电磁场的矢势与标势
目录
1 电磁场的矢势与标势 2
2 电磁矢势和标势满足的方程 2
3 规范变换与规范不变性 3
3.1 库伦规范 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 洛伦兹规范 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 推迟势 5
4.1 达朗贝尔方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2 平面行波解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.3 球面行波解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.4 点源产生的电磁波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.5 推迟势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1
1 电磁场的矢势与标势
真空中的麦克斯韦方程组
∇ · E =
𝜌
𝜀
0
∇ · B = 0
∇ × E =
𝜕B
𝜕𝑡
∇ × B = 𝜇
0
𝜀
0
𝜕E
𝜕𝑡
+ 𝜇
0
J
由于 ∇ · B = 0, 仍可以引入矢势 A
B = ∇ × A
电场已非无旋场, 但是
∇ × E = −
𝜕B
𝜕𝑡
= −
𝜕
𝜕𝑡
∇ × A = −∇ ×
𝜕A
𝜕𝑡
得到
∇ ×
E +
𝜕A
𝜕𝑡
= 0
因而可以引入标势 𝜑
E +
𝜕A
𝜕𝑡
= −∇𝜑
因而任意电磁场可以用一标量场 𝜑 和一矢量场 A 表示
B = ∇ × A, E = − ∇𝜑 −
𝜕A
𝜕𝑡
矢势和标势共同描述电磁场,E, B 的六个分量变为四个分量 (少解两个方程
2 电磁矢势和标势满足的方程
矢势和标势的定义满足了 ∇ · B 与 ∇ × E 的方程, 另外两个方程写为
∇ ×
(
∇ × A
)
= 𝜇
0
J + 𝜇
0
𝜀
0
𝜕
𝜕𝑡
−∇𝜑 −
𝜕A
𝜕𝑡
∇ ·
−∇𝜑 −
𝜕A
𝜕𝑡
=
𝜌
𝜀
0
⇒
∇
2
A −
1
𝑐
2
𝜕
2
A
𝜕𝑡
2
− ∇
1
𝑐
2
𝜕𝜑
𝜕𝑡
+ ∇ · A
= −𝜇
0
J
∇
2
𝜑 +
𝜕
𝜕𝑡
(∇ · A) = −
𝜌
𝜀
0
但是它们仍然是相互耦合的
实际上 ∇ × A = B 仅限制了 A 的旋度, 散度仍然是自由的, 可以加以限制, 称为规范, 原则上规范是任意
的
3 规范变换与规范不变性
电磁矢势与标势具有相当大的人为选择的余地, 两组不同的矢势和标势可以描述同一个电磁场
A
𝜑
⇒
A
′
= A + ∇𝜓
𝜑
′
= 𝜑 −
𝜕𝜓
𝜕𝑡
那么
∇ × A
′
= ∇ × A = B
−∇𝜑
′
−
𝜕A
′
𝜕𝑡
= −∇𝜑 −
𝜕A
𝜕𝑡
= E
得到相同的电磁场, 这种变换称为规范变换, 规范变换不改变物理量的值, 称为规范不变性
3.1 库伦规范
库伦规范为
∇ · A = 0
在库伦规范下
∇
2
A −
1
𝑐
2
𝜕
2
A
𝜕𝑡
2
− ∇
1
𝑐
2
𝜕𝜑
𝜕𝑡
= −𝜇
0
J
∇
2
𝜑 = −
𝜌
𝜀
0
库伦规范下的标势与静电势相同
自由空间的平面电磁波
自由空间无电荷的电流, 得到 𝜑 = 0, 那么
∇
2
A −
1
𝑐
2
𝜕
2
A
𝜕𝑡
2
= 0
其解为平面波
A = A
0
𝑒
𝑖 (k·r−𝜔𝑡 )
,
𝜔
𝑘
= 𝑐
得到电场
E = − ∇𝜑 −
𝜕A
𝜕𝑡
= −
𝜕A
𝜕𝑡
= −𝑖𝜔A
磁场
B = ∇ × A = 𝑖k × A =
k × E
𝜔
库伦规范体现为
k · A = 0
库伦规范下只需要矢势就可以描述平面波, 矢势只有横向分量, 描述平面波的两种偏振态
3.2 洛伦兹规范
(该洛伦兹为 Lorenz, 不是 Lorentz). 洛伦兹规范为
∇ · A +
1
𝑐
2
𝜕𝜑
𝜕𝑡
= 0
在洛伦兹规范下
∇
2
A −
1
𝑐
2
𝜕
2
A
𝜕𝑡
2
= −𝜇
0
J
∇
2
𝜑 −
1
𝑐
2
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑡
2
= −
𝜌
𝜀
0
矢势与标势方程相互独立, 电流势矢势之源, 电荷是标势之源. 该方程称为 d’Alembert 方程
洛伦兹规范一定存在. 假设对于某组势洛伦兹规范不成立
1
𝑐
2
𝜕𝜑
𝜕𝑡
+ ∇ · A = 𝑢 ≠ 0
作规范变换
A
′
= A + ∇𝜓
𝜑
′
= 𝜑 −
𝜕𝜓
𝜕𝑡
得到
∇ · A
′
+
1
𝑐
2
𝜕𝜑
′
𝜕𝑡
= ∇ · A +
1
𝑐
2
𝜕𝜑
𝜕𝑡
+ ∇
2
𝜓 = 𝑢
?
自由空间的平面电磁波
∇
2
A −
1
𝑐
2
𝜕
2
A
𝜕𝑡
2
= 0, ∇
2
𝜑 −
1
𝑐
2
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑡
2
= 0
平面波都是它们的解
A = A
0
𝑒
𝑖 (k·r−𝜔𝑡 )
𝜑 = 𝜑
0
𝑒
𝑖 (k·r−𝜔𝑡 )
,
𝜔
𝑘
= 𝑐
洛伦兹规范体现为
𝜑 =
𝑐
2
𝜔
k · A
考察电场和磁场
B = ∇ × A = 𝑖k × A
E = −𝑖𝜑k + 𝑖𝜔A = 𝑖
𝑐
2
𝜔
[k × (k × A)] = −
𝑐
2
𝜔
k × B
洛伦兹规范性, 描述平面波的势仍然有变换的自由的, 可以取
𝜑 =
𝑐
2
𝜔
k · A = 0
4 推迟势
4.1 达朗贝尔方程
在洛伦兹规范下, 标量 𝜑 满足的方程为
∇
2
𝜑 −
1
𝑐
2
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑡
2
= −
𝜌
𝜀
0
考虑某一体积元内电荷激发的势. 假定原点有一个电荷 𝑄, 那么
∇
2
𝜑 −
1
𝑐
2
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑡
2
= −
1
𝜀
0
𝑄𝛿(x)
在原点之外, 方程写为
∇
2
𝜑 −
1
𝑐
2
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑡
2
= 0
4.2 平面行波解
在一维情形下, 方程化为一维齐次波动方程
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑥
2
−
1
𝑐
2
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑡
2
= 0
它的通解 (详情参见 数理方程 ) 是
𝜑(𝑥, 𝑡) = 𝑢
𝐹
(𝑥 − 𝑐𝑡) + 𝑢
𝐵
(𝑥 + 𝑐𝑡)
𝑢
𝐹
(𝑥 − 𝑐𝑡) 表示向前传播的行波,𝑢
𝐵
(𝑥 + 𝑐𝑡) 表示向后传播的行波, 平面波为它们的叠加
4.3 球面行波解
球对称波动方程
1
𝑟
2
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
2
𝜕𝜑
𝜕𝑟
−
1
𝑐
2
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑡
2
= 0
展开就是
2
𝑟
𝜕𝜑
𝜕𝑟
+
1
𝑟
2
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑟
2
−
1
𝑐
2
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑡
2
= 0 ⇒
1
𝑟
𝜕
2
𝑟𝜑
𝜕𝑟
2
2
−
1
𝑐
2
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑡
2
= 0
其通解为
𝜑(𝑟, 𝑡) =
𝑢
𝐹
( 𝑟 − 𝑐𝑡)
𝑟
+
𝑢
𝐵
( 𝑟 + 𝑐𝑡)
𝑟
≡
𝑓 (𝑟 − 𝑟/𝑐)
𝑟
+
𝑔(𝑟 + 𝑟/𝑐)
𝑟
𝑓 (𝑡 − 𝑟/𝑐)/𝑟 表示向外传播的球面波 (𝑟 = 𝑐𝑡),𝑔(𝑡 + 𝑟/𝑐)/𝑟 表示向内传播的球面波 (𝑟 = −𝑐𝑡), 球面波为它们
的叠加
4.4 点源产生的电磁波
取点源处为原点, 那么除原点无电荷分布, 得到球面波
𝜑(𝑟, 𝑡) =
𝑓 (𝑡 − 𝑟/𝑐)
𝑟
+
𝑔(𝑡 + 𝑟/𝑐)
𝑟
考虑到静电情形下有
𝜑(𝑟, 𝑡) =
𝑄
4𝜋𝜀
0
𝑟
那么做梦梦到电势分布为
𝜑(𝑟, 𝑡) =
𝑄
𝑡 −
𝑟
𝑐
4𝜋𝜀
0
𝑟
下面来证明它是对的
包含原点的 d’Alembert 方程为
∇
2
𝜑 −
1
𝑐
2
𝜕
2
𝜑
𝜕𝑡
2
= −
𝑄(𝑡)
𝜀
0
𝛿(x)
在原点之外显然正确, 考察原点附近, 代入 𝜑 得到
∇
2
−
1
𝑐
2
𝜕
2
𝜕𝑡
2
𝑄(𝑡 − 𝑟/𝑐)
4𝜋𝜀
0
𝑟
?
= −
𝑄
(
𝑡
)
𝜀
0
𝛿(x)
在原点附近积分, 此时 𝑟 → 0, 那么上式变为
𝜖
∇
2
−
1
𝑐
2
𝜕
2
𝜕𝑡
2
𝑄(𝑡)
4𝜋𝜀
0
𝑟
d𝑉
?
= −
𝑄(𝑡)
𝜀
0
那么
𝑄(𝑡)
𝜀
0
𝜖
∇
2
1
𝑟
d𝑉 −
1
𝑐
2
1
4𝜋𝜀
0
𝜖
1
𝑟
𝜕𝑄 (𝑡)
𝜕𝑡
𝑑𝑉
?
= −
𝑄(𝑡)
𝜀
0
体积分有 𝑉 ∼ 𝑟
3
, 因而第二项 ∼ 𝑟
2
, 是二阶无穷小量, 舍去. 只需要验证
𝜖
∇
2
1
𝑟
d𝑉
?
= −4𝜋
在
格林函数
节中有结论
∇
2
1
𝑟
= −4𝜋𝛿(x)
那么上式自然成立, 完成了验证
4.5 推迟势
上节做梦梦到球面波解
𝜑(𝑟, 𝑡) =
𝑄
𝑡 −
𝑟
𝑐
4𝜋𝜀
0
𝑟
舍去了 𝑄(𝑡 + 𝑟/𝑐) 项, 因为它是由外向内传播的球面波, 不可能是点源发出的, 有违因果律
由波动方程解的可叠加性, 对变化的电荷分布, 标势为
𝜑(x, 𝑡) =
1
4𝜋𝜀
0
𝜌
x
′
, 𝑡 −
𝑟
𝑐
|x − x
′
|
d𝑉
′
x 为场点,x
′
为源点
同理, 由于矢势与标势满足的方程相同, 对变化的电流分布, 矢势为
A(x, 𝑡) =
𝜇
0
4𝜋
J
x
′
, 𝑡 −
𝑟
𝑐
|x − x
′
|
d𝑉
′
验证推迟势满足洛伦兹条件
∇ · A =
𝜇
0
4𝜋
∇ ·
J (x
′
, 𝑡
′
)
𝑟
d𝑉
′
注意此处 ∇ 作用在 𝑥 上而不是 𝑥
′
上. 希望得到
∇ ·
J (x
′
, 𝑡
′
)
𝑟
希望将其中的 ∇ 换为作用在 𝑥
′
上的 ∇. 由微分性, 考察
∇
′
· J (x
′
, 𝑡
′
) = ∇
′
· J (x
′
, 𝑡
′
)|
𝑡
′
+
𝜕J (x
′
, 𝑡
′
)
𝜕𝑡
′
· ∇
′
𝑡
′
由于 𝑡
′
= 𝑡 − 𝑟/𝑐, 那么 ∇
′
𝑡
′
= −
1
𝑐
∇
′
𝑟. 又由于
∇
′
𝑟 = ∇
′
|
x − x
′
|
=
x − x
′
|x − x
′
|
= −∇𝑟
那么
∇
′
· J (x
′
, 𝑡
′
) = ∇
′
· J (x
′
, 𝑡
′
)|
𝑡
′
−
1
𝑐
𝜕J (x
′
, 𝑡
′
)
𝜕𝑡
′
· ∇𝑟 = ∇
′
· J (x
′
, 𝑡
′
)|
𝑡
′
− ∇ · J (x
′
, 𝑡
′
)
考察
∇
′
·
J
(
x
′
, 𝑡
′
)
𝑟
=
1
𝑟
∇
′
· J (x
′
, 𝑡
′
) +
∇
′
1
𝑟
· J (x
′
, 𝑡
′
)
同样有 ∇
′
·
1
𝑟
= −∇
1
𝑟
, 那么
∇
′
·
J (x
′
, 𝑡
′
)
𝑟
=
1
𝑟
∇
′
· J (x
′
, 𝑡
′
)|
𝑡
′
−
1
𝑟
∇ · J (x
′
, 𝑡
′
) −
∇
1
𝑟
· J (x
′
, 𝑡
′
)
又由于
1
𝑟
∇ · J (x
′
, 𝑡
′
) +
∇
1
𝑟
· J (x
′
, 𝑡
′
) = ∇ ·
J
(
x
′
, 𝑡
′
)
𝑟
那么
∇
′
·
J (x
′
, 𝑡
′
)
𝑟
=
1
𝑟
∇
′
· J (x
′
, 𝑡
′
)|
𝑡
′
− ∇ ·
J (x
′
, 𝑡
′
)
𝑟
如愿将 ∇ 变为了 ∇
′
∇ ·
J (x
′
, 𝑡
′
)
𝑟
=
1
𝑟
∇
′
· J (x
′
, 𝑡
′
)|
𝑡
′
− ∇
′
·
J (x
′
, 𝑡
′
)
𝑟
因而积分就变为
∇ · A =
𝜇
0
4𝜋
1
𝑟
∇
′
· J (x
′
, 𝑡
′
)|
𝑡
′
− ∇
′
·
J (x
′
, 𝑡
′
)
𝑟
d𝑉
′
利用散度定理
∇ · A =
𝜇
0
4𝜋
1
𝑟
∇
′
· J (x
′
, 𝑡
′
)d𝑆
′
−
𝜇
0
4𝜋
J (x
′
, 𝑡
′
)
𝑟
· dS
只要积分区域取得足够大, 就可以使得区域边界上无电流, 那么第二项为 0, 得
∇ · A =
𝜇
0
4𝜋
1
𝑟
∇
′
· J (x
′
, 𝑡
′
)d𝑉
′
对于标量势
𝜕
𝜕𝑡
𝜑(x, 𝑡) =
1
4𝜋𝜀
0
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑡
𝜌(x
′
, 𝑡
′
)d𝑉
′
=
1
4𝜋𝜀
0
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑡
′
𝜌(x
′
, 𝑡
′
)d𝑉
′
验证洛伦兹条件
∇ · A(x, 𝑡) +
1
𝑐
2
𝜕
𝜕𝑡
𝜑(x, 𝑡) =
𝜇
0
4𝜋
1
𝑟
∇
′
· J (x
′
, 𝑡
′
)|
𝑡
′
+
𝜕
𝜕𝑡
′
𝜌(x
′
, 𝑡
′
)
d𝑉
′
?
= 0
由电荷守恒
∇ · J +
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 0
知其显然成立, 到此完成了验证
