连续介质的拉格朗日函数
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1
对于一维均匀弹性棒, 认为其由很多质点组成. 对于编号为 𝑖 的质点
𝐿
𝑖
= 𝑇
𝑖
− 𝑉
𝑖
=
1
2
𝑚𝜂
2
𝑖
−
1
2
𝑘 (𝜂
𝑖+1
− 𝜂
𝑖
)
2
其中 𝜂
𝑖
是第 𝑖 个质点偏离平衡位置的距离,𝑘 为两个质点间” 弹簧” 的劲度系数
于是总的拉格朗日量为
𝐿 =
Õ
𝑖
𝑇
𝑖
− 𝑉
𝑖
=
1
2
𝑚 ¤𝜂
𝑖
2
−
1
2
Õ
𝑖
𝑘 (𝜂
𝑖+1
− 𝜂
𝑖
)
2
希望将其连续化
设一个质点间隔为 𝑎, 则线密度为
𝜌 =
𝑚
𝑎
拉氏量为
𝐿 =
1
2
𝑎
Õ
𝜌 ¤𝜂
𝑖
2
−
1
2
𝑘𝑎
2
𝜂
𝑖+1
− 𝜂
𝑖
𝑎
2
设 𝐸 为单位长度的劲度系数
𝐸 = 𝑎𝑘
将求和变为积分, 即
Õ
𝑖
()𝑎 →
∫
𝑑𝑥,
𝜂
𝑖+1
− 𝜂
𝑖
𝑎
=
𝜕𝜂
𝜕𝑥
于是拉氏量为
𝐿 =
1
2
∫
"
𝜌 ¤𝜂
2
− 𝐸
𝜕𝜂
𝜕𝑥
2
#
𝑑𝑥
𝜂 为位置和时间的函数
𝜂 ≡ 𝜂(𝑥, 𝑡)
记被积函数为拉格朗日密度
𝛼 =
1
2
𝜌 ¤𝜂
2
− 𝐸
𝜕𝜂
𝜕𝑥
2
!
将其推广到三维
𝐿 =
∭
𝛼
𝜂,
𝜕𝜂
𝜕𝑡
,
𝜕𝜂
𝜕𝑥
𝑗
, 𝑡, 𝑥
𝑗
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
3
, 𝑗 = 1, 2, 3
依然可以定义作用量
𝑆 =
∫
𝐿𝑑𝑡
变分为零
𝛿
∭
𝛼𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
3
𝑑𝑡 = 0
此时自变量不仅有 𝑡, 还有 𝑥, 则 𝛿𝑡 = 0, 𝛿𝑥 = 0
𝛿𝛼 =
𝜕𝛼
𝜕𝜂
𝛿𝜂 +
𝜕𝛼
𝜕
𝜕𝜂
𝜕𝛼
𝛿
𝜕𝜂
𝜕𝑡
+
Õ
𝑗
𝜕𝛼
𝜕
𝜕𝜂
𝜕𝑥
𝑗
𝛿
𝜕𝜂
𝜕𝑥
𝑗
有
𝜕𝛼
𝜕
𝜕𝜂
𝜕𝑡
𝛿
𝜕𝜂
𝜕𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝛼
𝜕
𝜕𝜂
𝜕𝑡
𝛿𝜂
!
−
𝜕
𝜕𝑡
𝜕𝛼
𝜕
𝜕𝜂
𝜕𝑡
!
𝛿𝜂
前一项是时间的全导数, 积分后等于零. 考察 𝛼 中的求和项
∭
Õ
𝑗
𝜕𝛼
𝜕
𝜕𝜂
𝜕𝑥
𝑗
𝛿
𝜕𝜂
𝜕𝑥
𝑗
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
3
=
∭
Õ
𝜕
𝜕𝑥
𝑗
©
«
𝜕𝛼
𝜕
𝜕𝜂
𝜕𝑥
𝑗
𝛿𝜂
ª
®
¬
−
𝜕
𝜕𝑥
𝑗
©
«
𝜕𝛼
𝜕
𝜕𝜂
𝜕𝑥
𝑗
ª
®
¬
𝛿𝜂
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
3
前一项是散度, 利用斯托克斯定理, 得到
∯
𝜕𝛼
𝜕
𝜕𝜂
𝜕𝑥
𝑗
𝛿𝜂𝑑𝑆 −
∭
Õ
𝜕
𝜕𝑥
𝑗
𝜕𝛼
𝜕
𝜕𝜂
𝜕𝑥
𝑗
𝛿𝜂𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
3
认为边界上都是平衡位置,𝛿𝜂 = 0, 那么第一项为零. 那么综合起来拉格朗日方程就写为
𝜕𝛼
𝜕𝜂
−
𝜕
𝜕𝑡
𝜕𝜂
𝜕
𝜕𝜂
𝜕𝑡
−
Õ
𝑗
𝜕
𝜕𝑥
𝑗
𝜕𝛼
𝜕
𝜕𝜂
𝜕𝑥
𝑗
= 0
对于前文讨论的一维棒
𝛼 =
1
2
𝜌 ¤𝜂
2
− 𝐸
𝜕𝜂
𝜕𝑥
2
!
于是得到
𝜕𝛼
𝜕𝜂
= 0,
𝜕𝛼
𝜕 ¤𝜂
= 𝜌 ¤𝜂 ,
𝜕𝛼
𝜕
𝜕𝜂
𝜕𝑥
= −𝐸
𝜕𝜂
𝜕𝑥
运动方程就是
𝜌
𝜕
2
𝜂
𝜕𝑡
2
− 𝐸
𝜕
2
𝜂
𝜕𝑥
2
= 0
解得
𝜂 = 𝜂
1
𝑥 −
s
𝐸
𝜌
𝑡
!
+ 𝜂
2
𝑥 +
s
𝐸
𝜌
𝑡
!
