1 经典统计理论
考察理想固体模型: 固体中的所有原子都在平衡位置附近做微小的简谐振动，每个原子的振动相互独立.
设总原子数为 𝑁, 则总自由度为 3𝑁, 所以总能量为
𝐸 =
3𝑁
𝑖=1
1
2
𝑝
2
𝑖
2𝑚
+
1
2
𝑚𝜔
2
𝑞
2
𝑖
+ 𝐸
0
其中 𝐸
0
是原子处于平衡位置的能量, 即结合能. 由能量均分定理, 每个自由度分到的平均能量为
1
2
𝑘𝑇 , 所
以总能量为
𝐸 = 3𝑁 𝑘𝑇 + 𝐸
0
因而有热容
𝐶
𝑉
=
𝜕𝐸
𝜕𝑇
𝑉
= 3𝑁 𝑘
实验验证在高温下正确
2 爱因斯坦量子统计理论
爱因斯坦认为所有谐振子的频率相同, 每个振子的能量为
𝜖
𝑛
=
𝑛 +
1
2
ℎ𝜈, 𝑛 = 0, 1, 2, · · ·
将每个振动自由度视为一个子系, 自由度之间两两互不影响, 可以认为属于近独立定域子系, 服从麦克斯
韦-玻尔兹曼分布. 求其配分函数
𝑍 =
∞
𝑛=0
𝑒
−𝛽 𝜖
𝑛
=
∞
𝑛=0
𝑒
−𝛽
(
𝑛+
1
2
)
ℎ𝜈
= 𝑒
−𝛽ℎ𝜈/2
∞
𝑛=0
𝑒
−𝛽ℎ𝜈
𝑛
=
𝑒
−𝛽ℎ𝜈/2
1 − 𝑒
−𝛽ℎ𝜈
因而得到振动自由度的平均能量
𝜖 = −
𝜕 ln 𝑍
𝜕𝛽
=
1
2
ℎ𝜈 +
ℎ𝜈
𝑒
ℎ𝜈/𝑘𝑇
− 1
注意 𝛽 = 1/𝑘𝑇. 那么总能量为 3𝑁 个自由度的能量和
𝐸 = 3𝑁𝜖 =
3𝑁 ℎ𝜈
2
+
3𝑁 ℎ𝜈
𝑒
ℎ𝜈/𝑘𝑇
− 1
对 𝑇 求导得到热容
𝐶
𝑉
=
𝜕𝐸
𝜕𝑇
𝑉
= 3𝑁 𝑘
ℎ𝜈
𝑘𝑇
2
𝑒
ℎ𝜈/𝑘𝑇
(
𝑒
ℎ𝜈/𝑘𝑇
− 1
)
2
分别取高温和低温的极限得到
𝐶
𝑉 𝐻
= 3𝑁 𝑘 (ℎ𝜈 ≪ 𝑘𝑇 ), 𝐶
𝑉 𝐿
= 3𝑁 𝑘
ℎ𝜈
𝑘𝑇
2
𝑒
−ℎ𝜈/𝑘𝑇
(ℎ𝜈 ≫ 𝑘𝑇 )
这说明
• 高温下, 量子统计理论与经典统计理论一致
• 低温下, 热容随温度指数下降, 并趋于 0
3 德拜模型
德拜理论见固体物理
