狭义相对论
目录
1 张量分析 3
1.1 张量的引入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 上标, 下标, 协变与逆变 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 爱因斯坦求和约定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 重复指标求和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 张量的线性代数表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 度规 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 逆变基与协变基 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2 度规与基的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.3 指标升降 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.4 平直三维空间的度规 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.5 坐标变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 四维坐标 8
2.1 光速不变原理与时空间隔 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 四维时空坐标 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 洛伦兹变换-时空旋转变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 四维时空的物理量 12
3.1 物理量的分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 四维间隔 (标量) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1
3.3 固有时间 (标量) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 静止质量 (标量) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.5 四维坐标 (矢量) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.6 四维速度 (矢量) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.6.1 速度变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.6.2 四维速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.7 四维动量 (矢量) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.8 四维力 (矢量) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.9 四维微商 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 相对论力学 16
4.1 四维动量与三维动量和三维力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 四维动量与能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1 张量分析
1.1 张量的引入
张量是一种具有多个分量的物理量, 它的引入与线性代数有关
在线性代数中, 列向量表示为
𝑥
1
𝑥
2
𝑥
3
但是这么写并不方便, 需要将所有分量都写出来. 为了简化表示,暂时用下标代表所有分量, 即
𝑥
𝜇
≡
𝑥
1
𝑥
2
𝑥
3
此处 𝜇 取遍所有可能的值,𝑥
1
就代表第一个分量,𝑥
2
代表第二个分量, 以此类推
矩阵也可以用下标表示, 如
𝑎
𝜇𝜈
=
𝑎
11
𝑎
12
𝑎
13
𝑎
21
𝑎
22
𝑎
23
𝑎
31
𝑎
32
𝑎
33
1.2 上标, 下标, 协变与逆变
张量形式上是线性代数中的矩阵和向量, 但它本质上是一个物理量, 它在不同坐标系下的形式也有所不同.
考察一个旋转变换, 设坐标系 𝑆
′
相对于 𝑆 逆时针旋转 𝜃 角, 那么基矢的变换关系为
ˆ
x
′
= cos 𝜃 ˆx + sin 𝜃 ˆy
ˆ
y
′
= − sin 𝜃 ˆx + cos 𝜃 ˆy
有逆变换
ˆx = cos 𝜃
ˆ
x
′
− sin 𝜃
ˆ
y
′
ˆy = sin 𝜃
ˆ
x
′
+ cos 𝜃
ˆ
y
′
若点 𝑃 在 𝑆 系下的坐标为 (𝑥, 𝑦), 在 𝑆
′
系下的坐标为 (𝑥
′
, 𝑦
′
), 那么它有坐标变换关系
𝑥
′
= cos 𝜃𝑥 − sin 𝜃𝑦
𝑦
′
= sin 𝜃𝑥 + cos 𝜃𝑦
这正是基矢的逆变换关系, 那么称坐标张量是一个逆变张量, 即
逆变张量: 坐标变换时, 张量的分量的变换遵循坐标基矢的逆变换关系
用上标表示逆变张量, 如坐标张量表示为
𝑥
𝜇
, 𝑥
1
= 𝑥, 𝑥
2
= 𝑦
可以同样定义协变张量
协变张量: 坐标变换时, 张量的分量的变换遵循坐标基矢的正变换关系
为了和逆变张量区分,用下标表示协变张量. 由于旋转变换是正交变换, 它的逆变换对应的矩阵正是它正
变换对应矩阵的转置, 那么如果将坐标写为行向量, 它就会变为一个协变张量
𝑥
𝜇
= [𝑥
1
𝑥
2
], [𝑥
′
1
𝑦
′
2
] = [𝑥
1
𝑦
2
]
"
cos 𝜃 sin 𝜃
− sin 𝜃 cos 𝜃
#
实际上, 一个张量中既有逆变分量又有协变分量. 此时协变维度的分量用下标表示, 逆变维度的分量用上
标表示, 如
𝑇
𝜇
𝜈
它的 𝜇 维度是逆变的, 而 𝜈 维度是协变的. 在坐标变换时,𝜇 维度的分量遵循逆变换关系, 而 𝜈 维度的分
量遵循协变换关系. 如, 若有坐标旋转变换
ˆ
x
′
= cos 𝜃 ˆx + sin 𝜃 ˆy
ˆ
y
′
= − sin 𝜃 ˆx + cos 𝜃 ˆy
则变换后的张量 𝑇
′
有
𝑇
′𝜇
𝜈
≡
"
𝑇
′1
1
𝑇
′1
2
𝑇
′2
1
𝑇
′2
2
#
=
"
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
#"
𝑇
1
1
𝑇
1
2
𝑇
2
1
𝑇
2
2
#"
cos 𝜃 sin 𝜃
− sin 𝜃 cos 𝜃
#
1.3 爱因斯坦求和约定
1.3.1 重复指标求和
爱因斯坦求和约定即对重复出现的指标遍历求和, 将其消去, 如
𝑠
2
= 𝑥
𝜇
𝑥
𝜇
= 𝑥
1
𝑥
1
+ 𝑥
2
𝑥
2
+ 𝑥
3
𝑥
3
𝑎
𝜇
𝜈
𝑏
𝜈
= 𝑐
𝜇
⇔
𝑎
1
1
𝑎
1
2
𝑎
1
3
𝑎
2
1
𝑎
2
2
𝑎
2
3
𝑎
3
1
𝑎
3
2
𝑎
3
3
𝑏
1
𝑏
2
𝑏
3
=
𝑐
1
𝑐
2
𝑐
3
需要注意的是, 爱因斯坦求和约定只能消去一个上标和一个下标, 这是为了保证张量的逆变与协变性质不
变
1.3.2 张量的线性代数表示
需要注意的是, 张量并不是线性代数中的矩阵和向量, 以上两节使用的矩阵和向量仅仅是一个记号, 是利
用对应位置相等来方便地表达变换关系. 利用线性代数中的向量和矩阵可以非常直观地表示一阶和二阶
张量即它们的性质. 为了更加严谨地使用线性代数的语言, 约定
将下标写为矩阵的列, 上标写为矩阵的行
那么一个一阶协变张量就能写为行向量
𝑥
𝜇
≡ [
𝑥
1
𝑥
2
𝑥
3
]
一个一阶逆变张量就能写为列向量
𝑥
𝜇
≡
𝑥
1
𝑥
2
𝑥
3
二阶既有逆变又有协变分量的张量就能写为矩阵
𝑇
𝜇
𝜈
≡
𝑇
1
1
𝑇
1
2
𝑇
1
3
𝑇
2
1
𝑇
2
2
𝑇
2
3
𝑇
3
1
𝑇
3
2
𝑇
3
3
用爱因斯坦求和约定表示的张量积也能用矩阵乘法表示
𝑇
𝜈
𝜇
𝑥
𝜇
≡
𝑇
1
1
𝑇
1
2
𝑇
1
3
𝑇
2
1
𝑇
2
2
𝑇
2
3
𝑇
3
1
𝑇
3
2
𝑇
3
3
𝑥
1
𝑥
2
𝑥
3
, 𝑇
𝜈
𝜇
𝑥
𝜈
≡ [𝑥
1
𝑥
2
𝑥
3
]
𝑇
1
1
𝑇
1
2
𝑇
1
3
𝑇
2
1
𝑇
2
2
𝑇
2
3
𝑇
3
1
𝑇
3
2
𝑇
3
3
𝑇
𝜇
𝛼
𝐻
𝛼
𝜈
≡
𝑇
1
1
𝑇
1
2
𝑇
1
3
𝑇
2
1
𝑇
2
2
𝑇
2
3
𝑇
3
1
𝑇
3
2
𝑇
3
3
𝐻
1
1
𝐻
1
2
𝐻
1
3
𝐻
2
1
𝐻
2
2
𝐻
2
3
𝐻
3
1
𝐻
3
2
𝐻
3
3
但是这种表示是有局限的, 比如 𝑇
𝜇𝜈
在这种约定下就无法用矩阵表示. 因而虽然在良好的约定下张量可以
用矩阵和向量表示, 但是张量绝不能理解成矩阵和向量
1.4 度规
1.4.1 逆变基与协变基
上面的讨论都是基于坐标的, 对于一个空间, 可以选取若干个基矢. 基矢的变换当然与基矢的变换规律相
同, 因而它们拼成的张量是协变的. 此处假定空间由两个基矢张成
e
𝜇
≡ (𝑒
1
, 𝑒
2
)
真实的位置应是基矢的线性组合, 组合系数即为坐标, 即
P = 𝑥
𝜇
e
𝜇
, Q = 𝑥
𝜈
e
𝜈
考虑内积
P · Q = 𝑥
𝜇
𝑥
𝜈
e
𝜇
· e
𝜈
但是由于 𝑒
𝜇
· 𝑒
𝜈
的值并不确定, 这样不便于计算. 因而引入逆变基矢 e
𝜇
, 使得
𝑒
𝜇
· 𝑒
𝜈
= 𝛿
𝜇
𝜈
若将 P 用逆变基展开, 它的坐标就是一个协变张量
P = 𝑥
𝜇
e
𝜇
内积就可以写为
P · Q = 𝑥
𝜇
𝑥
𝜈
𝑒
𝜇
· 𝑒
𝜈
= 𝛿
𝜇
𝜈
𝑥
𝜇
𝑥
𝜈
= 𝑥
𝜇
𝑥
𝜇
1.4.2 度规与基的关系
考虑协变基和逆变基的关系. 设
𝑒
𝜇
= 𝑔
𝜇𝜈
𝑒
𝜈
其中 𝑔
𝜇𝜈
称为度量张量的逆变分量. 希望求得 𝑔
𝜇𝜈
的表达式, 考察内积
𝑒
𝜇
· 𝑒
𝜈
= 𝑔
𝜇 𝛼
𝑒
𝛼
· 𝑒
𝜈
= 𝑔
𝜇 𝛼
𝛿
𝜈
𝛼
= 𝑔
𝜇𝜈
同理可以设
𝑒
𝜇
= 𝑔
𝜇𝜈
𝑒
𝜈
其中 𝑔
𝜇𝜈
称为度量张量的协变分量. 同样利用内积求得 𝑔
𝜇𝜈
的表达式
𝑒
𝜇
· 𝑒
𝜈
= 𝑔
𝜇 𝛼
𝑒
𝛼
· 𝑒
𝜈
= 𝑔
𝜇 𝛼
𝛿
𝛼
𝜈
= 𝑔
𝜇𝜈
由于做内积的矢量其顺序是可以交换的, 那么 𝑔
𝜇𝜈
与 𝑔
𝜇𝜈
应当是对称的, 即
𝑔
𝜇𝜈
= 𝑔
𝜈𝜇
, 𝑔
𝜇𝜈
= 𝑔
𝜈𝜇
希望得到 𝑔
𝜇𝜈
与 𝑔
𝜇𝜈
的关系, 考察协变基与逆变基的内积
𝑒
𝜇
· 𝑒
𝜈
= 𝑔
𝜇 𝛼
𝑒
𝛼
· 𝑒
𝜈
= 𝑔
𝜈 𝛼
𝑔
𝜇 𝛼
又有
𝑒
𝜇
· 𝑒
𝜈
= 𝛿
𝜈
𝜇
那么就有
𝑔
𝜈 𝛼
𝑔
𝜇 𝛼
= 𝛿
𝜈
𝜇
也就是说它们是互逆的关系
𝑔
𝜇𝜈
= 𝑔
−1
𝜇𝜈
如果把它们写为矩阵的形式, 它们就互为对方的逆矩阵
1.4.3 指标升降
矢量 P 应该既可以按照逆变基展开, 也可以按照协变基展开. 这两种基下的坐标应当有关系. 即逆变张量
与协变张量有关系
P = 𝑥
𝜇
e
𝜇
= 𝑥
𝜈
e
𝜈
那么
P · e
𝜇
= 𝑥
𝛼
e
𝛼
· e
𝜇
= 𝑥
𝜇
P · e
𝜈
= 𝑥
𝛼
e
𝛼
· e
𝜈
= 𝑥
𝜈
也就是说
𝑥
𝜇
= P · e
𝜇
= 𝑥
𝜈
e
𝜈
· e
𝜇
= 𝑥
𝜈
𝑔
𝜈𝜇
𝑥
𝜈
= P · e
𝜈
= 𝑥
𝛼
e
𝛼
· e
𝜈
= 𝑥
𝜇
𝑔
𝜇𝜈
这就是逆变张量与协变张量的关系, 即指标的升降
1.4.4 平直三维空间的度规
对于平直的三维空间, 选取协变基为 ˆx, ˆy, ˆz, 由于
ˆx · ˆx = 1, ˆy · ˆy = 1, ˆz · ˆz = 1
ˆx · ˆy = 0, ˆx · ˆz = 0, ˆy · ˆz = 0
那么得到 𝑔
𝜇𝜈
的表达式
𝑔
𝜇𝜈
= 𝑒
𝜇
· 𝑒
𝜈
=
1 𝜇 = 𝜈
0 𝜇 ≠ 𝜈
用矩阵的行代表第一个指标, 列代表第二个指标, 那么 𝑔
𝜇𝜈
就写为矩阵
𝑔
𝜇𝜈
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
对其求逆即可得到 𝑔
𝜇𝜈
𝑔
𝜇𝜈
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−1
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= 𝑔
𝜇𝜈
1.4.5 坐标变换
虽然基的变换矩阵并不是一个张量, 但为了利用爱因斯坦求和约定, 我们可以将其写为张量的形式. 基矢
的变换用张量的符号表示为 (上标写为行, 下标写为列)
𝑎
𝜇
𝜈
≡
"
𝑎
1
1
𝑎
1
2
𝑎
2
1
𝑎
2
2
#
=
"
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
#
协变基矢的变换即
𝑒
′
𝜇
= 𝑎
𝜈
𝜇
𝑒
𝜈
⇔ [𝑒
′
1
𝑒
′
2
] = [𝑒
1
𝑒
2
]
"
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
#
从 𝑆 到 𝑆
′
的变换就写为
𝑥
𝜇
= 𝑎
𝜇
𝜈
𝑥
𝜈
≡
"
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin
𝜃
cos
𝜃
#"
𝑥
1
𝑥
2
#
对于一个张量 𝑇
𝜇
𝜈
, 它的变换关系为
𝑇
𝛽
𝛼
= 𝑎
𝜇
𝛼
𝑇
𝜈
𝜇
𝑎
𝛽
𝜈
2 四维坐标
2.1 光速不变原理与时空间隔
每个事件是四维时空的一个点, 称为世界点, 一个粒子的所有事件构成一条曲线, 即其世界线
光速不变原理即在任意参考系下光速不变. 希望构造一个不依赖于参考系的量来描述两个事件之间的间
隔, 简单起见先考察由光联系的事件, 记惯性系 𝑆 下的两事件
𝑃
1
(𝑥
1
, 𝑦
1
, 𝑧
1
, 𝑡
1
), 一束光发出
𝑃
2
(𝑥
2
, 𝑦
2
, 𝑧
2
, 𝑡
2
), 这束光被受到
那么它们之间的空间距离与时间就可以由光速联系
(𝑥
2
− 𝑥
1
)
2
+ (𝑦
2
− 𝑦
1
)
2
+ (𝑧
2
− 𝑧
1
)
2
= 𝑐
2
(𝑡
2
− 𝑡
1
)
2
由于光速在任何惯性系下都是不变的, 对于另一个惯性系 𝑆
′
, 新的坐标也应当满足
(𝑥
′
2
− 𝑥
′
1
)
2
+ (𝑦
′
2
− 𝑦
′
1
)
2
+ (𝑧
′
2
− 𝑧
′
1
)
2
= 𝑐
2
(𝑡
′
2
− 𝑡
′
1
)
2
若定义
𝑠
2
≡ (𝑥
2
− 𝑥
1
)
2
+ (𝑦
2
− 𝑦
1
)
2
+ (𝑧
2
− 𝑧
1
)
2
− 𝑐
2
(𝑡
2
− 𝑡
1
)
2
那么对于这两个事件而言, 在任意惯性系下都有 𝑠 = 𝑠
′
. 实际上, 这样的定义的间隔 𝑠 与参考系无关
时空的均匀性要求同一世界点在不同惯性系下的坐标变换是线性变换. 考虑两个事件 𝑃, 𝑄 在 𝑆 和 𝑆
′
系
下的坐标, 它们都是一阶逆变张量, 依照上文张量的线性代数表示, 记为列向量 X, X
′
, Y , Y
′
𝑃 : X = (𝑥
1
𝑦
1
𝑧
1
𝑖𝑐𝑡
1
)
𝑇
𝑄 : Y = (𝑥
2
𝑦
2
𝑧
2
𝑖𝑐𝑡
2
)
𝑇
𝑃
′
: X
′
= (𝑥
′
1
𝑦
′
1
𝑧
′
1
𝑖𝑐𝑡
′
1
)
𝑇
𝑄
′
: Y
′
= (𝑥
′
2
𝑦
′
2
𝑧
′
2
𝑖𝑐𝑡
′
2
)
𝑇
假定存在从 𝑆 到 𝑆
′
的坐标变换 𝑓 , 它是一个向量值函数, 那么
X
′
= 𝑓 (X), Y
′
= 𝑓 (Y )
对其作差, 得到
X
′
− Y
′
= 𝑓 (X) − 𝑓 (Y )
时空的均匀性表明, 坐标原点的选择并不会改变坐标差值. 那么令
X → X + b, Y → Y + b
则
𝑓 (X) − 𝑓 (Y ) = 𝑓 (X + b) − 𝑓 (Y + b)
对 X 的一个坐标分量 𝑥
𝑖
求导, 则 Y 被消去, 得到
𝜕 𝑓 (X)
𝜕𝑥
𝑖
=
𝜕 𝑓 (X + b)
𝜕𝑥
𝑖
又由于
𝜕 𝑓 (X + b)
𝜕𝑥
𝑖
=
𝜕 𝑓 (X)
𝜕𝑥
𝑖
X=X +b
那么
𝜕 𝑓 (X)
𝜕𝑥
𝑖
=
𝜕 𝑓 (X)
𝜕𝑥
𝑖
X=X +b
由于 b 是任意的, 那么
𝜕 𝑓 (X)
𝜕𝑥
𝑖
就只能是常数, 即 𝑓 是线性变换
假定 𝑆 与 𝑆
′
之间的变换由一个线性变换给出
X
′
= AX + B, Y
′
= AY + B
那么它们的差值
X
′
− Y
′
= A(X − Y )
平方得到
(X
′
− Y
′
)
𝑇
(X
′
− Y
′
) = (X − Y )
𝑇
A
𝑇
A(X − Y )
考虑上文定义的间隔 𝑠
𝑠
2
= (X − Y )
𝑇
(X − Y ) ≡ (𝑥
2
− 𝑥
1
)
2
+ (𝑦
2
− 𝑦
1
)
2
+ (𝑧
2
− 𝑧
1
)
2
− 𝑐
2
(𝑡
2
− 𝑡
1
)
2
前面已经证明了 𝑠 若为零, 则在任意的惯性系下都为零, 那么
(X − Y )
𝑇
(X − Y ) = 0 ⇔ (X − Y )
𝑇
A
𝑇
A(X − Y ) = 0
由于 𝐴
𝑇
𝐴 是一个对称阵, 右边实际上是一个二次型. 将矩阵元素展开写为
𝑥
2
1
+ 𝑥
2
2
+ 𝑥
2
3
+ 𝑥
2
4
= 𝑎
11
𝑥
2
1
+ 𝑎
22
𝑥
2
2
+ 𝑎
33
𝑥
2
3
+ 𝑎
44
𝑥
2
4
+ 2(𝑎
12
𝑥
1
𝑥
2
+ 𝑎
13
𝑥
1
𝑥
3
+ 𝑎
14
𝑥
1
𝑥
4
+ 𝑎
23
𝑥
2
𝑥
3
+ 𝑎
24
𝑥
2
𝑥
4
+ 𝑎
34
𝑥
3
𝑥
4
)
该式对任意 𝑥
2
1
+ 𝑥
2
2
+ 𝑥
2
3
+ 𝑥
2
4
= 0 都成立. 那么不妨令 𝑥
3
= 𝑥
4
= 0,𝑥
1
= 𝑖𝑥
2
得
−𝑎
11
+ 𝑎
22
+ 2𝑖𝑎
12
= 0
令 𝑥
3
= 𝑥
4
= 0,𝑥
2
= 𝑖𝑥
1
得
𝑎
11
− 𝑎
22
+ 2𝑖𝑎
12
= 0
两式相加得到 𝑎
12
= 0, 代入又得到 𝑎
11
= 𝑎
22
. 同理可以证明所有非对角元为零
𝑎
12
= 𝑎
13
= 𝑎
14
= 𝑎
23
= 𝑎
24
= 𝑎
34
= 0
并且所有对角元相等
𝑎
11
= 𝑎
22
= 𝑎
33
= 𝑎
44
因而 A
𝑇
A 是一个数量阵, 那么
X
′
− Y
′
2
= 𝜆
|
X − Y
|
2
由于不同参考系之间仅有速度 v 的差异, 那么 𝜆 应当仅是 v 的函数, 即
X
′
− Y
′
2
= 𝜆(v)
|
X − Y
|
2
由于空间的均匀性,𝜆 应该与 𝑣 的方向无关, 而仅与大小 𝑣 有关
X
′
− Y
′
2
= 𝜆(𝑣)
|
X − Y
|
2
由于各参考系平权, 在 𝑆
′
系中应当看到 𝑆 系相对它的速度为 −v, 那么
|
X − Y
|
2
= 𝜆(𝑣)
X
′
− Y
′
2
因而比例系数满足
𝜆
2
= 1
由于
|
X − Y
|
是实数, 因而 𝜆 = ±1; 再考虑到 𝑣 = 0 的时候变换应当是恒等变换,𝜆 = 1. 那么
𝜆 = 1
即对于任意惯性系 𝑆 与 𝑆
′
, 其中的
时空间隔均相等
X
′
− Y
′
2
=
|
X − Y
|
2
2.2 四维时空坐标
若定义四维坐标为
(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑖𝑐𝑡) = (𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑥
3
, 𝑥
4
) ≡ 𝑥
𝜇
希望求解出它的度规, 利用时空间隔是两个四维坐标的内积
𝑠
2
= 𝑥
2
+ 𝑦
2
+ 𝑧
2
− 𝑐
2
𝑡
2
≡ 𝑥
𝜇
𝑔
𝜇𝜈
𝑥
𝜈
由此得到度规 (以第一个指标为行, 第二个指标为列)
𝑔
𝜇𝜈
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
因而如此定义的四维坐标满足
𝑥
𝜇
= 𝑥
𝜇
, P · Q = 𝑥
𝜇
𝑥
𝜇
一个作匀速直线运动的粒子在四维时空中的轨迹是一根直线; 静止粒子的运动速度为零, 其轨迹平行于时
间轴, 即空间坐标不变, 仅时间坐标改变
粒子在与自身静止坐标系中的轨迹是一根平行于时间轴的直线, 不同惯性系的坐标变换实际上是四维空
间的旋转变换
2.3 洛伦兹变换-时空旋转变换
由于参考系变换是一个线性变换, 并且保持时空间隔不变, 那么它就应该是一个旋转变换
为方便起见, 设粒子的速度沿 𝑆 系的 𝑥
1
轴, 那么它在 𝑆 系的轨迹就在 𝑥
1
𝑥
4
平面内, 与时间轴 𝑥
4
的夹角
𝜑 满足
tan 𝜑 =
𝑥
1
𝑥
4
=
𝑥
𝑖𝑐𝑡
=
𝑣
𝑖𝑐
由于 𝜑 ∈ (−90
◦
, 90
◦
), 得到
sin 𝜑 = −
𝑖𝑣
𝑐
r
1 −
𝑣
2
𝑐
2
, cos 𝜑 =
1
r
1 −
𝑣
2
𝑐
2
为了简化公式, 令
𝛽 =
𝑣
𝑐
, 𝛾 =
1
p
1 − 𝛽
2
则
sin 𝜑 = −𝑖𝛽𝛾, cos 𝜑 = 𝛾
若以粒子的四维轨迹方向为 𝑥
′
4
轴, 保持 𝑥
′
2
, 𝑥
′
3
轴不变, 则对时空中同一个点而言,𝑆
′
系下的坐标相当于
𝑆 系下的坐标反方向旋转了 𝜑 角, 即
𝑥
′
1
= 𝑥
1
cos 𝜑 − 𝑥
4
sin 𝜑
𝑥
′
4
= 𝑥
1
sin 𝜑 + 𝑥
4
cos 𝜑
代入得到
𝑥
′
1
= 𝛾𝑥
1
+ 𝑖 𝛽𝛾𝑥
4
𝑥
′
4
= 𝛾𝑥
4
− 𝑖 𝛽𝛾𝑥
1
可以将其写为张量的形式
𝑥
′
𝜇
= 𝑎
𝜇
𝜈
𝑥
𝜈
, 𝑥
𝜇
=
˜
𝑎
𝜇
𝜈
𝑥
′
𝜈
其中
𝑎
𝜇
𝜈
≡
𝛾 0 0 −𝑖𝛽𝛾
0 1 0 0
0 0 1 0
𝑖𝛽𝛾 0 0 𝛾
,
˜
𝑎
𝜇
𝜈
≡
𝛾 0 0 −𝑖𝛽𝛾
0 1 0 0
0 0 1 0
𝑖𝛽𝛾 0 0 𝛾
实际上
˜
𝑎 = 𝑎
−1
,
˜
𝑎 = 𝑎
𝑇
3 四维时空的物理量
3.1 物理量的分类
四维时空中的坐标系旋转就是惯性系的变换, 其中中的物理量也由同样的分类
1. 标量 (0 阶张量): 惯性系之间变换时, 数值不变
𝐴 = 𝐴
′
2. 矢量 (1 阶张量): 惯性系之间变换时, 按洛伦兹变换
𝐴
′
𝜇
= 𝑎
𝜇
𝜈
𝐴
𝜈
3. 张量 (2 阶张量): 惯性系之间变换时, 按两重洛伦兹变换
𝐴
′
𝜇
𝜈
= 𝑎
𝜇
𝛼
𝐴
𝛼
𝛽
𝑎
𝛽
𝜈
此处需要注意,𝑎
𝛽
𝛼
是对 𝛼 指标进行变换的张量, 而 𝑎
𝜇
𝜈
是对 𝜇 指标进行变换的张量, 它们不是同一个
张量
若方程中各项具有相同的类别, 则经过惯性系转换后形式保持不变, 则方程在洛伦兹变换下是协变的. 该
方程表达的物理规律符合相对性原理
𝐹
𝜇𝜈
= 𝐺
𝜇𝜈
⇒ 𝐹
′
𝜇𝜈
= 𝑎
𝛼
𝜇
𝑎
𝛽
𝜈
𝐹
𝛼𝛽
= 𝑎
𝛼
𝜇
𝑎
𝛽
𝜈
𝐺
𝛼𝛽
= 𝐺
′
𝜇𝜈
正如三维矢量一样, 四维矢量的模长应当是一个标量, 这是因为
𝐴
′
𝜇
𝐴
′
𝜇
= (𝑎
𝜈
𝜇
𝐴
𝜈
)(𝑎
𝜇
𝛼
𝐴
𝛼
) = 𝐴
𝜈
𝑎
𝜈
𝜇
𝑎
𝜇
𝛼
𝐴
𝛼
由于 𝑎
𝜈
𝜇
与 𝑎
𝜇
𝛼
分别是对下标和上标的变换, 因而它们是互逆的关系, 即
𝑎
𝜈
𝜇
𝑎
𝜇
𝛼
= 𝛿
𝜈
𝛼
那么
𝐴
′
𝜇
𝐴
′
𝜇
= 𝐴
𝜈
𝛿
𝜈
𝛼
𝐴
𝛼
= 𝐴
𝜈
𝐴
𝜈
那么它就是一个标量
3.2 四维间隔 (标量)
如前文所述, 四维间隔 𝑠 与参考系无关, 显然它应该是一个标量. 让我们再次写出它的定义
𝑠
2
= 𝑥
𝜇
𝑥
𝜇
= 𝑥
2
+ 𝑦
2
+ 𝑧
2
− 𝑐
2
𝑡
2
3.3 固有时间 (标量)
固有时间 𝜏 定义为粒子在自身静止坐标系中的时间, 它显然与参考系无关, 因而也是一个标量
记粒子参考系为 𝑆
′
, 静止系为 𝑆, 那么两个参考系中的时间由洛伦兹变换联系
𝑡 = 𝛾
𝑡
′
+
𝑣
𝑐
2
𝑥
′
那么微分就有
d𝑡 = 𝛾d𝑡
′
+ 𝛾
𝑣
𝑐
2
d𝑥
′
时钟位置与物体保持相对静止, 也就是说 𝑆
′
系中时钟位置保持不变, 即 d𝑥
′
= 0, 代入得到
d𝑡 = 𝛾d𝑡
′
此时 d𝑡
′
即为固有时间 d𝜏, 即
d𝜏 =
1
𝛾
d𝑡
3.4 静止质量 (标量)
静止质量 𝑚
0
是粒子在自身静止坐标系中的质量, 它显然与参考系无关, 因而也是一个标量
3.5 四维坐标 (矢量)
洛伦兹变换描述的就是四维坐标的变换, 因而四维坐标是一个矢量. 在此再次写出四维坐标的定义
𝑥
𝜇
≡ (𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑥
3
, 𝑥
4
) = (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑖𝑐𝑡)
3.6 四维速度 (矢量)
3.6.1 速度变换
由洛伦兹变换
𝑥
′
1
= 𝛾𝑥
1
+ 𝑖 𝛽𝛾𝑥
4
𝑥
′
4
= 𝛾𝑥
4
− 𝑖 𝛽𝛾𝑥
1
即
𝑥
′
= 𝛾(𝑥 − 𝑣𝑡), 𝑡
′
= 𝛾(𝑡 − 𝑣𝑥/𝑐
2
)
那么对其求导得到
d𝑥
′
= 𝛾(d𝑥 − 𝑣d𝑡), d𝑡
′
= 𝛾(d𝑡 − 𝑣d𝑥/𝑐
2
)
因而
d𝑥
′
d𝑡
′
=
d𝑥 − 𝑣d𝑡
d𝑡 − 𝑣d𝑥/𝑐
2
=
d𝑥
d𝑡
− 𝑣
1 − 𝑣
d𝑥
d𝑡
/𝑐
2
=
𝑢
𝑥
− 𝑣
1 − 𝑣𝑢
𝑥
/𝑐
2
同理可以得到 𝑦
′
, 𝑧
′
方向的速度, 写在一起即
𝑢
′
𝑥
=
𝑢
𝑥
− 𝑣
1 − 𝑣𝑢
𝑥
/𝑐
2
, 𝑢
′
𝑦
=
𝑢
𝑦
𝛾(1 − 𝑣𝑢
𝑥
/𝑐
2
)
, 𝑢
′
𝑧
=
𝑢
𝑧
𝛾(1 − 𝑣𝑢
𝑥
/𝑐
2
)
3.6.2 四维速度
传统意义上的速度并不具备四维时空物理量的性质, 希望找到四维速度使之在不同参考系下的变换是洛
伦兹变换
四维坐标的变换满足洛伦兹变换, 那么它的微分也应当满足洛伦兹变换
d𝑥
𝜇
≡ (d𝑥
1
, d𝑥
2
, d𝑥
3
, d𝑥
4
) = (𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧, 𝑖𝑐𝑑𝑡)
还需要一个时间的微分. 正好固有时间 𝜏 与参考系无关, 那么除以 d𝜏 就得到了期望中的四维速度
𝑢
𝜇
=
d𝑥
𝜇
d𝜏
由微分的传递性, 可以得到四维速度与传统意义上速度的关系
𝑢
𝜇
=
d𝑥
𝜇
d𝜏
=
d𝑥
𝜇
d𝑡
d𝑡
d𝜏
= 𝛾
d𝑥
𝜇
d𝑡
因而
𝑢
𝜇
≡ (𝑢
1
, 𝑢
2
, 𝑢
3
, 𝑢
4
) = 𝛾(𝑢
𝑥
, 𝑢
𝑦
, 𝑢
𝑧
, 𝑖𝑐)
3.7 四维动量 (矢量)
从四维速度出发, 由于静止质量与参考系无关, 那么可以如下构造四维动量, 它在不同参考系下的变换也
是洛伦兹变换
𝑝
𝜇
= 𝑚
0
𝑢
𝜇
它与传统意义上的动量的关系为
𝑝
𝜇
= 𝑚
0
𝑢
𝜇
= 𝑚
0
𝛾(𝑢
𝑥
, 𝑢
𝑦
, 𝑢
𝑧
, 𝑖𝑐) = 𝛾 ( 𝑝
𝑥
, 𝑝
𝑦
, 𝑝
𝑧
, 𝑖𝑚
0
𝑐)
3.8 四维力 (矢量)
类似于四维速度的构造方式, 由于四维动量的变换是洛伦兹变换, 那么四维动量的微分应当也是洛伦兹变
换, 再除以固有时间的微分, 定义四维力
𝐾
𝜇
=
d𝑝
𝜇
d𝜏
3.9 四维微商
定义四维微商算符
𝜕
𝜇
=
𝜕
𝜕𝑥
𝜇
它是一个矢量, 在某个给定的的参考系下, 它写为
𝜕
𝜇
=
∇,
1
𝑖𝑐
𝜕
𝜕𝑡
四维微商算符作用在标量场上具有矢量性质
𝜕𝜑
𝜕𝑥
𝜇
′
=
𝜕𝜑
′
𝜕𝑥
′
𝜇
=
𝜕𝜑
𝜕𝑥
′
𝜇
=
𝜕𝜑
𝜕𝑥
𝜈
𝜕𝑥
𝜈
𝜕𝑥
′
𝜇
=
˜
𝑎
𝜈𝜇
𝜕𝜑
𝜕𝑥
𝜈
= 𝑎
𝜇𝜈
𝜕𝜑
𝜕𝑥
𝜈
作用在矢量场上, 各分量
𝜕 𝐴
𝜇
𝜕𝑥
𝜇
具有标量性质
𝜕 𝐴
𝜇
𝜕𝑥
𝜇
′
=
𝜕 𝐴
′
𝜇
𝜕𝑥
′
𝜇
=
𝜕
𝜕𝑥
′
𝜇
𝑎
𝜇𝜈
𝐴
𝜈
= 𝑎
𝜇𝜈
𝜕 𝐴
𝜈
𝜕𝑥
𝜆
𝜕𝑥
𝜆
𝜕𝑥
′
𝜇
= 𝑎
𝜇𝜈
˜
𝑎
𝜆𝜇
𝜕 𝐴
𝜈
𝜕𝑥
𝜆
= 𝐼
𝜈𝜆
𝜕 𝐴
𝜈
𝜕𝑥
𝜆
=
𝜕 𝐴
𝜈
𝜕𝑥
𝜈
作用在矢量场上,
𝜕 𝐴
𝜇
𝜕𝑥
𝜈
具有张量性质
𝜕 𝐴
𝜇
𝜕𝑥
𝜈
′
= 𝑎
𝜇 𝛼
𝑎
𝜈𝛽
𝜕 𝐴
𝛼
𝜕𝑥
𝛽
可以定义 d’Alembert 算符
□ = 𝜕
𝜇
𝜕
𝜇
= ∇
2
−
1
𝑐
2
𝜕
𝜕𝑡
它是一个标量算符, 在任意惯性系下具有相同的形式
4 相对论力学
4.1 四维动量与三维动量和三维力
考察四维力
𝐾
𝜇
=
d𝑝
𝜇
d𝜏
=
d𝑝
𝜇
d𝑡
d𝑡
d𝜏
= 𝛾
d𝑝
𝜇
d𝑡
注意此处用到了
d𝑡
d𝜏
= 𝛾, 它的定义需要明确
𝛾 =
1
r
1 −
𝑣
2
𝑐
2
此时的两个参考系为物体静止参考系 𝑆
′
和观察者参考系 𝑆,
𝑣 即为物体相对于观察者的速度
由于四维动量满足
𝑝
𝜇
≡ ( 𝑝
1
, 𝑝
2
, 𝑝
3
, 𝑝
4
) = 𝑚
0
𝛾(𝑣
𝑥
, 𝑣
𝑦
, 𝑣
𝑧
, 𝑖𝑐)
前三维与传统意义上的动量相差系数 𝛾. 在低速情况下 𝛾 → 1, 它将变为传统意义上的动量. 因而不妨认
为四维动量的前三维正是三维空间中能够观测到的动量, 即
p = (𝑝
1
, 𝑝
2
, 𝑝
3
) = 𝛾𝑚
0
(𝑣
𝑥
, 𝑣
𝑦
, 𝑣
𝑧
) = 𝛾𝑚
0
v
若仍要采取传统的力学观点, 认为 p = 𝑚u, 那么只能认为质量发生改变
𝑚 = 𝛾𝑚
0
此时前三维的力学方程为
𝐾
𝜇
= 𝛾
dp
d𝑡
= 𝛾F , 𝜇 = 1, 2, 3
F 即为传统意义上的力, 也就是按照牛顿力学规律能测量得到的力
4.2 四维动量与能量
希望考察四维动量第四维的物理意义, 设第四维有形式
𝑝
4
= −𝑖𝑚
0
𝛾𝑐 ≡ −𝑖
𝑊
𝑐
四维动量的模长是一个标量. 求其模平方为
𝑝
𝜇
𝑝
𝜇
= 𝑝
2
−
𝑊
2
𝑐
2
标量与参考系无关, 那么它的值应当与相对静止的参考系中的值相同. 在相对静止的参考系中, 显然有
𝑢
𝑥
= 𝑢
𝑦
= 𝑢
𝑧
= 0, 𝛾 = 1, 那么
𝑝
𝜇
𝑝
𝜇
= −𝑚
2
0
𝑐
2
因而
𝑝
2
−
𝑊
2
𝑐
2
= −𝑚
2
0
𝑐
2
解得
𝑊 =
q
𝑝
2
𝑐
2
+ 𝑚
2
0
𝑐
4
为了考察它的物理意义, 对其作微分
d𝑊
d𝑡
=
d
d𝑡
q
𝑝
2
𝑐
2
+ 𝑚
2
0
𝑐
4
=
d
d𝑡
q
p
2
𝑐
2
+ 𝑚
2
0
𝑐
4
=
𝑐
2
p
𝑊
·
dp
d𝑡
考虑到
𝑊 = 𝛾𝑚
0
𝑐
2
= 𝑚𝑐
2
, p = 𝑚v
那么
d𝑊
d𝑡
=
𝑚v
𝑚
·
dp
d𝑡
= v ·
dp
d𝑡
= v · F
非常显然地,𝑊 就是能量. 在与物体相对静止的参考系中, 有
𝑊
0
= 𝑚
0
𝑐
2
此时不应该有动能, 认为 𝑊
0
是物体的静能, 那么余下的部分就应该是物体因为运动而具有的动能
𝐸
𝑘
= 𝑊 − 𝑊
0
= (𝑚 − 𝑚
0
)𝑐
2
在低速情形下, 将其按小量 𝑣 展开并舍去高阶小量, 得到
𝐸
𝑘
=
1
2
𝑚𝑣
2
这正是牛顿力学给出的动能
