1 符号约定
由于辛形式会用到矩阵的内容, 以下约定向量相关的偏导数定义
1. 向量都定义为列向量
2. 矢量对标量求偏导, 得到一个列向量
𝜕V
𝜕𝑠
=
𝜕𝑉
1
𝜕𝑠
.
.
.
𝜕𝑉
𝑛
𝜕𝑠
3. 标量对矢量求偏导, 得到一个行向量
𝜕𝐻
𝜕ξ
=
𝜕𝐻
𝜕𝜉
1
· · ·
𝜕𝐻
𝜕𝜉
𝑛
4. 矢量对矢量求偏导, 得到一个矩阵 (其实就是雅可比矩阵)
𝜕V
𝜕ξ
=
𝜕𝑉
1
𝜕𝜉
1
· · ·
𝜕𝑉
1
𝜕𝜉
𝑛
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝜕𝑉
𝑛
𝜕𝜉
𝑛
· · ·
𝜕𝑉
𝑛
𝜕𝜉
𝑛
这样无论是标量函数还是矢量函数, 无论多元函数还是一元函数, 偏导数的传递性形式都相同
𝜕V (η)
𝜕ξ
=
𝜕V
𝜕η
𝜕η
𝜕ξ
2 辛形式
由于哈密顿力学中 𝑝, 𝑞 的地位相同, 因此将其合并, 其导数满足
ξ =
𝑞
1
.
.
.
𝑞
𝑠
𝑝
1
.
.
.
𝑝
𝑠
,
¤
ξ =
¤𝑞
1
.
.
.
¤𝑞
𝑠
¤𝑝
1
.
.
.
¤𝑝
𝑠
=
1 · · · 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 · · · 1
−1 · · · −1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
−1 · · · −1
𝜕𝐻
𝜕𝑞
1
.
.
.
𝜕𝐻
𝜕𝑞
𝑠
𝜕𝐻
𝜕 𝑝
1
.
.
.
𝜕𝐻
𝜕 𝑝
𝑠
将其简记为
ξ =
𝑞
𝑝
,
¤
ξ = 𝑆
𝜕𝐻
𝜕ξ
𝑇
其中
𝑆 =
𝐼
𝑠
−𝐼
𝑠
称其为辛形式.𝐽 是一个反对称阵, 并且行列向量正交
3 泊松括号及其性质
由辛形式可以定义泊松括号
[ 𝑓 , 𝑔] =
𝜕 𝑓
𝜕ξ
𝑆
𝜕𝑔
𝜕ξ
𝑇
由定义不难推出泊松括号有如下性质
1. [ 𝑓 , 𝑔] = −[𝑔, 𝑓 ]
2.
𝜕
𝜕𝑥
[ 𝑓 , 𝑔] =
𝜕 𝑓
𝜕𝑥
, 𝑔
+
𝑓 ,
𝜕𝑔
𝜕𝑥
3. [𝑢, 𝑣 + 𝜔] = [𝑢, 𝑣] + [𝑢, 𝜔]
4. [𝑢, 𝑣𝜔] = [𝑢, 𝑣]𝜔 + [𝑢, 𝜔]𝑣
5. [𝑢(v), 𝜔] =
𝜕𝑢
𝜕𝑣
𝑖
[𝑣
𝑖
, 𝜔]
泊松括号有雅可比恒等式 (三个变量的顺序是轮换的)
[𝑢, [𝑣, 𝜔]] + [𝑣, [𝜔, 𝑢]] + [𝜔, [𝑢, 𝑣]] = 0
记
𝑢
𝑖
=
𝜕𝑢
𝜕𝜉
𝑖
, 𝑣
𝑖
=
𝜕𝑣
𝜕𝜉
𝑖
则
[𝑢, 𝑣] =
𝑆
𝑖 𝑗
𝑢
𝑖
𝑣
𝑗
那么
[𝑢, [𝑣, 𝜔]] =
𝑆
𝑖 𝑗
𝑢
𝑖
𝜕[𝑣, 𝜔]
𝜕𝜉
𝑗
= 𝑆
𝑖 𝑗
𝑢
𝑖
𝜕
(
𝑆
𝑘𝑙
𝑣
𝑘
𝜔
𝑙
)
𝜕𝜉
𝑗
其中 𝜔 的二阶偏导项为
𝑆
𝑖 𝑗
𝑆
𝑘𝑙
𝑢
𝑖
𝑣
𝑘
𝜔
𝑙 𝑗
同样对于 [𝑣, [𝜔, 𝑢]] 中的 𝜔 二阶偏导项为
𝑆
𝑘𝑙
𝑆
𝑗𝑖
𝑣
𝑘
𝑢
𝑖
𝜔
𝑗𝑙
由于 𝑆 是一个反对称矩阵, 有 𝑆
𝑖 𝑗
+ 𝑆
𝑗𝑖
= 0, 因此得到各个二阶偏导项都是零, 得到恒等式成立
有一类特别的泊松括号
[𝜉
𝑎
, 𝜉
𝑏
] = 𝑆
𝑎𝑏
称其为基本泊松括号, 即
[𝑞
𝑖
, 𝑝
𝑗
] = 𝛿
𝑖 𝑗
, 𝛿
𝑖 𝑗
=
0, 𝑖 ≠ 𝑗
1, 𝑖 = 𝑗
可以利用泊松括号的性质将普通的泊松括号全部化为基本泊松括号计算
4 泊松括号与守恒量
首先考察泊松括号与函数对时间全导数的关系对于 𝑓 (𝑝, 𝑞, 𝑡), 有
𝑑𝑓
𝑑𝑡
=
𝜕 𝑓
𝜕𝑡
+
𝜕 𝑓
𝜕ξ
¤
ξ =
𝜕 𝑓
𝜕𝑡
+
𝜕 𝑓
𝜕ξ
𝑆
𝜕𝐻
𝜕ξ
𝑇
𝑑𝑓
𝑑𝑡
=
𝜕 𝑓
𝜕𝑡
+ [ 𝑓 , 𝐻]
因此若是 𝑓 不显含 𝑡, 即
𝜕 𝑓
𝜕𝑡
= 0, 则有
[ 𝑓 , 𝐻] =
𝑑𝑓
𝑑𝑡
若 𝑢, 𝑣 是守恒量, 就有
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= 0,
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 0, 利用上面的结论可以写为
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ [𝑢, 𝐻] = 0,
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ [𝑣, 𝐻] = 0
则它们的泊松括号对时间的导数为
𝑑
𝑑𝑡
[𝑢, 𝑣] =
𝜕
𝜕𝑡
[𝑢, 𝑣] + [[𝑢, 𝑣], 𝐻]
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
, 𝑣
+
𝑢,
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+
[
[𝑢, 𝑣], 𝐻
]
= [[𝐻, 𝑢], 𝑣] + [𝑢, [𝐻, 𝑣]] + [[𝑢, 𝑣], 𝐻]
= −[𝑣, [𝐻, 𝑢]] − [[𝐻, 𝑣], 𝑢] − [𝐻, [𝑢, 𝑣]]
由雅可比恒等式知上式为零, 也就是说 [𝑢, 𝑣] 是守恒量. 综上所述,𝑢 为守恒量等价于
[𝑢, 𝐻] +
𝜕 𝑓
𝜕𝑡
= 0
当 𝑢, 𝑣 都是守恒量时 [𝑢, 𝑣] 也是守恒量, 由此可以证明守恒量并寻找新的守恒量
