运动方程的积分
目录
1 一维运动 2
1.1 振动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 根据运动周期确定势能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 二体问题与约化质量 2
3 有心力场内的运动 3
4 开普勒问题 4
4.1 轨道方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2 参数方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.3 相斥场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.4 运动积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1
1 一维运动
1.1 振动
一个自由度系统的运动称为一维运动. 若系统处于定常外部条件下, 拉格朗日函数的一般形式为
𝐿 =
1
2
𝑎(𝑞) ¤𝑞
2
−𝑈(𝑞)
若 𝑞 为笛卡尔坐标 (取为 𝑥) 则
𝐿 =
𝑚 ¤𝑥
2
2
−𝑈(𝑥)
由能量守恒定律得到
𝑚 ¤𝑥
2
2
+𝑈(𝑥) = 𝐸
解得
𝑡 =
r
𝑚
2
∫
𝑑𝑥
p
𝐸 −𝑈 (𝑥)
+𝐶
由于动能为正, 总能量须大于势能, 故运动只能发生在 𝑈(𝑥) < 𝐸 的空间区域, 势能等于总能量的点确定了
运动的边界
一维有界运动是振动, 振动周期为
𝑇 (𝐸) =
√
2𝑚
∫
𝑥
2
)(𝐸 )
𝑥
1
(𝐸 )
𝑑𝑥
p
𝐸 −𝑈 (𝑥)
1.2 根据运动周期确定势能
根据运动周期确定势能即认为 𝑈 (𝑥) 为未知数,𝑇 (𝑥) 已知, 求解该积分方程. 为求解方便, 认为 𝑈 (𝑥) 在空
间中只有一个极小值, 且极小值为 0, 将该点选为坐标原点
做变换
𝑑𝑥 =
𝑑𝑥
𝑑𝑈
𝑑𝑈
则原积分变为两个积分的和 (双值). 经过变形即可得到
𝑥
2
(𝑈) − 𝑥
1
(𝑈) =
1
𝜋
√
2𝑚
∫
𝑈
0
𝑇 (𝐸)𝑑𝐸
√
𝑈 − 𝐸
若还认为 𝑈(𝑥) 关于 𝑈 轴对称, 那么就有
𝑥(𝑈) =
1
2𝜋
√
2𝑚
∫
𝑈
0
𝑇 (𝐸)𝑑𝐸
√
𝑈 − 𝐸
2 二体问题与约化质量
相互作用的两个质点的势能仅依赖于它们之间的距离, 那么拉格朗日函数为
𝐿 =
𝑚
1
¤
®𝑟
2
1
2
+
𝑚
2
¤
®𝑟
2
2
2
−𝑈(
|
®𝑟
1
− ®𝑟
2
|
)
引入相对位矢
®𝑟 = ®𝑟
1
− ®𝑟
2
取质心为坐标原点
𝑚
1
®𝑟
1
+ 𝑚
2
®𝑟
2
= 0
那么就可以得到
𝑚
2
𝑚
1
+ 𝑚
2
®𝑟, ®𝑟
2
=
𝑚
1
𝑚
1
+ 𝑚
2
®𝑟
代入拉格朗日函数得到
𝐿 =
𝑚
¤
®𝑟
2
2
−𝑈(𝑟)
其中 𝑚 为约化质量
𝑚 =
𝑚
1
𝑚
2
𝑚
1
+ 𝑚
2
该拉格朗日函数形式上与在外场 𝑈 中运动的一个质点形式上相同
3 有心力场内的运动
有心力场即质点的势能只与质点到某一固定点的距离有关, 即
®
𝐹 = −
𝜕𝑈 (𝑟)
𝜕®𝑟
= −
𝑑𝑈
𝑑𝑟
®𝑟
𝑟
大小仅依赖于 𝑟, 方向总是沿着质点的矢径
由于对称性, 对于有对称轴的力场, 角动量在对称轴上的投影守恒. 对于有心力场, 对场中心的角动量守
恒, 对质点而言
®
𝑀 = ®𝑟 × ®𝑝
由于
®
𝑀 与 ®𝑟 垂直,
®
𝑀 守恒即 ®𝑟 始终在一个平面内且该平面垂直于
®
𝑀. 引入极坐标写出拉格朗日函数
𝐿 =
𝑚
2
(¤𝑟
2
+𝑟
2
¤𝜑
2
) −𝑈(𝑟)
注意到该式不显含 𝜑, 则有
𝜕𝐿
𝜕𝜑
= 0
由拉格朗日方程得到
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝜑
= 0
也就是
𝑀 = 𝑚𝑟
2
¤𝜑 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
得到了角动量守恒. 同时也可以理解为质点的掠面速度为常数 (开普勒第二定律)
代入能量的表达式得到
𝐸 =
𝑚 ¤𝑟
2
2
+
𝑀
2
2𝑚𝑟
+𝑈(𝑟)
解得
𝑡 =
∫
𝑑𝑟
r
2
𝑚
[𝐸 −𝑈 (𝑟)] −
𝑀
2
𝑚
2
𝑟
2
+𝐶
做变换
𝑑𝜑 =
𝑀
𝑚𝑟
2
𝑑𝑡
得到
𝜑 =
∫
(𝑀/𝑟
2
)𝑑𝑟
p
2𝑚[𝐸 −𝑈 (𝑟)] − 𝑀
2
/𝑟
2
+𝐶
即轨道方程. 若将径向运动视为一个一维运动, 则其势能为
𝑈
𝑒 𝑓 𝑓
= 𝑈 (𝑟) +
𝑀
2
2𝑚𝑟
2
称为有效势能, 后一项称为离心势能. 可以由此给出运动的范围 𝑟
𝑚𝑎 𝑥
与 𝑟
𝑚𝑖𝑛
.
矢径 𝑟 从 𝑟
𝑚𝑎 𝑥
变到 𝑟
𝑚𝑖𝑛
再变回 𝑟
𝑚𝑎 𝑥
转过的角度为
Δ𝜑 = 2
∫
𝑟
𝑚𝑎 𝑥
𝑟
𝑚𝑖𝑛
(𝑀/𝑟
2
)𝑑𝑟
p
2𝑚[𝐸 −𝑈 (𝑟)] − 𝑀
2
/𝑟
2
若为 2𝜋 的有理数倍, 则轨道封闭; 若不是, 则轨道不是封闭的. 只有两种类型的有心力场其中的一切有界
运动是封闭的, 这两种场的势能与
1
𝑟
或 𝑟
2
成正比
注意到 𝑟 → 0 时离心势能趋于正无穷, 因此通常质点不会经过场中心. 由不等式
𝐸 −𝑈 ( 𝑟) −
𝑀
2
2𝑚𝑟
2
> 0
得到 𝑟 可能趋于零的条件
𝑟
2
𝑈(𝑟)
𝑟→0
< −
𝑀
2
2𝑚
4 开普勒问题
4.1 轨道方程
对于引力场, 设
𝑈 = −
𝛼
𝑟
那么有效势能为
𝑈
𝑒 𝑓 𝑓
=
−
𝛼
𝑟
𝑀
2
2𝑚𝑟
2
可见当 𝐸 > 0 时轨道无界,𝐸 < 0 时轨道有界
将势能表达式代入轨道方程, 积分得到
𝜑 = arccos
𝑀/𝑟 − 𝑚𝛼 /𝑀
p
2𝑚𝐸 + 𝑚
2
𝛼
2
/𝑀
2
+𝐶
选择 𝜑 起始位置使得 𝐶 为零, 并记
𝑝 =
𝑀
2
𝑚𝛼
, 𝑒 =
r
1 +
2𝐸 𝑀
2
𝑚𝛼
2
轨道方程就写为
𝑝
𝑟
= 1 + 𝑒 cos 𝜑
这是焦点位于原点的圆锥曲线
当 𝐸 < 0 时 𝑒 < 1, 轨道为椭圆, 且有
𝑎 =
𝑝
1 − 𝑒
2
=
𝛼
2
|
𝐸
|
, 𝑏 =
𝑝
√
1 − 𝑒
2
=
𝑀
p
2𝑚
|
𝐸
|
运用面积积分形式的角动量守恒, 从 0 到 𝑇 积分得到
2𝑚𝑆 = 𝑇 𝑀, 𝑆 = 𝜋𝑎𝑏
得到
𝑇 = 𝜋𝛼
r
𝑚
2
|
𝐸
|
3
若 𝐸 > 0, 则 𝑒 > 1, 轨道为原点为内焦点的双曲线; 若 𝐸 = 0 则为抛物线, 当质点自无穷远处从静止开始
运动, 则出现这种情况
4.2 参数方程
对于椭圆轨道, 利用 𝑎 与 𝑒, 可以将时间积分写为
𝑡 =
r
𝑚𝑎
𝛼
∫
𝑟𝑑𝑟
p
𝑎
2
𝑒
2
− (𝑟 − 𝑎)
2
做变换
𝑟 − 𝑎 = −𝑎𝑒 cos 𝜉
就可以得到
𝑡 =
r
𝑚𝑎
3
𝛼
(𝜉 − 𝑒 sin 𝜉) +𝐶
选择时间起点使得 𝐶 = 0, 可得参数方程
𝑟 = 𝑎(1 − 𝑒 cos 𝜉), 𝑡 =
r
𝑚𝑎
3
𝛼
(𝜉 − 𝑒 sin 𝜉)
代入轨道方程, 再利用 𝑥
2
+ 𝑦
2
= 𝑟
2
得到笛卡尔坐标
𝑥 = 𝑎(cos 𝜉 − 𝑒), 𝑦 = 𝑎
√
1 − 𝑒
2
sin 𝜉
沿椭圆轨道运动一圈对应着参数 𝜉 从 0 到 2𝜋
对于双曲线轨道, 也可计算得到
𝑟 = 𝑎(𝑒 cosh 𝜉 − 1), 𝑡 =
r
𝑚𝑎
3
𝛼
(𝑒 sinh 𝜉 − 𝜉)
𝑥 = 𝑎(𝑒 − cosh 𝜉), 𝑦 = 𝑎
√
𝑒
2
− 1 sin 𝜉
其中 𝜉 取值从 −∞ 到 +∞
4.3 相斥场
设势能为
𝑈 =
𝛼
𝑟
则有效势能为
𝑈
𝑒 𝑓 𝑓
=
𝛼
𝑟
+
𝑀
2
2𝑚𝑟
2
计算得知轨道为双曲线
𝑝
𝑟
= −1 + 𝑒 cos 𝜑
运动与时间的关系有参数方程
𝑟 = 𝑎(𝑒 cosh 𝜉 + 1), 𝑡 =
r
𝑚𝑎
3
𝛼
(
𝑒
sinh
𝜉
+
𝜉
)
𝑥 = 𝑎(𝑒 + cosh 𝜉), 𝑦 = 𝑎
√
𝑒
2
− 1 sin 𝜉
4.4 运动积分
设有心力场 (符号任意)
𝑈 =
𝛼
𝑟
则有
®𝑣 ×
®
𝑀 +
𝛼®𝑟
𝑟
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
因为对时间求导得到
¤
®𝑣 ×
®
𝑀 +
𝛼®𝑣
𝑟
−
𝛼®𝑟 (®𝑣 · ®𝑟)
𝑟
3
将 𝑀 = 𝑚®𝑟 × ®𝑣 代入得到
𝑚®𝑟 (®𝑣 ·
¤
®𝑣) − 𝑚®𝑣(®𝑟 ·
¤
®𝑣) +
𝛼®𝑣
𝑟
−
𝛼®𝑟 (®𝑣 · ®𝑟)
𝑟
3
又有运动方程
𝑚
¤
®𝑣 = 𝛼
®𝑟
𝑟
3
得上式为零
该守恒矢量的方程沿长轴从焦点指向近心点，大小等于 𝛼𝑒