1 光子气体
1.1 粒子数可变的玻色分布与普朗克辐射公式
光子气体允许粒子数不守恒, 这是因为腔内的物质可以吸收和发射光子. 光子作为玻色子, 其统计分布服
从玻色-爱因斯坦分布. 回顾玻色分布的导出过程, 最可几分布要求微观状态数达到极值
𝛿 ln 𝑊
𝐵𝐸
=
Õ
𝜆
ln
𝑔
𝜆
+ 𝑎
𝜆
𝑎
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
= 0
随后添加了粒子数和能量稳定约束
𝛿𝑁 =
Õ
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
= 0, 𝛿𝐸 =
Õ
𝜆
𝜖
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
= 0
为了求解引入拉格朗日乘子 𝛼 和 𝛽, 则极值条件变为
Õ
𝜆
ln
𝑔
𝜆
+ 𝑎
𝜆
𝑎
𝜆
− 𝛼 − 𝛽𝜖
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
= 0
光子不满足粒子数约束, 希望取消粒子数约束, 那么只引入一个拉格朗日乘子 𝛽 即可
Õ
𝜆
ln
𝑔
𝜆
+ 𝑎
𝜆
𝑎
𝜆
− 𝛽𝜖
𝜆
𝛿𝑎
𝜆
= 0
这也就等价于 𝛼 = 0, 也就是说光子气体的分布是 𝛼 = 0 的玻色-爱因斯坦分布. 鉴于化学势满足
𝜇 = −𝑘𝑇 𝛼
也就是说光子气体的化学势为零. 可以基于玻色-爱因斯坦分布的结果, 给出其平均分布
𝑎
𝜆
=
𝑔
𝜆
𝑒
𝛽 𝜖
𝜆
− 1
光子的能量动量如下给出
𝑝 =
𝜖
𝑐
=
ℎ𝜈
𝑐
由此可以给出平均分布下光子气体在在频率间隔 (𝜈, 𝜈 + 𝑑𝜈) 内的能量为
𝐸 (𝜈)𝑑𝜈 =
Õ
𝑑𝜈
𝑎
𝜆
𝜖
𝜆
=
Õ
𝑑𝜈
𝑔
𝜆
𝜖
𝜆
𝑒
𝛽 𝜖
𝜆
− 1
=
ℎ𝜈
𝑒
ℎ𝜈/𝑘𝑇
− 1
Õ
𝑑𝜈
𝑔
𝜆
需要求解 𝜈 ∼ 𝜈 + 𝑑𝜈 内的量子态数目. 对于宏观的体积 𝑉 而言, 其中的光子频率近似可以看作是连续的,
也就是说动量是连续的. 由此满足经典极限条件, 所以可以用相空间体积积分代替简并度. 引入态密度
𝑔(𝜈)d𝜈 =
Õ
𝑑𝜈
𝑔
𝜆
= 2
∫
d𝜈
d𝜔
ℎ
3
之所以乘两倍是因为光的偏振有两个自由度, 也就是光子有两个偏振态. 等能量面是一个球面, 因而 d𝜈
是一个球壳, 其体积为 4𝜋 𝑝
2
d𝑝, 𝑝 是光子动量, 再考虑空间的体积 𝑉, 则
𝑔(𝜈)d𝜈 =
2𝑉
ℎ
3
4𝜋 𝑝
2
d𝑝 =
8𝜋𝑉
𝑐
3
𝜈
2
d𝜈
从而得到能量密度
𝐸 (𝜈)𝑑𝜈 =
8𝜋𝑉
𝑐
3
ℎ𝜈
3
𝑒
ℎ𝜈/𝑘𝑇
−
1
d𝜈
对体积归一化即得
𝑢(𝜈)d𝜈 =
8𝜋
𝑐
3
ℎ𝜈
3
𝑒
ℎ𝜈/𝑘𝑇
− 1
d𝜈
即普朗克辐射公式
1.2 巨配分函数与热力学量
理想玻色分布的巨配分函数为
ln Ξ = −
Õ
𝜆
𝑔
𝜆
ln(1 − 𝑒
− 𝛼−𝛽 𝜖
𝜆
)
取 𝛼 = 0 消除粒子数约束, 则
ln Ξ = −
Õ
𝜆
𝑔
𝜆
ln(1 − 𝑒
−𝛽𝜖
𝜆
)
将简并度用态密度代替, 经典极限下求和变为积分, 从而
ln Ξ = −
∫
∞
0
ln(1 − 𝑒
−𝛽ℎ𝜈
)𝑔(𝜈)d𝜈 = −
8𝜋𝑉
ℎ
3
𝑐
3
(𝑘𝑇)
3
∫
∞
0
𝑥
2
ln(1 − 𝑒
−𝑥
)d𝑥
其中做了换元 𝑥 = 𝛽ℎ𝜈. 利用分部积分
ln Ξ = −
8𝜋𝑉
ℎ
3
𝑐
3
(𝑘𝑇)
3
−
𝑥
3
3
ln(1 − 𝑒
−𝑥
)
∞
0
−
1
3
∫
∞
0
𝑥
3
𝑒
𝑥
− 1
d𝑥
第一项为零, 注意到
∫
∞
0
𝑥
3
𝑒
𝑥
− 1
d𝑥 =
𝜋
4
15
所以
ln Ξ =
8𝜋
4
𝑉
45
𝑘𝑇
ℎ𝑐
3
从而给出其他物理量, 如熵, 由于 𝛼 = 0, 所以
𝑆 = 𝑘
ln Ξ − 𝛽
𝜕
𝜕𝛽
ln Ξ
=
32𝜋
4
𝑉
45
𝑘𝑇
ℎ𝑐
3
其他物理量也可以有巨配分函数导出
𝐸 = −
𝜕
𝜕𝛽
ln Ξ =
8𝜋
4
𝑉
15(ℎ𝑐)
3
(𝑘𝑇)
4
𝑝 = −
1
𝛽
𝜕
𝜕𝑉
ln Ξ =
8𝜋
4
45(ℎ𝑐)
3
(𝑘𝑇)
4
=
𝐸
3𝑉
𝐶
𝑉
=
𝜕𝐸
𝜕𝑇
!
𝑉
=
32𝜋
4
𝑉
15(ℎ𝑐)
3
𝑘
4
𝑇
3
= 3𝑆
对于平均光子数, 由于 𝛼 = 0, 所以无法根据 𝛼 的偏导数求解, 不过可以直接对平均分布求和
𝑁 =
Õ
𝜆
𝑎
𝜆
=
Õ
𝜆
𝑔
𝜆
𝑒
𝛽 𝜖
𝜆
− 1
=
∫
∞
0
𝑔(𝜈)
1
𝑒
𝛽ℎ𝜈
− 1
d𝜈
即
𝑁 =
8𝜋𝑉
ℎ
3
𝑐
3
(𝑘𝑇)
3
∫
∞
0
𝑥
2
𝑒
𝑥
− 1
d𝑥 ∼ 𝑉𝑇
3
当 𝑇 → 0 时, 平均光子数趋于零
