1 热辐射的内能密度
记热辐射的内能为 𝑈, 体积为 𝑉, 可以定义内能密度
𝑢 ≡
𝑈
𝑉
热辐射是电磁波, 所以其内能密度可以写为
𝑢 =
1
2
𝜖
0
𝐸
2
+
1
2
𝐵
2
𝜇
0
= 𝜖
0
𝐸
2
电磁波的能流密度为
𝑆 =
1
𝜇
0
𝐸 × 𝐵 = 𝑐𝜖
0
𝐸
2
ˆ
𝑘
也就是说
𝑆 = 𝑐𝑢
ˆ
𝑘
虽然这是单色平面波的关系, 但是热辐射是各向同性的, 所以只需要乘以一个系数. 对于一个给给定的面
元, 能流输运与该处的内能成正比
|𝑆| = 𝑘𝑢
假定有两个腔体 𝐴 和 𝐵, 它们具有相同的温度, 而其他状态如形状, 体积都不相同. 腔体内的电磁波辐射
有不同的频率, 总的内能密度为所有频率的内能密度之和
𝑢 =
∞
0
𝑢(𝜈)𝑑𝜈
现让腔体 𝐴, 𝐵 通过一个小通道连接起来, 通道仅允许某个频率 𝜇 的电磁波通过, 那么两腔体的能流输运
为
𝑆
𝐴
= 𝑘𝑢
𝑎
, 𝑆
𝐵
= 𝑘𝑢
𝑏
如果 𝑢
𝑎
≠ 𝑢
𝑏
, 则会自发使得两腔出现温度差, 这违背了热力学第二定律, 所以热辐射的内能密度仅与温度
有关
𝑢 ≡ 𝑢(𝑇 )
2 辐射压强
有电磁场的能量动量张量
↔
𝑇
=
𝜖
0
EE +
1
𝜇
0
BB −
1
2
(𝜖
0
𝐸
2
+
1
𝜇
0
𝐵
2
)
↔
𝐼
给定一个面元 σ, 单位时间内通过该面元的电磁场动量通量为
↔
𝑇
·σ
热辐射的各向同性要求在时间平均下各个方向上的面元其辐射动量通量相等, 所以只需要计算某个方向
的辐射动量通量
↔
𝑇
·
ˆ
𝑥
=
↔
𝑇
𝑥𝑥
= 𝜖
0
𝐸
2
𝑥
+
1
𝜇
0
𝐵
2
𝑥
−
1
2
𝜖
0
𝐸
2
+
1
𝜇
0
𝐵
2
热辐射的各向同性要求在时间平均下有
𝐸
2
𝑥
=
𝐸
2
𝑦
=
𝐸
2
𝑧
=
1
3
𝐸
2
𝐵
2
𝑥
=
𝐵
2
𝑦
=
𝐵
2
𝑧
=
1
3
𝐵
2
所以
↔
𝑇
𝑥𝑥
=
1
3
𝜖
0
𝐸
2
+
1
𝜇
0
𝐵
2
−
1
2
𝜖
0
𝐸
2
+
1
𝜇
0
𝐵
2
=
1
6
𝜖
0
𝐸
2
+
1
𝜇
0
𝐵
2
而电磁场的能量密度为
𝑢 =
1
2
𝜖
0
𝐸
2
+
1
2
𝐵
2
𝜇
0
=
1
2
𝜖
0
𝐸
2
+
1
𝜇
0
𝐵
2
所以
↔
𝑇
·σ
= −
1
6
𝑢𝜎
由于动量守恒, 腔壁受到压强 𝑝 为
𝑝𝜎 = −
↔
𝑇
·σ
=
1
6
𝑢𝜎 ⇒ 𝑝 =
1
6
𝑢
平衡时, 腔壁除了吸收辐射外, 还要向腔内辐射, 并且辐射的能量密度与腔内的辐射能量密度相等, 所以腔
壁应受到两倍的压强
𝑝 =
1
3
𝑢
3 热辐射的热力学函数
利用
𝜕𝑈
𝜕𝑉
𝑇
= 𝑇
𝜕𝑆
𝜕𝑉
𝑇
− 𝑝
可以得到
𝑢 = 𝑇 ·
1
3
d𝑢
d𝑇
−
1
3
𝑢
也就是说
d𝑢
𝑢
= 4
d𝑇
𝑇
解之得
𝑢 = 𝑎𝑇
4
也就是说热辐射有内能
𝑈 = 𝑎𝑉𝑇
4
求其熵利用热力学基本方程
d𝑈 = 𝑇d𝑆 − 𝑝d𝑉
代入 𝑈 = 𝑎𝑉𝑇
4
, 𝑝 =
1
3
𝑢 =
1
3
𝑎𝑇
4
, 得
𝑎𝑇
4
d𝑉 + 4𝑎𝑉𝑇
3
d𝑇 = 𝑇 d𝑆 −
1
3
𝑎𝑇
4
d𝑉
整理即
d𝑆 = d
4
3
𝑎𝑉𝑇
3
由于 𝑉 = 0 时腔已经不存在, 自然有 𝑆 = 0, 所以
𝑆 =
4
3
𝑎𝑉𝑇
3
其他热力学函数都可以由偏导数得出
