近独立粒子体系的最概然分布
目录
1 近独立粒子 2
2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布 2
2.1 麦克斯韦-玻尔兹曼分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 定域子系热力学量的统计表达式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.1 内能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.2 外力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.3 热量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.4 熵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 玻尔兹曼关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 玻色统计与费米统计 6
3.1 非定域子系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 全同费米子和全同玻色子的微观状态数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 费米分布和玻色分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 理想玻色气体和理想费米气体热力学量的统计表达式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4.1 理想玻色气体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4.2 理想费米气体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.5 理想玻色气体和理想费米气体物理量的统一表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
1 近独立粒子
如果组成系统的粒子之间相互作用很弱, 使得系统的总能量为所有粒子的能量之和
𝐸 =
𝑁
𝑖=1
𝐸
𝑖
则称该系统为近独立粒子系统. 不过如果粒子间完全没有相互作用, 则不能交换能量使得系统达到平衡.
令粒子的能级与对应的简并度为
𝜖
𝜆
, 𝑔
𝜆
每个能级上有粒子数
𝑎
𝜆
则应满足: 粒子数之和为总粒子数, 能量之和为总能量
𝜆
𝑎
𝜆
= 𝑁,
𝜆
𝑎
𝜆
𝜖
𝜆
= 𝐸
记一个可能的粒子数分布为 {𝑎
𝜆
}. 该分布出现的概率应该正比于其对应的微观状态数 𝑊 ({𝑎
𝜆
} ). 假定粒
子是可分辨的, 总共有 𝑁 个粒子, 则分布 {𝑎
𝜆
} 的微观状态数为
𝑊 ({𝑎
𝜆
}) =
𝑁!
𝜆
𝑎
𝜆
!
𝜆
𝑔
𝑎
𝜆
𝜆
前一项是将 𝑁 个粒子分为 {𝑎
𝜆
} 分布的可能分法, 后一项是每个能级上的粒子处于不同简并能级的可能
状态数目
2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布
2.1 麦克斯韦-玻尔兹曼分布
最可几分布具有最大的微观状态数. 鉴于对数函数是单调递增的, 所以最大化 𝑊 等价于最大化 ln 𝑊. 利
用斯特林公式
ln 𝑚! = 𝑚 ln 𝑚 − 𝑚 +
1
2
ln(2𝜋𝑚) + 𝑂
1
𝑚
当 𝑚 很大时, ln 𝑚 ≪ 𝑚, 所以可以近似认为
ln 𝑚! ≈ 𝑚 (ln 𝑚 − 1)
在粒子数足够多时
,
每个能级上分布的粒子数都很多
,
所以应用公式得到
ln 𝑊 ({𝑎
𝜆
}) ≈ 𝑁 (ln 𝑁 − 1) −
𝜆
𝑎
𝜆
(ln 𝑎
𝜆
− 1) +
𝜆
𝑎
𝜆
ln 𝑔
𝜆
= 𝑁 ln 𝑁 −
𝜆
𝑎
𝜆
ln
𝑎
𝜆
𝑔
𝜆
极大值要求扰动分布 {𝑎
𝜆
+ 𝛿𝑎
𝜆
} 应使得微观状态不变, 即
𝛿 ln 𝑊 = −
𝑁
𝑖=1
ln
𝑎
𝜆
𝑔
𝜆
+ 1
𝛿𝑎
𝜆
= 0
不过分布函数的变分应满足粒子数约束和能量约束
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
= 0,
𝜆
𝜖
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
= 0
所以上式也即
𝛿 ln 𝑊 = −
𝜆
ln
𝑎
𝜆
𝑔
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
= 0
利用拉格朗日乘子法, 引入拉格朗日乘子 𝛼 和 𝛽
−
𝜆
ln
𝑎
𝜆
𝑔
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
− 𝛼
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
− 𝛽
𝜆
𝜖
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
= −
𝜆
ln
𝑎
𝜆
𝑔
𝜆
+ 𝛼 + 𝛽𝜖
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
= 0
所以
ln
𝑎
𝜆
𝑔
𝜆
+ 𝛼 + 𝛽𝜖
𝜆
= 0
所以
𝑎
𝜆
= 𝑔
𝑖
𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
称其为麦克斯韦-玻尔兹曼分布, 𝑎
𝜆
区别于 𝑎
𝜆
, 表示其为最可几分布, 或是说统计平均. 不过极大的条件
要求二阶导为负, 还应考察
𝛿
2
ln 𝑊 = −𝛿
𝜆
ln
𝑎
𝜆
𝑔
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
= −
𝜆
(𝛿𝑎
𝜆
)
2
𝑎
𝜆
≤ 0
由于上式决定的 𝑎
𝑖
是正的, 所以极大条件成立, 那么求得的分布就是最可几分布. 其中的 𝛼 和 𝛽 由粒子
数和能量约束确定
𝑁 =
𝜆
𝑔
𝜆
𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
, 𝐸 =
𝜆
𝜖
𝜆
𝑔
𝜆
𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
引入子系配分函数
𝑍 ≡
𝜆
𝑔
𝜆
𝑒
−𝛽 𝜖
𝜆
=
𝜆
𝑒
−𝛽 𝜖
𝜆
可以对能级求和也可以对能态求和, 对能态求和则不必乘简并度. 那么
𝛼 = ln
𝑍
𝑁
, 𝐸 = −𝑁
𝜕
𝜕𝛽
ln 𝑍
2.2 定域子系热力学量的统计表达式
2.2.1 内能
系统的内能是各个可能出现分布其总能量的统计平均, 实际上就是平均分布的总能量
𝑈
=
𝜆
𝜖
𝜆
𝑎
𝜆
=
−
𝑁
𝜕
𝜕𝛽
ln
𝑍
2.2.2 外力
热力学中的可逆过程微功可以表示为广义力和广义位移的乘积
d¯𝑊 =
𝜆
𝑌
𝜆
d𝑦
𝜆
其中 𝑌
𝜆
为统计平均的广义力 (准静态过程中外力是和系统状态相关的), 𝑦
𝜆
为广义坐标 (由于它们可以从
宏观上控制, 所以不需要统计平均), d𝑦
𝜆
表示广义位移, 如 𝑃d𝑉 等. 对于某个分布 {𝑎
𝜆
} 而言, 能量守恒要
求外界做功等于总能量的增加
𝜆
𝑌
𝜆
d𝑦
𝜆
=
𝜆
𝜕𝐸
𝜕𝑦
𝜆
d𝑦
𝜆
这也就是说
𝑌
𝜆
=
𝜕𝐸
𝜕𝑦
𝜆
由于总能量是每个能级上的能量和
𝐸 =
𝜆
𝜖
𝜆
𝑎
𝜆
对于一个给定的粒子数分布 {𝑎
𝜆
} 而言, 𝐸
𝑖
认为是 𝑦
𝜆
的函数, 而 𝑎
𝜆
认为是常数. 这应理解为外力改变的
是能级, 粒子分布由外观状态数决定. 所以
𝑌
𝜆
=
𝜆
𝜕𝐸
𝑖
𝜕𝑦
𝜆
𝑎
𝜆
求其统计平均得到
𝑌
𝜆
=
𝜆
𝜕𝐸
𝑖
𝜕𝑦
𝜆
𝑎
𝜆
=
𝜆
𝜕𝐸
𝑖
𝜕𝑦
𝜆
𝑔
𝜆
𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
将 𝑒
− 𝛼
提出, 逆用求导链式法则将 𝑒
−𝛽 𝜖
𝜆
合入偏导数, 即得
𝑌
𝜆
= −
𝑁
𝛽
𝜕
𝜕𝑦
𝜆
ln 𝑍
2.2.3 热量
整体上看, 在统计平均分布下, 有外力做功
d¯𝑊 =
𝜆
𝑌
𝜆
d𝑦
𝜆
所以热力学第一定律写为
d¯𝑄 = d𝑈 −
𝜆
𝑌
𝜆
d𝑦
𝜆
内能的微分由两项决定: 能级的变化和粒子数分布的变化
d𝑈 =
𝜆
d𝜖
𝜆
𝑎
𝜆
+
𝜆
𝜖
𝜆
d𝑎
𝜆
能级的变化可以展开为外力的作用
𝜆
d𝜖
𝜆
𝑎
𝜆
=
𝜆
𝜆
𝜕𝜖
𝜆
𝜕𝑦
𝜆
d𝑦
𝜆
𝑎
𝜆
=
𝜆
𝑌
𝜆
d𝑦
𝜆
代入, 即得
d¯𝑄 =
𝜆
𝜖
𝜆
d𝑎
𝜆
这也就是说热量通过影响平均分布进而影响内能, 也就是一个过程是绝热过程当且仅当平均分布不变
2.2.4 熵
有热力学基本方程
d𝑈 = 𝑇d𝑆 + d¯𝑊
也即
d𝑆 =
d¯𝑄
𝑇
=
1
𝑇
d𝑈 −
𝜆
𝑌
𝜆
d𝑦
𝜆
注意到
𝛽
d𝑈 −
𝜆
𝑌
𝜆
d𝑦
𝜆
= −𝑁 𝛽d
𝜕
𝜕𝛽
ln 𝑍
+ 𝑁
𝜆
𝜕
𝜕𝑦
𝜆
ln 𝑍
d𝑦
𝜆
= −𝑁d
ln 𝑍 − 𝛽
𝜕
𝜕𝛽
ln 𝑍
这是将配分函数写为了 𝛽 和 𝑦
𝜆
的函数: 𝑍 ≡ 𝑍 (𝛽, 𝑦
𝜆
). 与热力学基本方程比较, 即得
𝛽 =
1
𝑘𝑇
, d𝑆 = 𝑁 𝑘d
ln 𝑍 − 𝛽
𝜕
𝜕𝛽
ln 𝑍
积分即得
𝑆 = 𝑁 𝑘
ln 𝑍 − 𝛽
𝜕
𝜕𝛽
ln 𝑍
+ 𝐶
熵的广延性要求 𝐶 = 0, 所以
𝑆 = 𝑁 𝑘
ln 𝑍 − 𝛽
𝜕
𝜕𝛽
ln 𝑍
2.3 玻尔兹曼关系
任意粒子数分布的微观状态数应该满足
ln 𝑊 ({𝑎
𝜆
}) = 𝑁 ln 𝑁 −
𝜆
𝑎
𝜆
ln
𝑎
𝜆
𝑔
𝜆
所以对于最可几分布, 也即 𝑎
𝜆
, 有
ln 𝑊 ({𝑎
𝜆
} ) = 𝑁 ln 𝑁 −
𝜆
𝑎
𝜆
ln
𝑎
𝜆
𝑔
𝜆
最可几分布满足
𝑎
𝜆
= 𝑔
𝜆
𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
, 𝛼 = ln
𝑍
𝑁
, 𝐸
𝜆
= −𝑁
𝜕
𝜕𝛽
ln 𝑍
所以代入即得
ln 𝑊 ({𝑎
𝜆
}) = 𝑁 ln 𝑁 + 𝛼𝑁 + 𝛽𝐸 = 𝑁
ln 𝑍 − 𝛽
𝜕
𝜕𝛽
ln 𝑍
与熵的表达式比较, 即得
𝑆 = 𝑘 ln 𝑊 ({𝑎
𝜆
} )
3 玻色统计与费米统计
3.1 非定域子系
玻尔兹曼统计理论是定域的, 也就是说每个粒子是独立的可区分的. 实际上这意味着该理论仅考虑了粒子
的局域信息, 并未考虑粒子之间的相互作用. 对于非定域子系, 要求粒子是全同粒子, 并且满足对称性要
求: 波函数交换对称 (玻色子) 或反对称 (费米子)
3.2 全同费米子和全同玻色子的微观状态数
考察费米子分布 {𝑎
𝜆
} 的微观状态数. 考察 𝜆 能级, 它的能量为 𝜖
𝜆
, 简并度为 𝑔
𝜆
, 该能级上有 𝑎
𝜆
个全同
的费米子. 费米子遵循泡利不相容原理, 两个费米子不能处于相同的量子态 (否则违反波函数交换反对称
性), 所以该能级上的可能分布数为
𝑔
𝜆
!
𝑎
𝜆
!(𝑔
𝜆
− 𝑎
𝜆
)!
将每个能级的分布数目相乘, 即得到总的微观状态数
𝑊
𝐹𝐷
({𝑎
𝜆
}) =
𝜆
𝑔
𝜆
!
𝑎
𝜆
!(𝑔
𝜆
− 𝑎
𝜆
)!
考察玻色子分布 {𝑎
𝜆
} 的微观状态数. 考察 𝜆 能级, 它的能量为 𝜖
𝜆
, 简并度为 𝑔
𝜆
, 该能级上有 𝑎
𝜆
个全同的
玻色子. 玻色子遵循波函数交换对称性, 所以允许多个玻色子处于同一量子态
该能级上的可能分布数即将 𝑎
𝜆
个粒子分为 𝑔
𝜆
组, 每组允许粒子数为零. 这等价于将 𝑎
𝜆
+ 𝑔
𝜆
个粒子分为
𝑔
𝜆
组, 每组至少有一个粒子. 可以使用隔板法求解: 在 𝑎
𝜆
+ 𝑔
𝜆
− 1 个空隙中插入 𝑔
𝜆
− 1 个隔板, 因而可能
分布数为
(𝑎
𝜆
+ 𝑔
𝜆
− 1)!
𝑎
𝜆
!(𝑔
𝜆
− 1)!
将每个能级的分布数目相乘, 即得到总的微观状态数
𝑊
𝐵𝐸
({𝑎
𝜆
} ) =
𝜆
(𝑎
𝜆
+ 𝑔
𝜆
− 1)!
𝑎
𝜆
!(𝑔
𝜆
− 1)!
3.3 费米分布和玻色分布
对于费米子, 求解使得 ln 𝑊
𝐹𝐷
最大的分布. 利用斯特林公式得到
ln 𝑊
𝐹𝐷
({𝑎
𝜆
} ) =
𝜆
[
𝑔
𝜆
ln 𝑔
𝜆
− 𝑎
𝜆
ln 𝑎
𝜆
− (𝑔
𝜆
− 𝑎
𝜆
) ln(𝑔
𝜆
− 𝑎
𝜆
)
]
考察其变分, 取极值时要求对于扰动分布 {𝑎
𝜆
+ 𝛿𝑎
𝜆
}, 微观状态数不变
𝛿 ln 𝑊
𝐹𝐷
=
𝜆
ln
𝑔
𝜆
− 𝑎
𝜆
𝑎
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
= 0
分布存在约束: 粒子数稳定和总能量稳定. 需要注意的是此处不是守恒, 而是稳定时粒子数和总能量不变
𝛿𝑁 =
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
= 0, 𝛿𝐸 =
𝜆
𝜖
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
= 0
与麦克斯韦-玻尔兹曼分布类似, 引入拉格朗日乘子 𝛼 和 𝛽, 那么
𝜆
ln
𝑔
𝜆
− 𝑎
𝜆
𝑎
𝜆
− 𝛼 − 𝛽𝜖
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
= 0
所以
𝑎
𝜆
=
𝑔
𝜆
𝑒
𝛼+𝛽 𝜖
𝜆
+ 1
称其为费米分布
对于玻色子, 同样利用斯特林公式得到
ln 𝑊
𝐵𝐸
({𝑎
𝜆
}) =
𝜆
[
(𝑎
𝜆
+ 𝑔
𝜆
− 1) ln(𝑎
𝜆
+ 𝑔
𝜆
− 1) − 𝑎
𝜆
ln 𝑎
𝜆
− (𝑔
𝜆
− 1) ln(𝑔
𝜆
− 1)
]
在粒子数大的情况下, 1 可以省略, 所以
ln 𝑊
𝐵𝐸
({𝑎
𝜆
}) =
𝜆
[
(𝑎
𝜆
+ 𝑔
𝜆
) ln(𝑎
𝜆
+ 𝑔
𝜆
) − 𝑎
𝜆
ln 𝑎
𝜆
− 𝑔
𝜆
ln 𝑔
𝜆
]
取极值要求变分为零
𝛿 ln 𝑊
𝐵𝐸
=
𝜆
ln
𝑔
𝜆
+ 𝑎
𝜆
𝑎
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
= 0
同样需要满足粒子数和能量稳定约束
𝛿𝑁 =
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
= 0, 𝛿𝐸 =
𝜆
𝜖
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
= 0
引入拉格朗日乘子 𝛼 和 𝛽, 那么
𝜆
ln
𝑔
𝜆
+ 𝑎
𝜆
𝑎
𝜆
− 𝛼 − 𝛽𝜖
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
= 0
所以
𝑎
𝜆
=
𝑔
𝜆
𝑒
𝛼+𝛽 𝜖
𝜆
− 1
称其为玻色分布
3.4 理想玻色气体和理想费米气体热力学量的统计表达式
3.4.1 理想玻色气体
基于理想玻色气体的平衡态平均分布
𝑎
𝜆
=
𝑔
𝜆
𝑒
𝛼+𝛽 𝜖
𝜆
− 1
引入巨配分函数
Ξ =
𝜆
1 − 𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
−𝑔
𝜆
注意到
−
𝜕
𝜕𝛼
ln Ξ =
𝜆
𝑔
𝜆
𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
1 − 𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
=
𝜆
𝑎
𝜆
= 𝑁
−
𝜕
𝜕𝛽
ln Ξ =
𝜆
𝑔
𝜆
𝜖
𝜆
𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
1 − 𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
=
𝜆
𝜖
𝜆
𝑎
𝜆
= 𝐸
所以
𝑁 = −
𝜕
𝜕𝛼
ln Ξ, 𝐸 = −
𝜕
𝜕𝛽
ln Ξ
此处的 𝑁 是平均分布的粒子数, 玻色分布并不要求粒子数守恒, 对于非孤立系也成立
外力由能量的导数给出
𝑌
𝜆
=
𝜕𝐸
𝜕𝑦
𝜆
注意到
−
1
𝛽
𝜕
𝜕𝑦
𝜆
ln Ξ =
𝜆
𝑔
𝜆
𝜖
𝜆
𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
1 − 𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
𝜕𝜖
𝜆
𝜕𝑦
𝜆
=
𝜆
𝑎
𝜆
𝜕𝜖
𝜆
𝜕𝑦
𝜆
= 𝑌
𝜆
由此给出外力的表达式
𝑌
𝜆
= −
1
𝛽
𝜕
𝜕𝑦
𝜆
ln Ξ
由于系统的粒子数可变, 所以应使用粒子数可变情形的热力学基本方程
d𝑈 = 𝑇d𝑆 + d¯𝑊 + 𝜇d𝑁
在理想玻色气体中, 有
d𝑈 = d𝐸, d¯𝑊 =
𝜆
𝑌
𝜆
d𝑦
𝜆
, d𝑁 = d𝑁
因而上式写为
d𝐸 = 𝑇d𝑆 +
𝜆
𝑌
𝜆
d𝑦
𝜆
+ 𝜇d𝑁
变形得
1
𝑇
d𝐸 −
𝜆
𝑌
𝜆
d𝑦
𝜆
= d𝑆 +
𝜇
𝑇
d𝑁
注意到
𝛽
d𝐸 −
𝜆
𝑌
𝜆
d𝑦
𝜆
= d
ln Ξ − 𝛼
𝜕
𝜕𝛼
ln Ξ − 𝛽
𝜕
𝜕𝛽
ln Ξ
− 𝛼d𝑁
所以
𝛽 ∝
1
𝑇
那么令
𝛽 =
1
𝑘𝑇
这样一来
d𝑆 = 𝑘d
ln Ξ − 𝛼
𝜕
𝜕𝛼
ln Ξ − 𝛽
𝜕
𝜕𝛽
ln Ξ
选取积分常数为零, 即得
𝑆 = 𝑘
ln Ξ − 𝛼
𝜕
𝜕𝛼
ln Ξ − 𝛽
𝜕
𝜕𝛽
ln Ξ
, 𝛽 =
1
𝑘𝑇
, 𝛼 = −
𝜇
𝑘𝑇
3.4.2 理想费米气体
理想费米气体的平衡态平均分布相比与玻色气体的分布, 仅仅是将分母中的 −1 改为 +1
𝑎
𝜆
=
𝑔
𝜆
𝑒
𝛼+𝛽 𝜖
𝜆
+ 1
巨配分函数也是类似的, 只是将分母中的 −1 改为 +1
Ξ =
𝜆
1 + 𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
𝑔
𝜆
注意到
−
𝜕
𝜕𝛼
ln Ξ =
𝜆
𝑔
𝜆
𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
1 + 𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
=
𝜆
𝑎
𝜆
= 𝑁
−
𝜕
𝜕𝛽
ln Ξ =
𝜆
𝑔
𝜆
𝜖
𝜆
𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
1 + 𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
=
𝜆
𝜖
𝜆
𝑎
𝜆
= 𝐸
所以
𝑁 = −
𝜕
𝜕𝛼
ln Ξ, 𝐸 = −
𝜕
𝜕𝛽
ln Ξ
此处的 𝑁 是平均分布的粒子数，费米分布同样不要求粒子数守恒，对于非孤立系也成立
外力由能量的导数给出
𝑌
𝜆
=
𝜕𝐸
𝜕𝑦
𝜆
注意到
−
1
𝛽
𝜕
𝜕𝑦
𝜆
ln Ξ =
𝜆
𝑔
𝜆
𝜖
𝜆
𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
1 + 𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
𝜕𝜖
𝜆
𝜕𝑦
𝜆
=
𝜆
𝑎
𝜆
𝜕𝜖
𝜆
𝜕𝑦
𝜆
= 𝑌
𝜆
由此给出外力的表达式
𝑌
𝜆
= −
1
𝛽
𝜕
𝜕𝑦
𝜆
ln Ξ
类似于玻色气体，应使用粒子数可变情形的热力学基本方程
d𝑈 = 𝑇d𝑆 + d¯𝑊 + 𝜇d𝑁
在理想费米气体中，有
d𝑈 = d𝐸, d¯𝑊 =
𝜆
𝑌
𝜆
d𝑦
𝜆
, d𝑁 = d𝑁
因而上式写为
d
𝐸
=
𝑇
d
𝑆
+
𝜆
𝑌
𝜆
d
𝑦
𝜆
+
𝜇
d𝑁
变形得
1
𝑇
d𝐸 −
𝜆
𝑌
𝜆
d𝑦
𝜆
= d𝑆 +
𝜇
𝑇
d𝑁
注意到
𝛽
d𝐸 −
𝜆
𝑌
𝜆
d𝑦
𝜆
= d
ln Ξ − 𝛼
𝜕
𝜕𝛼
ln Ξ − 𝛽
𝜕
𝜕𝛽
ln Ξ
− 𝛼d𝑁
所以
𝛽 =
1
𝑘𝑇
那么
d𝑆 = 𝑘d
ln Ξ − 𝛼
𝜕
𝜕𝛼
ln Ξ − 𝛽
𝜕
𝜕𝛽
ln Ξ
选取积分常数为零，即得
𝑆 = 𝑘
ln Ξ − 𝛼
𝜕
𝜕𝛼
ln Ξ − 𝛽
𝜕
𝜕𝛽
ln Ξ
, 𝛽 =
1
𝑘𝑇
, 𝛼 = −
𝜇
𝑘𝑇
3.5 理想玻色气体和理想费米气体物理量的统一表示
平均分布
𝑎
𝜆
=
𝑔
𝜆
𝑒
𝛼+𝛽 𝜖
𝜆
± 1
其中的 + 表示玻色子, − 表示费米子. 巨配分函数如下
Ξ =
𝜆
1 ± 𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
±𝑔
𝜆
其中的 + 表示玻色子, − 表示费米子. 平均粒子数和平均能量如下
𝑁 = −
𝜕
𝜕𝛼
ln Ξ, 𝐸 = −
𝜕
𝜕𝛽
ln Ξ
外力
𝑌
𝜆
= −
1
𝛽
𝜕
𝜕𝑦
𝜆
ln Ξ
熵
𝑆 = 𝑘
ln Ξ − 𝛼
𝜕
𝜕𝛼
ln Ξ − 𝛽
𝜕
𝜕𝛽
ln Ξ
Helmholtz 自由能
𝐹 = −𝑘𝑇 ln Ξ + 𝑘𝑇𝛼
𝜕
𝜕𝛼
ln Ξ
Gibbs 自由能
𝐺 = 𝑘𝑇 𝛼
𝜕
𝜕𝛼
ln Ξ
巨势
Ψ = −𝑘𝑇 ln Ξ
特别地, 无论是玻色气体还是费米气体, 都满足玻尔兹曼关系
𝑆 = 𝑘 ln 𝑊 ({𝑎
𝜆
})
