1 电磁场的能量和能流密度
电磁场对物质做功的功率密度
f · v = (𝜌E + 𝜌v × B) · v = 𝜌v · E = J · E =
(
∇ × H −
𝜕D
𝜕𝑡
)
· E
那么
f · v = −∇ · (E × H) − H ·
𝜕B
𝜕𝑡
− E ·
𝜕D
𝜕𝑡
≡ −∇ · S −
𝜕𝑤
𝜕𝑡
即
∭
𝑉
f · vd𝑉 = −
∯
𝑆
S · dσ −
d
d𝑡
∭
𝑉
𝑤d𝑉
能流密度变化率
𝜕𝑤
𝜕𝑡
=≡ H ·
𝜕B
𝜕𝑡
+ E ·
𝜕D
𝜕𝑡
能流密度
S = E × H
利用本构方程
𝜕𝜔
𝜕𝑡
= H ·
𝜕B
𝜕𝑡
+ E ·
𝜕D
𝜕𝑡
=
(
𝜕B
𝜕𝜇
0
− M
)
·
𝜕B
𝜕𝑡
+ E ·
𝜕
𝜕𝑡
(𝜖
0
E + P )
=
𝜕
𝜕𝑡
(
𝜖
0
𝐸
2
2
+
𝐵
2
2𝜇
0
)
+ M · (∇ × E) + E ·
𝜕P
𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
(
𝜖
0
𝐸
2
2
+
𝐵
2
2𝜇
0
)
+ ∇ · (M × H) + E · (∇ × M ) + E ·
𝜕P
𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
(
𝜖
0
𝐸
2
2
+
𝐵
2
2𝜇
0
)
+ ∇ · (E × M ) + E · J
M
+ E · J
P
E·(J
F
+J
M
+J
P
) = −∇·[E×(H +M )]−
𝜕
𝜕𝑡
(
𝜖
0
𝐸
2
2
+
𝐵
2
2𝜇
0
)
= −
1
𝜇
0
∇·(E×B)−
𝜕
𝜕𝑡
(
𝜖
0
𝐸
2
2
+
𝐵
2
2𝜇
0
)
≡ −∇·S−
𝜕𝑤
𝜕𝑡
E · J
f
是场对自由粒子做功, 转化为动能, 不可逆; 而 E · J
M
+ E · J
P
是场对介质做功, 转化为磁化能量
和极化能量, 是可逆的
2 电磁场对物质的作用力
电磁场对物质 (包含介质) 的作用力密度
f = 𝜌E + J × B
= 𝜖
0
(∇ · E)E +
(
1
𝜇
0
∇ × B − 𝜖
0
𝜕E
𝜕𝑡
)
× B
= (𝜖
0
∇ · E)E +
1
𝜇
0
(∇ × B) × B − 𝜖
0
𝜕
𝜕𝑡
(E × B) + 𝜖
0
E ×
𝜕B
𝜕𝑡
= 𝜖
0
(∇ · E)E +
1
𝜇
0
(∇ · B)B +
1
𝜇
0
(∇ × B) × B − 𝜖
0
(∇ × E) × E − 𝜖
0
𝜕
𝜕𝑡
(E × B)
利用
−
1
2
∇(B · B) = (∇ × B) × B − (B · ∇)B
∇ · (BB) = (∇ · B)B + (B · ∇ )B
⇒ ∇ · (BB) −
1
2
∇𝐵
2
= (∇ · B)B + (∇ × B) × B
因而
f = ∇ · (𝜖
0
EE) − ∇
(
𝜖
0
𝐸
2
2
)
+ ∇ · (
BB
𝜇
0
) − ∇
(
𝐵
2
2𝜇
0
)
− 𝜖
0
𝜕
𝜕𝑡
(E × B)
= ∇ ·
[
𝜖
0
EE +
BB
𝜇
0
−
1
2
(
𝜖
0
𝐸
2
+
𝐵
2
𝜇
0
)
↔
𝐼
]
− 𝜖
0
𝜕
𝜕𝑡
(E × B)
= −∇·
↔
𝑇
−
𝜕g
𝜕𝑡
定义动量密度和动量流密度张量
g ≡ 𝜖
0
E × B,
↔
𝑇
≡ −
[
𝜖
0
EE +
BB
𝜇
0
+
1
2
(
𝜖
0
𝐸
2
+
𝐵
2
𝜇
0
)]
↔
𝐼
因而得到了一个类似于动量守恒的方程
∭
𝑉
f 𝑑𝑉 = −
∯
𝑆
𝑑σ·
↔
𝑇
−
d
d𝑡
∭
𝑉
g𝑑𝑉
↔
𝑇
·σ 为单位时间内通过 σ 的电磁场动量
动量密度与能流密度的关系
g = 𝜖
0
𝜇
0
S =
S
𝑐
2
3 平面电磁波
定态平面电磁波 E, B, k 有关系
𝑐B =
ˆ
k × E
得到动量密度
g =
𝜖
0
𝑐
𝐸
2
ˆ
k =
𝑤
𝑐
ˆ
k
此处的 𝑤 是能量密度, 在真空中有
𝑤 = 𝜖
0
𝐸
2
=
𝐵
2
𝜇
0
动量流密度张量
↔
𝑇
= −
[
𝜖
0
EE +
BB
𝜇
0
+
1
2
(
𝜖
0
𝐸
2
+
𝐵
2
𝜇
0
)
↔
𝐼
]
= −
[
𝜖
0
𝐸
2
ˆ
E
ˆ
E +
𝐵
2
𝜇
0
ˆ
B
ˆ
B
]
+
1
2
(
𝜖
0
𝐸
2
+
𝐵
2
𝜇
0
)
(
ˆ
E
ˆ
E +
ˆ
B
ˆ
B +
ˆ
k
ˆ
k)
此处用到了
↔
𝐼
=
ˆ
E
ˆ
E +
ˆ
B
ˆ
B +
ˆ
k
ˆ
k
这是因为
ˆ
E,
ˆ
B,
ˆ
k 相互正交
将用能量密度 𝑤 写为
↔
𝑇
= −𝑤(
ˆ
E
ˆ
E +
ˆ
B
ˆ
B) + 𝑤(
ˆ
E
ˆ
E +
ˆ
B
ˆ
B +
ˆ
k
ˆ
k) = 𝑤
ˆ
k
ˆ
k = 𝑐g
ˆ
k
4 理想磁流体平衡
磁流体运动方程
𝜌
𝑛
du
d𝑡
= −∇𝑝 + J × B
力平衡时
−∇
𝑝
+
J
×
B
=
0
⇒ −∇
𝑝
+ ∇ ·
(
1
𝜇
0
BB −
𝐵
2
2𝜇
0
↔
𝐼
)
=
0
即
−∇
(
𝑝 +
𝐵
2
2𝜇
0
)
+
1
𝜇
0
(B · ∇)B = 0
直柱磁场磁流体平衡
∇
(
𝑝 +
𝐵
2
2𝜇
0
)
= 0
即
𝑝 +
(
𝐵
2
2𝜇
0
)
𝑖𝑛
=
(
𝐵
2
2𝜇
0
)
𝑜𝑢𝑡
