达朗贝尔原理
目录
1 广义坐标 2
2 约束 2
3 虚功原理和达朗贝尔原理 2
3.1 虚位移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 虚功原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.3 D’Alembert 原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.4 运动方程的推导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 不独立坐标 4
4.1 准广义力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2 拉格朗日乘子法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.3 拉格朗日乘子法与拉格朗日方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.4 拉格朗日乘子与约束力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1
1 广义坐标
广义坐标是一组能够确定系统状态的参数
对于一个自由度为 𝑛 的系统, 可以选取 𝑛 个广义坐标来完全描述它的状态. 这 𝑛 个广义坐标确定了一个
𝑛 维空间中的一个点, 这一空间称为位形空间; 各广义坐标随时间变化则确定了位形空间中的一个路径
若广义坐标数目等于系统自由度, 则它们是独立的, 即任一一个广义坐标不能用其余广义坐标表示; 而若
广义坐标数目大于系统自由度, 则它们是不独立的. 可以利用完整约束, 进行坐标变换消去多余的坐标; 而
对于非完整约束, 多余坐标无法通过变换消去
2 约束
约束的一般形式为
𝑓 (𝑞
𝑖
, ¤𝑞
𝑖
, · · · , 𝑡) = 0
其中 𝑞
𝑖
为广义坐标. 𝑓 的不同形式对应着不同的约束, 如下表所示
不显含时间 显含时间
与速度无关 定常完整约束 非定常完整约束
与速度有关 定常非完整约束 非定常非完整约束
完整约束一般是几何上的约束
3 虚功原理和达朗贝尔原理
3.1 虚位移
同一时刻, 同一位形, 在相同时间内完成的两个可能的位移之差称为虚位移
可以认为, 虚位移是在位形空间的等时变分, 进行虚位移是不需要时间的
3.2 虚功原理
对于静力学, 系统处于平衡态时有作用在每一个质点上的合力为零, 即
F
i
+ N
i
= 0
其中 F
i
为作用在第 𝑖 个质点上的主动力,N
i
为第 𝑖 个质点受到的约束力
此处需要区分主动力与约束力: 主动力有确切表达式, 与运动状态无关; 而约束力无确切表达式, 与运动状
态有关
令系统作一个虚位移, 注意对于每一个质点虚位移可能不同, 但对于同一个质点上的不同力, 虚位移相同.
就有
𝑖
(F
i
+ N
i
) · 𝛿r
i
= 0
约束可以分为理想约束和非理想约束. 理想约束是指满足虚功为零的约束, 即
𝑖
N
i
· 𝛿r
i
= 0
对于非理想约束, 只需要将其并入主动力中就仍然可以使用虚功原理
3.3 D’Alembert 原理
D’Alembert 是虚功原理在动力学的推广. 在动力学下, 只需要引入惯性力, 就可以变为静力学问题
𝑖
(F
i
− 𝑚
𝑖
¥r
𝑖
) · 𝛿r
i
= 0
3.4 运动方程的推导
希望使用广义坐标, 第 𝑖 个质点的虚位移可以用广义坐标表示
𝛿r
i
=
𝛼
𝜕r
i
𝜕𝑞
𝛼
𝛿𝑞
𝛼
代入 D’Alembert 原理表达式得到
𝛼
𝑖
(F
i
− 𝑚
¥
r
𝑖
) ·
𝜕r
i
𝜕𝑞
𝛼
𝛿𝑞
𝛼
= 0
注意此处代入后交换了求和的顺序. 若有广义坐标独立, 则 𝛿𝑞
𝛼
是任意的, 于是系数为零
𝑖
(F
i
− 𝑚
¥
r
𝑖
) ·
𝜕r
i
𝜕𝑞
𝛼
= 0
再定义广义力
𝑄
𝑗
=
𝑖
F
i
·
𝜕r
i
𝜕𝑞
𝑗
则上式可以写为
𝑖
𝑚
𝑖
¥r
𝑖
·
𝜕r
i
𝜕𝑞
𝛼
= 𝑄
𝛼
希望将等式左边写成
𝑑
𝑑𝑡
𝑖
𝑚
𝑖
¤r
𝑖
·
𝜕r
i
𝜕𝑞
𝛼
−
𝑖
𝑚
𝑖
¤r
𝑖
·
𝜕¤r
𝑖
𝜕𝑞
𝛼
这就要求
𝑑
𝑑𝑡
𝜕r
𝑖
𝜕𝑞
𝛼
=
𝜕r
𝑖
𝜕𝑞
𝛼
这是因为
¤r
𝑖
=
𝑗
𝜕r
𝑖
𝜕𝑞
𝑗
· 𝑞
𝑗
+
𝜕r
𝑖
𝜕𝑡
因此
𝜕¤r
𝑖
𝜕𝑞
𝛼
=
𝑗
𝜕
2
r
𝑖
𝜕𝑞
𝑗
𝜕𝑞
𝛼
¤𝑞
𝑗
+
𝜕
2
r
𝑖
𝜕𝑞
𝑗
𝜕𝑞
𝛼
而恰好有
𝑑
𝑑𝑡
𝜕r
𝑖
𝜕𝑞
𝛼
=
𝑗
𝜕
2
r
𝑖
𝜕𝑞
𝑗
𝜕𝑞
𝛼
¤𝑞
𝑗
+
𝜕
2
r
𝑖
𝜕𝑞
𝑗
𝜕𝑞
𝛼
因此它们相等
再将 ¤r
𝑖
式两边对 ¤𝑞
𝛼
求偏导得到
𝜕¤r
𝑖
𝜕 ¤𝑞
𝑖
=
𝜕r
i
𝜕𝑞
𝛼
于是如果定义
𝑇 =
𝑖
1
2
𝑚
𝑖
¤r
2
𝑖
那么就有
𝜕𝑇
𝜕 ¤𝑞
𝛼
=
𝑖
𝑚
𝑖
¤r
𝑖
·
𝜕r
i
𝜕𝑞
𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑞
𝛼
=
𝑖
𝑚
𝑖
¤r
𝑖
·
𝜕¤r
𝑖
𝜕𝑞
𝛼
于是 D’Alembert 原理就变形成了
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕 ¤𝑞
𝛼
−
𝜕𝑇
𝜕𝑞
𝛼
= 𝑄
𝛼
若主动力为保守力, 则可以将其写为势能的形式
𝑄
𝛼
= −
𝑖
𝜕𝑈
𝜕r
𝑖
·
𝜕r
𝑖
𝜕𝑞
𝛼
= −
𝜕𝑈
𝜕𝑞
𝛼
其中势能为广义坐标的函数
𝑈 ≡ 𝑈 (𝑞
𝛼
)
定义拉格朗日函数 𝐿
𝐿 = 𝑇 − 𝑈
则 D’Alembert 原理式就可以写为
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝑞
𝛼
−
𝜕𝐿
𝜕𝑞
𝛼
= 𝑄
𝛼
其中 𝑄
𝛼
为非保守的外力
4 不独立坐标
4.1 准广义力
设 r
i
用一组不独立的坐标表示, 记为 𝑢
𝑚
, 1, 2, · · · , 𝑀,𝑀 大于系统自由度 𝑠
可以类比广义力定义准广义力
𝐺
𝑚
=
𝑖
F
i
·
𝜕r
i
𝜕𝑢
𝑚
准广义力一样满足虚功原理
𝑚
𝐺
𝑚
𝛿 𝑢
𝑚
= 0
但是由于 𝑢
𝑚
不是独立的, 存在约束, 不能随意选取. 因此不可以由此推出 𝐺
𝑚
= 0
4.2 拉格朗日乘子法
设描述体系的准广义坐标有 𝑙 个完整约束
𝑓
𝑗
(𝑢
1
, 𝑢
2
, · · · , 𝑢
𝑀
, 𝑡) = 0
于是就有
𝛿 𝑓
𝑗
= 0 ⇒
𝑚
𝜕 𝑓
𝑗
𝜕𝑢
𝑚
𝛿 𝑢
𝑚
= 0
于是就可以引入 𝑙 个待定参数 𝜆
𝑗
, 将其与上式相乘并加到虚功原理式上得到
𝑚
𝐺
𝑚
+
𝑗
𝜆
𝑗
𝜕 𝑓
𝑗
𝜕𝑢
𝑚
𝛿𝑢
𝑚
= 0
𝜆
𝑗
称为拉格朗日乘子
假设前 𝑙 个 𝑢
𝑚
可以用后面的 𝑢
𝑚
表出, 由线性代数知识 (雾?), 总可以找到一组 𝜆
𝑖
使得前 𝑙 个 𝛿𝑢
𝑚
的系
数为零 (很喜欢雾里人的一句话: 啊?)
𝐺
𝑚
+
𝑙
𝑗
𝜆
𝑗
𝜕 𝑓
𝑗
𝜕𝑢
𝑚
= 0 , 𝑚 = 1, 2, · · · , 𝑙
于是就能简化虚功原理式为
𝑀
𝑚=𝑙+1
𝐺
𝑚
+
𝑙
𝑗
𝜆
𝑗
𝜕 𝑓
𝑗
𝜕𝑢
𝑚
𝛿𝑢
𝑚
= 0
由假设, 这里的 𝑢
𝑚
独立, 于是系数均为零
𝐺
𝑚
+
𝑙
𝑗
𝜆
𝑗
𝜕 𝑓
𝑗
𝜕𝑢
𝑚
= 0
于是就得到了 𝑀 个方程
𝐺
𝑚
+
𝑗
𝜆
𝑗
𝜕 𝑓
𝜕𝑢
𝑚
= 0
再加上 𝑙 个由约束得出的方程
𝑚
𝜕 𝑓
𝑗
𝜕𝑢
𝑚
𝛿𝑢
𝑚
= 0 , 𝑗 = 1, 2, · · · , 𝑙
共计 𝑚 + 𝑙 个方程, 等于未知数的个数
4.3 拉格朗日乘子法与拉格朗日方程
与无约束的情况相同, 可以得到准广义坐标下的虚功原理式
𝑚
𝜕𝑇
𝜕𝑢
𝑚
−
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕 ¤𝑢
𝑚
+ 𝐺
𝑚
𝛿𝑢
𝑚
= 0
但是由于 𝑢
𝑚
不独立, 因此不能得到系数为零
使用拉格朗日乘子法得到
𝑚
𝜕𝑇
𝜕𝑢
𝑚
−
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕 ¤𝑢
𝑚
+ 𝐺
𝑚
+ 𝜆
𝑗
𝜕 𝑓
𝑗
𝜕𝑢
𝑚
𝛿 𝑢
𝑚
= 0
于是
𝜕𝑇
𝜕𝑢
𝑚
−
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕 ¤𝑢
𝑚
+ 𝐺
𝑚
+ 𝜆
𝑗
𝜕 𝑓
𝑗
𝜕𝑢
𝑚
= 0 , 𝑚 = 1, 2, · · · , 𝑀
若可以将 F
i
写为势能的形式, 则有
𝜕𝐿
𝜕𝑢
𝑚
−
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 ¤𝑢
𝑚
+ 𝜆
𝑗
𝜕 𝑓
𝑗
𝜕𝑢
𝑚
= 0 , 𝑚 = 1, 2, · · · , 𝑀
4.4 拉格朗日乘子与约束力
将约束力视为主动力, 则约束解除,𝑀 个广义坐标相互独立
𝑖
(F
i
+ R
i
) · 𝛿r
i
= 0
定义广义约束力
𝑆
𝑚
=
𝑖
R
i
·
𝜕r
i
𝜕𝑢
𝑚
于是
𝑚
(𝐺
𝑚
, 𝑆
𝑚
)𝛿𝑢
𝑚
= 0
由 𝛿𝑢
𝑚
的任意性, 得到
𝐺
𝑚
+ 𝑆
𝑚
= 0
又有在约束下得到的结果
𝐺
𝑚
+
𝑙
𝑗
𝜆
𝑗
𝜕 𝑓
𝑗
𝜕𝑢
𝑚
= 0
于是有
𝑆
𝑚
=
𝑙
𝑗
𝜆
𝑗
𝜕 𝑓
𝑗
𝜕𝑢
𝑚
就能得出约束力
