∬
𝑆
B · 𝑑S =
∬
𝑆
𝜕B
𝜕𝑡
· 𝑑S +
∮
𝐿
B · (u × 𝑑l)
= −
∬
𝑆
(∇ × E) · 𝑑S −
∮
𝐿
(u × B) · 𝑑l
= −
∮
𝐿
E · 𝑑l −
∮
𝐿
(u × B) · 𝑑l
=
∮
𝐿
(E + u × B) · 𝑑l
= 0
由理想导体包围的磁通量保持不变 (但是并没有要求为零)
15.4 超导现象的二流体唯象理论
超导体中, 传导电子可以分成两类: 普通电子和超导电子
𝑛
𝑒
= 𝑛
𝑛
+ 𝑛
𝑠
超导电子是结成库珀对的电子.
1. 库珀电子对具有相反的动量, 总动量为零
2. 库珀对形成必须要借助于晶格振动 (声子), 形成引力而关联
3. 库珀对动量小, 波长大, 不受晶格缺陷和杂质散射, 无电阻
4. 所有库珀对凝聚于相同的量子态, 比自由态的电子能量低
15.5 伦敦第一方程
在超导体中
𝑛
𝑒
= 𝑛
𝑛
+ 𝑛
𝑠
, J = J
n
+ J
s
J
n
= 𝜎E, J
s
= −𝑒𝑛
𝑠
v
s
由牛顿定律
𝑚
𝑒
dv
s
d𝑡
= −𝑒E
那么
𝜕𝐽
𝑠
𝜕𝑡
= −𝑒𝑛
𝑠
dv
s
d𝑡
=
𝑛
𝑠
𝑒
2
𝑚
𝑒
E ≡ 𝛼E
其中
𝛼 ≡
𝑛
𝑠
𝑒
2
𝑚
𝑒
称为伦敦第一方程. 在稳态情况
𝜕J
s
𝜕𝑡
= 0, 那么 E = 0, 那么 J
n
= 0, 但是 J
s
≠ 0. 电流全部来自超导电子
15.6 伦敦第二方程
若超导体中的电流产生的磁场总是抵消外加磁场, 则可以解释 Meissner 效应
∇ × J
s
= −𝛼
1
B
与方程 ∇ × B = 𝜇
0
J
s
联立得到
∇
2
B = 𝛼
1
𝜇
0
B, ∇
2
J
s
= 𝛼
1
𝜇
0
J
s
这是扩散方程, 一维情况的解为
B (𝑧) = B (0)𝑒
−𝑧/𝜆
𝐿
,
J
s
(
𝑧
)
=
J
s
(
0
)
𝑒
−𝑧/𝜆
𝐿
其中
𝜆
𝐿
≡
1
√
𝛼
1
𝜇
0
称为穿透深度. 超导体内部磁场指数衰减, 若穿透深度很小, 即可以解释 Meissner 效应
15.7 超导体电磁性质方程
描述超导体现象的超导体电磁性质方程为
𝜕J
S
𝜕𝑡
= 𝛼E
∇ × J
s
= −𝛼B
其中
𝛼 ≡
𝑛
𝑠
𝑒
2
𝑚
𝑒
这个系数应该是一致的, 这是因为
𝜕
𝜕𝑡
(∇ × J
s
) = − 𝛼
1
𝜕B
𝜕𝑡
= 𝛼
1
∇ × E
求导可交换, 那么
∇ ×
𝜕𝐽
𝑠
𝜕𝑡
− 𝛼
1
E
= 0
得到
𝜕𝐽
𝑠
𝜕𝑡
= 𝛼
1
E + ∇𝜓
其中 𝜓 为任意标量场. 若是希望自洽, 则应该取
𝛼 = 𝛼
1
, ∇𝜓 = 0
15.8 超导体表面电流
超导体内部磁感应强度为零, 超导电流是表面电流
𝛼
𝑠
=
∫
∞
0
J
s
(𝑧)𝑑𝑧 =
∫
∞
0
J
s
(0)𝑒
−𝑧/𝜆
𝐿
= 𝜆
𝐿
J
s
(0)
超导体表面电流与外表面 (真空) 磁场关系
ˆ
𝑛 × B = 𝜇
0
α
s
这是因为
ˆ
𝑛 × (H
2
− H
1
) = α
s
超导体表面磁场平行于表面
ˆ
𝑛 · B = 0
这是因为
ˆ
𝑛 · (B
2
− B
1
) = 0
15.9 超导体是完全抗磁体
可以将超导电流视为磁化电流, 超导体视为磁介质
B = 𝜇H = 0
也就是
B = 𝜇
0
(H + M ) = 0 ⇒ M = −H
也就是
𝜇 = 𝜇
0
(1 + 𝜒
𝑀
) = 0 ⇒ 𝜒
𝑀
= −1
超导体是完全抗磁体, 超导电流源于外加磁场. 超导电流有两种描述方式
1. 超导电流为自由电流, 磁导率 𝜇 = 𝜇
0
2. 超导电流为磁化电流, 磁导率 𝜇 = 0
