系综理论与刘维尔定理

目录

1 系综理论 2

2 刘维尔定理 2

1

1 系综理论

对于自由度为 𝑠 的系统, 其状态由 𝑠 个广义坐标和 𝑠 个广义动量描述

𝑞

𝑖

, 𝑝

𝑖

, 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑠

这构成了一个 2𝑠 维的相空间, 系统的一个确定的微观状态对应着相空间中的一个代表点, 系统的演化遵

方程的解是相空间中的一条曲线. 如果哈密顿量 𝐻 不含时, 则每一个代表点都会沿着一个确定的方向演

化, 从而使得演化的轨迹互不相交. 对于由大量粒子组成的系统, 一个确定的宏观状态对应的微观状态数

目很大, 无法判断某个特定的微观状态是否出现, 只能确定它出现的概率, 记

𝜌(𝑞, 𝑝, 𝑡)d𝑞d𝑝 = 𝜌(𝑞 , 𝑝, 𝑡)dΩ

为系统在 𝑡 时刻处于相空间中某个微元 dΩ 内的概率, 𝜌(𝑞, 𝑝, 𝑡) 称为机率密度, 它应满足概率的归一化

一个物理量的观测值实际上是微观状态的统计平均

𝐴 =

𝐴(𝑞, 𝑝)𝜌(𝑞, 𝑝, 𝑡)d𝑞d𝑝

𝜌(𝑞, 𝑝, 𝑡) =

若将每一个微观状态假象为一个处于该外观状态的小系统, 则整个系统称为统计系综, 或者

系综是假想的, 和所研究的系统性质完全相同的, 彼此独立, 各自处于某一微观状态的大量系统的

集合

2 刘维尔定理

此段在计算物理-系综中亦有记载. 刘维尔定理如是说

相空间中系综的机率密度和代表点数密度在相空间中沿着哈密顿运动轨迹演化时保持不变

𝜌(𝑞, 𝑝; 𝑡)dΩ

代表点流出体积元的速度为

由于代表带你数目守恒, 体积内代表点数目变化速率与流出速率之和为 0

𝜕

𝜌

𝜕𝑡

𝜌v) = 0

可以进一步写为

𝜕

𝜌

𝜕𝑡

𝑖

𝑖

𝑖

𝑖

𝑖

𝑖

𝑖

𝑖

𝑖

𝑖

而由于正则方程, 有

𝜕

𝐻

𝐻

𝜕 ¤𝑝

𝜕𝑡

𝑖

𝑖

𝑖

𝜕 𝑝

𝑖

即

𝜌

𝜕𝑡

𝑖

𝜕𝑞

𝑖

𝜕 𝑝

𝜕𝑞

即

𝜕

𝜌