带电粒子与电磁场的相互作用
目录
1
1 运动粒子产生的电磁势
带电粒子沿某个特定轨道运动, 设其位矢与时间 𝑡 有关
x ≡ x
q
(𝑡)
由于波的传播需要时间, 在 𝑡 时刻场点 x 处收到的场应该是粒子在较早时刻 𝑡
∗
产生的. 场经过时间 𝑡 − 𝑡
∗
才到达场点, 走过的距离即为 𝑡
∗
时刻的粒子到场点的距离, 场的传播速度为光速, 则
𝑅
∗
=
x − x
q
(𝑡
∗
)
= 𝑐(𝑡 − 𝑡
∗
)
也就是
𝑡 = 𝑡
∗
+
𝑅
∗
𝑐
以下用 * 代指 𝑡
∗
时刻的物理量. 由推迟势公式
𝜑(x, 𝑡) =
𝑉
𝜌
x
′
, 𝑡 −
𝑟
𝑐
4𝜋𝜀
0
𝑟
d𝑉
0
A(x, 𝑡) =
𝑉
𝜇
0
J
x
′
, 𝑡 −
𝑟
𝑐
4𝜋𝑟
d𝑉
0
由于 J = 𝜌v, 那么势场依赖于速度而不是加速度. 考虑点粒子,在粒子静止参考系中观察,(x
′
, 𝑡
0
) 点的势场
就是静止粒子的势
𝜑
0
=
1
4𝜋𝜀
0
𝑞
𝑅
0∗
, A
0
= 0
其中 𝑅
0
∗
是在粒子静止参考系中粒子到场点的距离. 假定在 𝑡
∗
时刻静止系中观察到粒子的速度为 v
∗
, 相
对地粒子静止参考系观察到场点的速度也为 v
∗
, 利用洛伦兹变换得到静止参考系中的势
𝜑 = 𝛾
∗
𝜑
0
=
𝑞𝛾
∗
4𝜋𝜀
0
𝑅
0∗
, A =
v
∗
𝑐
2
𝜑
其中
𝛾
∗
=
1
1 −
𝑣
∗2
𝑐
2
𝑅
0∗
= 𝑐(𝑡
0
− 𝑡
0∗
) 由洛伦兹变换与静止系中的物理量联系
𝑅
0∗
= 𝑐(𝑡
0
− 𝑡
0
∗
) = 𝛾
∗
𝑐(𝑡 − 𝑡
∗
) −
v
∗
· (x − x
∗
)
𝑐
= 𝛾
∗
𝑅
∗
−
v
∗
· R
∗
𝑐
≡ 𝛾
∗
𝑠
∗
其中
𝑠
∗
= 𝑅
∗
−
v
∗
· R
∗
𝑐
= 𝑅
∗
1 −
v
∗
R
∗
𝑐𝑅
∗
得到李纳-维谢尔势
𝜑(r, 𝑡) =
𝑞
4𝜋𝜀
0
1
𝑠
∗
A(r, 𝑡) =
𝑞
4𝜋𝜀
0
v
∗
𝑐
2
𝑠
∗
其中
v
∗
≡
dx(𝑡
∗
)
d𝑡
∗
, R
∗
= x − x(𝑡
∗
), 𝑡
∗
= 𝑡 −
𝑅
∗
𝑐
𝑡
∗
包含了时空坐标 (x, 𝑡), 微商要考虑复合函数运算
若 𝑓 ≡ 𝑓 (r, 𝑡
∗
(x, 𝑡)), 则
∇ 𝑓 = ∇
∗
𝑓 +
𝜕 𝑓
𝜕𝑡
∗
∇𝑡
∗
其中 ∇
∗
𝑓 为视 𝑡
∗
为常数的微分运算
𝜕𝑡
∗
𝜕𝑡
= 1 −
1
𝑐
𝜕𝑅
∗
𝜕𝑡
= 1 −
1
𝑐
𝜕𝑡
∗
𝜕𝑡
𝜕𝑅
∗
𝜕𝑡
= 1 +
1
𝑐
𝜕𝑡
∗
𝜕𝑡
v
∗
· R
∗
𝑅
∗
得到
𝜕𝑡
∗
𝜕𝑡
=
1 −
R
∗
𝑅
∗
·
v
∗
𝑐
=
𝑅
∗
𝑠
∗
∇𝑡
∗
= −
1
𝑐
∇𝑅
∗
= −
1
𝑐
∇
∗
𝑅
∗
+
𝜕𝑅
∗
𝜕𝑡
∗
∇𝑡
∗
= −
1
𝑐
R
∗
𝑅
∗
−
v
∗
· R
∗
∇
𝑡
∗
得到
∇𝑡
∗
= −
1
𝑐
R
∗
𝑅
∗
1 −
R
∗
𝑅
∗
·
v
∗
𝑐
−1
= −
R
∗
𝑐𝑠
∗
考察运动粒子产生的电磁场
E = −∇𝜑 −
𝜕A
𝜕𝑡
, B = ∇ × A
代入李纳-维谢尔势
E(r, 𝑡) =
𝑞
4𝜋𝜀
0
𝑠
∗2
∇𝑠
∗
−
1
𝑐
2
𝜕𝑠
∗
𝜕𝑡
v
∗
−
𝑠
∗
𝑐
2
𝜕v
∗
𝜕𝑡
其中
∇𝑠
∗
= ∇
∗
𝑠
∗
+
𝜕𝑠
∗
𝜕𝑡
∗
∇𝑡
∗
=
R
∗
𝑅
∗
−
v
∗
𝑐
−
R
∗
𝑐𝑠
∗
−
R
∗
𝑅
∗
+
v
∗
𝑐
· v
∗
−
𝑅
∗
· a
∗
𝑐
1
𝑐
2
𝜕𝑠
∗
𝜕𝑡
v
∗
=
1
𝑐
2
𝜕𝑡
∗
𝜕𝑡
𝜕𝑠
∗
𝜕𝑡
∗
v
∗
=
𝑅
∗
v
∗
𝑐
2
𝑠
∗
−
R
∗
𝑅
∗
+
v
∗
𝑐
· v
∗
−
𝑅
∗
· a
∗
𝑐
−
𝑠
∗
𝑐
2
𝜕v
∗
𝜕𝑡
= −
𝑠
∗
𝑐
2
𝜕𝑡
∗
𝜕𝑡
𝜕v
∗
𝜕𝑡
∗
= −
𝑅
∗
a
∗
𝑐
2
三项求和即为电场
E = ∇𝑠
∗
+
1
𝑐
2
𝜕𝑠
∗
𝜕𝑡
v
∗
−
𝑠
∗
𝑐
2
𝜕v
∗
𝜕𝑡
整理得到电场
E =
𝑞
4𝜋𝜀
0
𝑠
∗2
1 −
𝑣
∗2
𝑐
2
R
∗
−
𝑅
∗
𝑐
v
∗
+
𝑅
∗
𝑐
×
R
∗
−
𝑅
∗
𝑐
v
∗
× a
∗
B =
1
𝑐
R
∗
𝑅
∗
× E
电场分为两部分, 自场和辐射场.
自场与加速度无关, 粒子的辐射场与加速度有关
, 可以脱离粒子
自场为
E =
𝑞
4𝜋𝜀
0
𝑠
∗2
1 −
𝑣
∗2
𝑐
2
R
∗
−
𝑅
∗
𝑐
v
∗
辐射场为
E =
𝑞
4𝜋𝜀
0
𝑠
∗2
𝑅
∗
𝑐
×
R
∗
−
𝑅
∗
𝑐
v
∗
× a
∗
对应的磁场满足
B =
1
𝑐
R
∗
𝑅
∗
× E
2 匀速运动电荷产生的电磁场
匀速运动的电荷有 a
∗
= 0, v
∗
= v, 则
E =
𝑞
4𝜋𝜀
0
𝑠
∗2
1 −
𝑣
2
𝑐
2
R
∗
−
𝑅
∗
𝑐
v
∗
将 𝑂 点选在 𝑡 时刻电荷的位置, 则此时场点处的场是粒子在 𝑡
∗
时刻产生的. 有场点到 𝑡
∗
时刻粒子的距离
𝑅
∗
= 𝑐(𝑡 − 𝑡
∗
)
有 𝑡 时刻粒子 (即 𝑂 点) 到 𝑡
∗
时刻粒子的距离
𝑅
∗
0
= 𝑣(𝑡 − 𝑡
∗
)
因而
𝑅
∗
0
=
𝑣
𝑐
𝑅
∗
则 𝑂 点到场点的位矢 r 满足
r = R
∗
− R
∗
0
=
R
∗
−
𝑅
∗
𝑐
v
因而电场就可以写为
E =
𝑞
4𝜋𝜀
0
𝛾
2
𝑠
∗3
r
将 r 分解为平行 v 的分量 r
∥
和垂直 v 的分量 r
⊥
, 有
𝑅
∗2
= 𝑟
2
+
𝑅
∗
𝑣
𝑐
2
+
2𝑟
k
𝑅
∗
𝑣
𝑐
由于
𝑠
∗
= 𝑅
∗
1
−
v
∗
· R
∗
𝑐𝑅
∗
= 𝑅
∗
1
−
v · R
∗
𝑐𝑅
∗
那么
𝑠
∗
=
ˆ
R
∗
·
R
∗
−
𝑅
∗
𝑐
v
∗
=
ˆ
R
∗
· r
也就是说 𝑠
∗
是 r 在 R
∗
方向上的投影. 那么有三角形相似关系
𝑟
k
+ 𝑅
∗
𝑣/𝑐
𝑅
∗
=
𝑅
∗
− 𝑠
∗
𝑅
∗
𝑣/𝑐
因而就可以用 𝑟
k
与 𝑟
⊥
表示 𝑅
∗
𝑅
∗
=
1
1 −
𝑣
2
𝑐
2
𝑣
𝑐
𝑟
k
+
𝑟
2
−
𝑣
2
𝑐
2
𝑟
2
⊥
进而得到 𝑠
∗
𝑠
∗
=
𝑟
2
k
+
𝑟
2
⊥
𝛾
2
将其代入电场和磁场公式得到电场和磁场
E =
𝑞
4𝜋𝜀
0
𝛾r
𝑟
𝑝
𝑒𝑟 𝑝
2
+ 𝛾
2
𝑟
2
k
3/2
B =
1
𝑐
2
v × E
在低速时 𝑣/𝑐 << 1, 𝛾 ≈ 1, 则有
E =
𝑞
4𝜋𝜀
0
r
𝑟
3
, B =
𝜇
0
4𝜋
𝑞v × r
𝑟
3
若考察角向分布, 取 r 与 v 的夹角为 𝜃, 则
E =
𝑞
4
𝜋𝜀
0
𝛾
𝑟
2
(sin
2
𝜃 + 𝛾
2
cos
2
𝜃)
3/2
ˆr
3 粒子的辐射场
引用粒子辐射场的公式
E =
𝑞
4𝜋𝜀
0
𝑠
∗2
𝑅
∗
𝑐
×
R
∗
−
𝑅
∗
𝑐
v
∗
× a
∗
B =
1
𝑐
R
∗
𝑅
∗
× E
考虑到场点 𝑡 时刻接收到的电磁波是在 𝑡
∗
时刻产生的, 此时球面波的球心并不是粒子的位置, 而是粒子在
𝑡
∗
时刻的位置
,
因而用
𝑡
表示粒子的发射功率并不方便
,
应采用
𝑡
∗
表示
辐射场的能量密度为
𝑤 = 𝜀
0
𝐸
2
=
𝑞
2
16𝜋
2
𝜀
0
𝑐
4
𝑅
∗2
ˆ
R
∗
×
ˆ
R
∗
−
v
∗
𝑐
× a
2
1 −
v
∗
·
ˆ
R
∗
𝑐
6
有能流密度
S = E × H =
1
𝜇
0
E × B = 𝜖
0
𝑐𝐸
2
ˆr = 𝑤𝑐ˆr
3.1 辐射功率
3.1.1 接收功率
粒子在 𝑡
∗
时刻发出的信号在 𝑡 时刻到达场点, 波前是一个球面.d𝑡 时间内球面上流出的能量为
d𝑊 = (S · dσ)d𝑡
由于 𝑡
∗
∼ 𝑡 时间内波传播距离为
𝑅
∗
= 𝑐(𝑡 − 𝑡
∗
)
这就是球的半径, 有立体角 dΩ =
dσ
𝑅
∗2
, 那么
d𝑊 = (S ·
ˆ
R
∗
)𝑅
∗2
dΩd𝑡
因而接受功率为
d𝑃
dΩ
=
d𝑊
dΩd𝑡
= 𝑆𝑅
∗2
3.1.2 发射功率
由于粒子在运动, 考虑 𝑡 时刻的两个球面 𝑆
1
, 𝑆
2
, 它们收到的波分别是粒子在 𝑡
∗
与 𝑡
∗
+ d𝑡
∗
时刻发出的. 那
么粒子在 d𝑡
∗
时间内发出的能量就是两个球面之间的电磁能量
两个球面的球心相距 v
∗
d𝑡
∗
, 半径分别为 𝑅
∗
与 𝑅
0
∗
= 𝑅
∗
− 𝑐d𝑡
∗
, 由于 v
∗
d𝑡
∗
是小量, 认为 R
∗
与 R
′
∗
是平
行的. 以 𝑡
∗
时刻粒子位置为原点, 将 v
∗
d𝑡
∗
投影到 R
∗
上, 得到两球面间距
d𝑅
∗
= 𝑅
∗
−
(
𝑅
∗
− 𝑐d𝑡
∗
)
−
ˆ
R
∗
·
(
v
∗
d𝑡
∗
)
=
1 −
ˆ
R
∗
· v
∗
𝑐
𝑐d𝑡
∗
那么在 d𝑡
∗
时间内,dΩ 立体角内的能量为
d𝑊 = 𝑤d𝜎d𝑅
∗
= 𝑤𝑅
∗2
dΩd𝑅
∗
= 𝑆𝑅
∗2
d𝑡
∗
dΩ
单位时间内发射功率的立体角分布为
d𝑃
dΩ
=
d𝑊
dΩd𝑡
∗
= 𝑆𝑅
∗2
ˆ
R
∗
·
v
∗
𝑐
发射功率和接受功率有关系
d𝑃
发
d
Ω
=
d𝑃
收
d
Ω
ˆ
R
∗
·
v
∗
𝑐
将能流密度 𝑆 代入得到
d𝑃
发
dΩ
=
𝑞
2
16𝜋
2
𝜀
0
𝑐
3
ˆ
R
∗
×
ˆ
R
∗
−
v
∗
𝑐
× a
∗
2
1 −
v
∗
·
ˆ
R
∗
𝑐
5
4 相对论点电荷的辐射
方便起见, 下文物理量省略 * , 并定义如下符号
β ≡
v
𝑐
, n ≡
ˆ
R − β
辐功率角分布就写为
d𝑃
dΩ
=
𝑞
2
16𝜋
2
𝜀
0
𝑐
3
|
R × (n × a)
|
2
(
ˆ
R · n)
5
取 β 为极轴, 将 𝛽 与 a 所张平面定义为 𝑥𝑂𝑧 平面
β ≡ 𝛽ˆz, a ≡ 𝑎
⊥
ˆx + 𝑎
k
ˆz
那么
ˆ
R · n = 1 −
ˆ
R · β = 1 − 𝛽 cos 𝜃
辐射功率角分布就为
d𝑃
dΩ
=
𝑞
2
16𝜋
2
𝜀
0
𝑐
3
|
R × (n × a)
|
2
(1 − 𝛽 cos 𝜃)
5
4.1 加速度平行速度
若
a = 𝑎
k
ˆz
那么
ˆ
R × (n × a) = 𝑎
k
sin 𝜃
ˆ
θ
那么辐射功率角分布就是
d𝑃
dΩ
=
𝑞
2
16𝜋
2
𝜀
0
𝑐
3
𝑎
2
k
sin
2
𝜃
(1 − 𝛽 cos 𝜃)
5
定义角度因子
𝑔
k
(𝜃) =
sin
2
𝜃
(1 − 𝛽 cos 𝜃)
5
那么辐射功率角分布就是
d𝑃
dΩ
=
𝑞
2
𝑎
2
k
16𝜋
2
𝜀
0
𝑐
3
𝑔
k
(𝜃)
角度因子有最大值点
cos 𝜃
max
=
1 + 15𝛽
2
− 1
3𝛽
换为 𝛾 表示
cos 𝜃
max
=
4
1 −
15
16
𝛾
−2
− 1
3
1 − 𝛾
−2
极端相对论情形下 𝛾 >> 1, 有
cos 𝜃
max
≈ 1 −
1
8𝛾
2
因而
𝜃
max
≈
1
2𝛾
略加积分, 得到辐射总功率
𝑃
k
=
d𝑃
dΩ
dΩ =
𝑞
2
𝑎
2
k
6𝜋𝜀
0
𝑐
3
𝛾
6
当 𝛽 → 1 时 𝑃
k
→ ∞
在直线加速器中, 设粒子静质量为 𝑚
0
, 沿 𝑥 轴运动, 则力学方程为
F =
dp
d𝑡
=
d
d𝑡
(
𝛾𝑚
0
v
)
= 𝛾
3
𝑚a
代入 𝑃
k
的表达式得到
𝑃
k
=
𝑞
2
𝐹
2
6𝜋𝜀
0
𝑚
2
𝑐
3
当 𝐹 给定时, 辐射功率与粒子速度无关, 与质量的二次方成反比. 因而与质子相比, 电子的辐射损失大很
多
4.2 加速度与速度垂直
加速度与速度垂直, 即
a = 𝑎
⊥
ˆx
那么
ˆ
R × (n × a) = 𝑎
⊥
(𝛽 − cos 𝜃) cos 𝜃
ˆ
θ + 𝑎
⊥
(1 − 𝛽 cos 𝜃) sin 𝜑 ˆφ
辐射功率角分布就是
d𝑃
dΩ
=
𝑞
2
𝑎
2
⊥
16𝜋
2
𝜀
0
𝑐
3
𝑔
⊥
(𝜃)
1
(1 − 𝛽 cos 𝜃)
3
−
1
𝛾
2
sin
2
𝜃
(1 − 𝛽 cos 𝜃)
5
cos
2
𝜑
定义角度因子
𝑔
⊥
(𝜃) =
1
(1 − 𝛽 cos 𝜃)
3
−
1
𝛾
2
𝑔
k
(𝜃) cos
2
𝜑
那么辐射功率角分布就是
d𝑃
dΩ
=
𝑞
2
𝑎
2
⊥
16𝜋
2
𝜀
0
𝑐
3
𝑔
⊥
(𝜃)
粒子辐射在 𝜃 = 0, 也就是它的正前方辐射最强,𝛽 约大, 辐射越集中在前方
积分得到辐射总功率
𝑃
⊥
=
d𝑃
dΩ
dΩ =
𝑞
2
𝑎
2
⊥
6𝜋𝜀
0
𝑐
3
𝛾
4
当 𝛽 → 1 时 𝑃
⊥
→ ∞ , 在速度与加速度大小均相同时, 平行情况的辐射是垂直情况的 𝛾
2
倍
考虑圆形加速器中粒子的辐射损失, 设加速器半径为 𝑅, 那么同样
F = 𝛾𝑚
0
a, 𝑎 =
𝑣
2
𝑅
=
𝑐
2
𝛽
2
𝑅
代入得到
𝑃
⊥
=
𝑞
2
𝐹
2
6𝜋𝜀
0
𝑚
2
𝑐
3
𝛾
2
当 𝐹 给定时, 辐射功率与粒子速度正相关, 并且垂直情形的辐射损失是平行情形的 𝛾
2
倍. 当粒子动能给
定时, 辐射损失与粒子速度的四次方成反比
4.3 一般情形
一般情形下, 加速度既有平行分量又有垂直分量
a = 𝑎
k
ˆz + 𝑎
⊥
ˆx
那么
ˆ
R × (n × a) = 𝑎
k
sin 𝜃
ˆ
θ + 𝑎
⊥
(𝛽 − cos 𝜃) cos 𝜃
ˆ
θ + 𝑎
⊥
(1 − 𝛽 cos 𝜃) sin 𝜑 ˆφ
代入得到辐射功率角分布
d𝑃
dΩ
=
d𝑃
k
dΩ
+
d𝑃
⊥
dΩ
+
𝑞
2
𝑎
k
𝑎
⊥
8𝜋
2
𝜀
0
𝑐
3
(𝛽 − cos 𝜃) sin 𝜃 sin 𝜑
(1 − 𝛽 cos 𝜃)
5
积分即可得到总辐射功率
𝑃 =
d𝑃
dΩ
dΩ = 𝑃
k
+ 𝑃
⊥
=
𝑞
2
6𝜋𝜀
0
𝑐
3
𝛾
6
𝑎
2
k
+
𝑎
2
⊥
𝛾
2
鉴于
𝑎
2
k
+
𝑎
2
⊥
𝛾
2
= 𝑎
2
k
+ (1 − 𝛽
2
)𝑎
2
⊥
= 𝑎
2
−
|
β × a
|
2
那么辐射功率就可以写为
𝑃 =
𝑞
2
𝑎
2
6𝜋𝜀
0
𝑐
3
𝛾
6
1 −
ˆ
β × ˆa
2
这称为李纳公式
5 电磁质量与辐射阻尼
5.1 带电粒子的电磁质量
考虑非相对论情形. 质量为 𝑚
0
, 速度为 𝑣 的粒子具有动量和能量
p = 𝑚
0
v, 𝑇 =
1
2
𝑚
0
𝑣
2
若粒子速度改变, 外界需要提供冲量 Δp 和功 Δ𝑇. 若粒子带电, 匀速运动的粒子无辐射场, 全部电磁场为
自场, 自场具有动量 G 与能量 𝑊, 那么若粒子速度改变, 外界需要提供的冲量和功就需要考虑自场的动
量和能量的变化
由于携带自场, 带电粒子表现的惯性比原来的大, 附加的质量称为电磁质量. 自场的动量和能量有
G = 𝜖
0
E × Bd𝑉 = 𝛼v
𝑊 =
1
2
𝜖
0
(𝐸
2
+ 𝑐
2
𝐵
2
)d𝑉 = 𝑊
0
+
1
2
𝛼𝑣
2
, 𝛼
=
4𝑊
0
3𝑐
2
, 𝑊
0
=
1
2
𝜖
0
𝐸
2
d𝑉
其中 𝑊
0
是与粒子速度 𝑣 无关的能量, 即静电能量. 粒子速度改变则需要冲量与功
Δ(𝑚
0
v + 𝛼v), Δ
1
2
𝑚
0
𝑣
2
+
1
2
𝛼𝑣
2
也就是说粒子的实际能量变为了
𝑚 = 𝑚
0
+ 𝛼
那么运动方程应为
F = 𝑚
¤
v, 𝑎 = 𝑚
0
+ 𝛼
不可能通过质量的测量得到 m
0
与 𝛼
5.2 辐射阻尼
粒子辐射需要消耗自身能量, 这种现象称为辐射阻尼. 这可以看作辐射场对粒子有反作用, 称为辐射阻尼
力. 只有
1. 粒子从某匀速运动的初态变到另一个匀速运动的末态；
2. 在周期过程中，粒子附近的场恢复了原状时
辐射场的总能量才等于粒子克服辐射阻尼力所做的功, 进行积分得到
𝑡
0
+𝑇
𝑡
0
F
s
· vd𝑡 = −
𝑡
0
+𝑇
𝑡
0
𝑞
2
𝑎
2
6𝜋𝜀
0
𝑐
3
d𝑡 = −
𝑞
2
6𝜋𝜀
0
𝑐
3
a · v
𝑡
0
+𝑇
𝑡
0
+
𝑡
0
+𝑇
𝑡
0
𝑞
2
6𝜋𝜀
0
𝑐
3
¤
a · vd𝑡
当粒子运动一周时, 各物理量回到原值,RHS 第一项为零; 当始末都是匀速运动时,𝑎 = 0, 那么 RHS 第一
项为零. 因而可以取
F
s
=
𝑞
2
6𝜋𝜀
0
𝑐
3
¤
a
称为辐射阻尼力的阿伯拉罕-洛伦兹公式. 辐射阻尼力可以写为
F
s
= 𝑚𝜏
¤
a, 𝜏 =
𝑞
2
6𝜋𝜀
0
𝑚
0
𝑐
3
在考虑辐射阻尼的情形下, 受到外力 F
0
的粒子的运动方程应为
𝑚a = F
0
+ 𝑚𝜏
¤
a
