强简并理想气体
目录
1 强简并玻色气体与玻色-爱因斯坦凝聚 2
1.1 强简并玻色气体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 低温区的物理量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 强简并费米气体 3
2.1 费米分布函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 费米能级 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 有限温度下的费米气体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.1 有限温度费米气体的化学势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.2 有限温度下的能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1
1 强简并玻色气体与玻色-爱因斯坦凝聚
1.1 强简并玻色气体
此处引用弱简并的结论
𝑛𝜆
3
𝑇
= 𝑔
3/2
(𝑧), 𝜆
𝑇
=
ℎ
√
2𝜋𝑚𝑘𝑇
其中 𝑔
5/2
(𝑧) 是级数
𝑔
𝑚
(𝑧) =
+∞
𝑛=1
𝑧
𝑛
𝑛
𝑚
, 𝑧 = 𝑒
−𝛼
𝑚 = 3/2 时, 级数在 [0, 1] 上收敛, 并且随 𝑧 单调增, 在 𝑧 = 1 时取到最大值. 在粒子数密度一定时, 温度
下降要求 𝑔
3/2
(𝑧) 增大. 鉴于 𝑔
3/2
(𝑧) 存在上限, 则存在一个温度下限 𝑇
𝑐
使得
𝑛 =
1
ℎ
3
(2𝜋𝑚𝑘𝑇
𝑐
)
3/2
𝑔
3/2
(1)
该温度可以由此解出
𝑇
𝑐
=
ℎ
3
2𝜋𝑚𝑘
𝑛
𝑔
3/2
(1)
2/3
𝑇 < 𝑇
𝑐
下该式不适用. 注意到该式推导中用态密度代替能级简并度
𝐷(𝜖) =
2𝜋𝑉
ℎ
3
(2𝑚)
3/2
𝜖
1/2
当 𝜖 = 0 时 𝐷(0) = 0. 在温度高时, 𝜖 = 0 能级上分布粒子不多, 因而影响不大; 不过当温度高时, 𝜖 = 0 能
级不可忽略. 简单起见, 取 𝜖 = 0 能级的简并度为 𝑔
0
= 1, 则
ln Ξ = −
𝜆
𝑔
𝜆
ln(1 − 𝑒
−𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
) = −ln(1 − 𝑒
−𝛼
) −
𝜆≠0
𝑔
𝜆
ln(1 − 𝑒
−𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
)
宏观系统的能级间隔 Δ𝜖 ≪ 𝑘𝑇, 将后一项求和用积分代替, 仍使用简并度
ln Ξ = −ln(1 − 𝑒
−𝛼
) −
∞
0
𝐷(𝜖) ln(1 − 𝑒
−𝛼−𝛽 𝜖
)𝑑𝜖
积分下限为零是因为 𝐷(0) = 0, 多积 𝜖 = 0 的邻域没有影响. 求导即得粒子数
𝑁 = −
𝜕
𝜕𝛼
ln Ξ =
1
𝑒
𝛼
− 1
+
∞
0
𝐷(𝜖)
𝑒
𝛼+𝛽 𝜖
− 1
𝑑𝜖
注意到积分与若简并的情形相同, 所以
𝑁 =
1
𝑒
𝛼
− 1
+
𝑉
ℎ
3
(2𝜋𝑚𝑘𝑇)
3/2
𝑔
3/2
(𝑧) = 𝑁
0
+ 𝑁
𝑒𝑥𝑐
, 𝑧 = 𝑒
−𝛼
其中第一项是基态平均粒子数, 第二项是激发态平均粒子数. 在温度趋于零时, 激发态平均粒子数趋于零,
将会有宏观数量的粒子从激发态聚集到基态, 称为玻色-爱因斯坦凝聚
1.2 低温区的物理量
鉴于巨配分函数的第一项只与 𝛼 有关, 后一项与弱简并情形一致, 所以压强和能量的均值都与弱简并情形
相同
𝑝 =
1
𝛽𝜆
3
𝑇
𝑔
5/2
(𝑧), 𝐸 =
3
2
𝑘𝑇
𝑉
𝜆
3
𝑇
𝑔
5/2
(𝑧)
这说明在基态的粒子对压强和内能均无贡献. 所有温度下, 𝑧 受到粒子数的严格约束
𝑁 =
𝑧
1 − 𝑧
+
𝑉
𝜆
3
𝑇
𝑔
3/2
(𝑧)
注意到热波长的表达式
𝜆
𝑇
=
ℎ
√
2𝜋𝑚𝑘𝑇
有 𝑇 → 0 时, 𝜆
𝑇
→ +∞, 此时后一项趋于零, 所以在低温区有
𝑁 =
𝑧
1 − 𝑧
⇒ 𝑧 =
𝑁
𝑁 + 1
这说明 𝑧 接近于 1, 所以在低温区下用 1 代替 𝑧
𝑝𝑉
𝑁 𝑘𝑇
=
𝐸
3
2
𝑁 𝑘𝑇
=
𝑔
5/2
(1)
𝑔
3/2
(1)
𝑇
𝑇
𝑐
3/2
从而
𝐶
𝑉
=
𝜕𝐸
𝜕𝑇
𝑉
=
15𝑔
5/2
(1)
4𝑔
3/2
(1)
𝑁 𝑘
𝑇
𝑇
𝑐
3/2
表面理想玻色气体的恒压热容以 𝑇
3/2
的速度趋于零, 符合热力学第三定律
2 强简并费米气体
2.1 费米分布函数
考虑自旋为 1/2 的费米子, 没有外磁场, 则两种自旋态具有相同的能量. 作为理想费米气体, 它服从费
米-狄拉克分布
𝑎
𝜆
=
𝑔
𝜆
𝑒
𝛼+𝛽 𝜖
𝜆
+ 1
由于化学势满足
𝜇 = −𝑘𝑇𝛼
所以
𝑎
𝜆
𝑔
𝜆
=
1
𝑒
(𝜖
𝜆
−𝜇)/𝑘𝑇
+ 1
该式的物理含义是能级 𝜖
𝜆
上的平均占据数. 由于宏观大小的体积内, 粒子的平动能级间隔近似连续, 定义
费米分布函数
𝑓 (𝜖) =
1
𝑒
(𝜖 −𝜇 )/𝑘𝑇
+ 1
2.2 费米能级
设 𝑇 = 0 时的化学势为 𝜇
0
, 则当 𝑇 → 0 时, 费米分布函数变为
𝑓 (𝜖) =
1, 𝜖 < 𝜇
0
0, 𝜖 > 𝜇
0
这是一个阶跃函数, 说明在 𝑇 = 0 时, 所有能量小于 𝜇
0
的能级都被完全占据, 而所有能量大于 𝜇
0
的能级
都完全为空. 这是由于费米子受到泡利不相容原理的约束. 称 𝑇 = 0 时的最高填充能级为费米能级, 记为
𝜖
𝐹
. 费米能即零温下费米气体的化学势
𝜖
𝐹
= 𝜇
0
在非简并条件与理想气体中, 已经得到了 1/2 自旋费米子的态密度
𝐷(𝜖) =
2𝜋𝑉
ℎ
3
(2𝑚)
3/2
𝜖
1/2
它的作用是在经典极限下代替简并度, 并将求和换为积分. 由于两个自旋态, 所以实际上的态密度是它的
两倍. 它受到粒子数约束
2
∞
0
𝑓 (𝜖)𝐷 (𝜖)d𝜖 = 2
𝜖
𝐹
0
𝐷(𝜖)d𝜖 = 𝑁
从而
8𝜋𝑉
3
2𝑚
ℎ
2
3/2
𝜖
3/2
𝐹
= 𝑁
由此给出费米能级
𝜖
𝐹
=
ℎ
2
2𝑚
3
8𝜋
𝑁
𝑉
2/3
=
ℎ
2
2𝑚
3𝜋
2
𝑛
2/3
由费米能级给出费米动量和费米波矢
𝑝
𝐹
= ℏ(3𝜋
2
𝑛)
1/3
, 𝑘
𝐹
=
𝑝
𝐹
ℏ
= (3𝜋
2
𝑛)
1/3
它们都与粒子数密度有关. 由积分给出零温下费米气体的总能量, 需要注意来自于自旋的二倍
𝐸
0
= 2
𝜖
𝐹
0
𝜖 𝐷(𝜖)d 𝜖 =
3
5
𝑁𝜖
𝐹
求其他的热力学量需要利用巨配分函数, 不过在强简并情况下积分不好处理. 不过注意到亥姆霍兹自由能
𝐹 = 𝑈 −𝑇 𝑆
所以 𝑇 = 0 时的亥姆霍兹自由能就是能量
𝐹
0
= 𝐸
0
=
3
5
𝑁𝜖
𝐹
从而利用偏导数求出零温时的压强
𝑝 = −
𝜕𝐹
𝜕𝑉
𝑇
= −
2
5
𝑛𝜖
𝐹
其中 𝑛 = 𝑁/𝑉 是粒子数密度, 称零温下的理想费米气体压强为简并压
2.3 有限温度下的费米气体
2.3.1 有限温度费米气体的化学势
𝑇 ≠ 0 时, 费米分布函数不再是阶跃函数, 所以粒子数约束应为
𝑁 = 2
∞
0
𝑓 (𝜖)𝐷 (𝜖)d𝜖 = 2
∞
0
𝐷(𝜖)
𝑒
(𝜖 −𝜇 )/𝑘𝑇
+ 1
d𝜖 =
4𝜋𝑉
ℎ
3
(2𝑚)
3/2
𝑉
∞
0
𝜖
1/2
𝑒
(𝜖 −𝜇 )/𝑘𝑇
+ 1
d𝜖
考察其中的积分
𝐼 =
∞
0
𝜂(𝜖)
𝑒
𝜂 (𝜖 −𝜇)/𝑘𝑇
+ 1
d𝜖
其中 𝜂(𝜖) = 𝜖
1/2
, 做换元
𝐼 = 𝑘𝑇
∞
−𝜇/𝑘𝑇
𝜂(𝜖 + 𝑘𝑇 𝑦)
𝑒
𝑦
+ 1
d𝑦 = 𝑘𝑇
0
−𝜇/𝑘𝑇
𝜂(𝜖 + 𝑘𝑇 𝑦)
𝑒
𝑦
+ 1
d𝑦 + 𝑘𝑇
∞
0
𝜂(𝜖 + 𝑘𝑇 𝑦)
𝑒
𝑦
+ 1
d𝑦
再次换元使得第一项的积分限为正
𝐼 = 𝑘𝑇
𝜇/𝑘𝑇
0
𝜂(𝜖 − 𝑘𝑇 𝑦)
𝑒
−𝑦
+ 1
d𝑦 + 𝑘𝑇
∞
0
𝜂(𝜖 + 𝑘𝑇 𝑦)
𝑒
𝑦
+ 1
d𝑦
利用
1
𝑒
−𝑦
+ 1
= 1 −
1
𝑒
𝑦
+ 1
代入即得
𝐼 = 𝑘𝑇
𝜇
0
𝜂(𝜖)d𝜖 − 𝑘𝑇
𝜇/𝑘𝑇
0
𝜂(𝜇 − 𝑘𝑇 𝑦)
𝑒
𝑦
+ 1
d𝑦 + 𝑘𝑇
∞
0
𝜂(𝜇 + 𝑘𝑇 𝑦)
𝑒
𝑦
+ 1
d𝑦
注意到第二项的分母中含有指数项, 在 𝑦 大时很快趋于零, 所以可以将积分上限取为无穷大, 并与第三项
合并
𝐼 =
𝜇
0
𝜂(𝜖)d𝜖 + 𝑘𝑇
∞
0
𝜂(𝜇 + 𝑘𝑇 𝑦) − 𝜂(𝜇 − 𝑘𝑇 𝑦)
𝑒
𝑦
+ 1
d𝑦
将 𝑦 在 𝜇 附近展开, 并逐项积分, 得到
𝐼 =
𝜇
0
𝜂(𝜖)d𝜖 +
𝜋
2
6
(𝑘𝑇)
2
𝜂
′
(𝜇) +
7𝜋
4
360
(𝑘𝑇)
4
𝜂
′′′
(𝜇) + ···
鉴于 𝑘𝑇 较小, 所以保留前两项. 代会 𝜂(𝜖) = 𝜖
1/2
, 得到
𝑁 =
4𝜋𝑉
ℎ
3
(2𝑚)
3/2
𝜇
3/2
1 +
𝜋
2
8
𝑘𝑇
𝜇
2
从而反解出 𝜇
𝜇 =
(3𝑁)
2/3
8𝑚(𝜋)
2/3
/ℎ
2
1 +
𝜋
2
8
𝑘𝑇
𝜇
2
−2/3
记 𝑇 = 0 时的化学势为 𝜇
0
𝜇
0
=
(3𝑁)
2/3
8𝑚(𝜋)
2/3
/ℎ
2
由于 𝑘𝑇/𝜇 很小, 所以用 𝜇
0
代替 𝜇, 代入得到
𝜇 = 𝜇
0
1 +
𝜋
2
8
𝑘𝑇
𝜇
0
2
−2/3
展开并保留到 𝑇
2
项, 得到
𝜇 = 𝜇
0
1 −
𝜋
2
12
𝑘𝑇
𝜇
0
2
2.3.2 有限温度下的能量
求能量考察积分
𝐸 =
∞
0
𝜖 𝐷(𝜖) 𝑓 (𝜖)d𝜖 =
4𝜋𝑉
ℎ
3
(2𝑚)
3/2
𝑉
∞
0
𝜖
3/2
𝑒
(𝜖 −𝜇 )/𝑘𝑇
+ 1
d𝜖
利用与上一节相同的过程得到
𝐸 =
8𝜋𝑉
5ℎ
3
(2𝑚)
3/2
𝜇
5/2
1 +
5𝜋
2
8
𝑘𝑇
𝜇
0
2
代入上一节求得的化学势, 并展开保留到 𝑇
2
项, 得到
𝐸 =
3
5
𝑁 𝜇
0
1 +
5𝜋
2
12
𝑘𝑇
𝜇
0
2
从而进一步给出热容
𝐶
𝑉
=
𝜕𝐸
𝜕𝑇
𝑉
=
𝜋
2
2
𝑁 𝑘
𝑘𝑇
𝜇
0
它是温度的线性函数, 该式在低温 (𝑇 ≪ 𝑇
𝐹
) 成立. 若将费米子理想气体认为是在边长为 𝐿 的三维无限深
方势阱中, 则有能级
𝜖
𝑛
𝑥
,𝑛
𝑦
,𝑛
𝑧
=
1
2𝑚
2𝜋ℏ
𝐿
2
𝑛
2
𝑥
+ 𝑛
2
𝑦
+ 𝑛
2
𝑧
或者
𝜖
𝜆
= 𝐴𝑉
−2/3
, 𝐴 =
(2𝜋ℏ)
2
2𝑚
(
𝑛
2
𝑥
+
𝑛
2
𝑦
+ 𝑛
2
𝑧
)
那么
𝜕𝜖
𝜆
𝜕𝑉
= −
2
3
𝜖
𝜆
𝑉
从而有压强
𝑝 = −
𝜆
𝑎
𝜆
𝜕𝜖
𝜆
𝜕𝑉
=
2
3
1
𝑉
𝜆
𝑎
𝜆
𝜖
𝜆
=
2
3
𝐸
𝑉
借此可以得到自由能
𝐹 = 𝐺 − 𝑝𝑉 = 𝑁 𝜇 −
2
3
𝐸
代入即得
𝐹 =
3
5
𝑁 𝜇
0
1 −
5𝜋
2
12
𝑘𝑇
𝜇
0
2
鉴于
𝑆 = −
𝜕𝐹
𝜕𝑇
𝑉
可以得到强简并费米气体的熵
𝑆 =
𝜋
2
2
𝑁 𝑘
𝑘𝑇
𝜇
0
