电磁场下的拉格朗日函数
参考资料
广义势能带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数 https://zhuanlan.zhihu.com/p/110595320
在磁场中单个粒子的拉格朗日量-写点什么 (7)https://zhuanlan.zhihu.com/p/340722727
目录
1 广义梯度算子 2
1.1 广义梯度算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 矢量梯度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 电磁场力的变形 3
3 广义力与运动方程 4
1
1 广义梯度算子
1.1 广义梯度算子
为了推导方便, 定义运算 ∇
a
, 它形式上是一个矢量
∇
a
=
𝜕
𝜕𝑎
1
𝜕
𝜕𝑎
2
𝜕
𝜕𝑎
3
它是梯度算子
∇
的推广
,
当取
a
为
r
时就退化为梯度算子
.
它也有与梯度算子相类似的运算
,
此处用它
将梯度算子的运算推广为
标量场梯度 → 标量场广义梯度
𝜕𝐿
𝜕q
= ∇
q
𝐿
矢量场散度 → 矢量场广义散度
∑
𝜕 𝐴
𝑖
𝜕𝑞
𝑖
= ∇
q
· A
矢量场旋度 → 矢量场广义旋度
𝜕𝐴
3
𝜕 𝑎
2
−
𝜕𝐴
2
𝜕𝑎
3
𝜕𝐴
1
𝜕 𝑎
3
−
𝜕𝐴
3
𝜕𝑎
1
𝜕𝐴
2
𝜕 𝑎
1
−
𝜕𝐴
1
𝜕𝑎
2
= ∇
a
× A
该运算与梯度算子一样在形式上遵循矢量的运算法则, 因此可以当它是一个矢量用 (逃)
这个广义的梯度算子与梯度算子是有联系的. 由于
𝜕
𝜕𝑥
=
∑
𝜕
𝜕𝑞
𝑖
𝜕𝑞
𝑖
𝜕𝑥
于是就得到了
∇ = [∇q]∇
q
同样反过来也有
∇
q
= [∇
q
r]∇
1.2 矢量梯度
左边实际上是广义的矢量梯度
[∇
q
𝐴] =
𝜕𝐴
𝑥
𝜕𝑞
𝑥
𝜕𝐴
𝑦
𝜕𝑞
𝑥
𝜕𝐴
𝑧
𝜕𝑞
𝑥
𝜕𝐴
𝑥
𝜕𝑞
𝑦
𝜕𝐴
𝑦
𝜕𝑞
𝑦
𝜕𝐴
𝑧
𝜕𝑞
𝑦
𝜕𝐴
𝑥
𝜕𝑞
𝑧
𝜕𝐴
𝑦
𝜕𝑞
𝑧
𝜕𝐴
𝑧
𝜕𝑞
𝑧
它是和矢量场的微分密切相关的
𝑑𝐴 =
𝜕𝐴
𝑥
𝜕𝑞
𝑥
𝜕𝐴
𝑥
𝜕𝑞
𝑦
𝜕𝐴
𝑥
𝜕𝑞
𝑧
𝜕𝐴
𝑦
𝜕𝑞
𝑥
𝜕𝐴
𝑦
𝜕𝑞
𝑦
𝜕𝐴
𝑦
𝜕𝑞
𝑧
𝜕𝐴
𝑧
𝜕𝑞
𝑥
𝜕𝐴
𝑧
𝜕𝑞
𝑦
𝜕𝐴
𝑧
𝜕𝑞
𝑧
𝑑𝑞
𝑥
𝑑𝑞
𝑦
𝑑𝑞
𝑧
= [∇
q
A]
𝑇
𝑑q
特别地, 再两边同除以时间, 就有
¤
A = [∇
q
A]
𝑇
¤
q
考虑 𝐴 中显含时间 𝑡 的情形, 那么就有
¤
A = [∇
q
A]
𝑇
¤
q +
𝜕 𝐴
𝜕𝑡
此外考虑广义坐标与坐标的导数. 如果对 r 求导
¤𝑟
𝑖
=
∑
𝑗
𝜕𝑟
𝑖
𝜕𝑞
𝑗
¤𝑞 +
𝜕𝑟
𝑖
𝜕𝑡
𝑟 当然不是 ¤𝑞 的函数, 于是
𝜕 ¤𝑟
𝑖
𝜕 ¤𝑞
𝑗
=
𝜕𝑟
𝑖
𝜕𝑞
𝑗
对比矩阵内容, 那么就有
[∇
q
r] = [∇
¤
q
¤
r]
2
电磁场力的变形
若 Q 并不是一般意义上的保守力 (如磁场力), 那么它就不能写成势能的形式, 即力不止与质点的位置有
关. 但是对于电磁力, 有
F = 𝑞E + 𝑞
¤
r × B
由于 ∇ · B = 0, 引入磁矢势 B = ∇ × A
那么
¤
r × B =
¤
r × (∇ × A) = ∇(
¤
r · A) − (
¤
r · ∇)A = ∇(
¤
r · A) − [∇𝐴]
𝑇
¤
r
再加上
[∇𝐴]
𝑇
¤
r =
¤
A −
𝜕A
𝜕𝑡
, E = −∇𝜑 −
𝜕A
𝜕𝑡
代入 F 即得
F = 𝑞
[
−∇𝜑 + ∇(
¤
r · A) −
¤
A
]
但是
¤
A 怎么办呢, 别忘了 A 不是
¤
r 的函数, 意味着
A = ∇
¤
r
(
¤
r · A) ⇒
¤
A =
𝑑
𝑑𝑡
∇
¤
r
(
¤
r · A)
有由于 𝜑 作为静电势当然不含
¤
r, 于是
F = −∇
(
𝑞𝜑 − 𝑞
¤
r · 𝐴
)
+
𝑑
𝑑𝑡
∇
¤
r
(𝑞𝜑 − 𝑞
¤
r · A)
其中 𝑈 为广义势能, 定义为
𝑈(r,
¤
r) = 𝑞𝜑 − 𝑞
¤
r · A
那么 F 就写为
F = −∇𝑈 +
𝑑
𝑑𝑡
∇
¤
r
𝑈
3 广义力与运动方程
运用广义梯度算子广义力就能简单的写为
Q = F ·
𝜕r
𝜕q
i
= [∇
q
r]F
借此将 D’Alembert 原理用该算子写为
(
𝑑
𝑑𝑡
∇
q
− ∇
q
)
𝑇 = Q, Q = [∇
q
r]F
那么广义力就是
Q = [∇
𝑞
r]F = −[∇
𝑞
r]∇𝑈 + [∇
𝑞
r]
𝑑
𝑑𝑡
∇
¤
r
𝑈
其中
[∇
q
r]∇ = ∇
q
[∇
q
r]
𝑑
𝑑𝑡
∇
¤
r
= [∇
q
r]∇
¤
r
𝑑
𝑑𝑡
= [∇
¤
q
¤
r]∇
¤
r
𝑑
𝑑𝑡
= ∇
¤
q
𝑑
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
∇
¤
q
因此
Q = −
(
𝑑
𝑑𝑡
∇
¤
q
− ∇
q
)
𝑈
D’Alembert
原理就写为了
(
𝑑
𝑑𝑡
∇
q
− ∇
q
)
𝐿
=
0
, 𝐿
=
𝑇
−
𝑈
