伊辛模型
目录
1 伊辛模型 2
2 平均场近似 2
2.1 自洽方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 自发磁化解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 非零弱磁场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1
1 伊辛模型
伊辛模型描述了磁系统相变. 假设有 𝑁 个自旋处于点阵的格点
假设相邻的自旋有相互作用, 哈密顿量为
𝐻 = −𝐽
⟨𝑖, 𝑗 ⟩
𝑆
𝑖
𝑆
𝑗
− 𝜇ℋ
𝑖
𝑆
𝑖
其中 𝑆
𝑖
= ±1 是自旋, ⟨𝑖, 𝑗⟩ 表示相邻的格点对, 𝐽 是自旋间的耦合常数, 𝐽 > 0 表示顺磁性, 𝐽 < 0 表示反
铁磁性, 𝜇 是自旋的磁矩, ℋ 是外加磁场
伊辛模型中自旋数目守恒, 但是能量可以变化, 因而是正则系综. 得到其热力学量只需求出其配分函数
𝑍
𝑁
=
{𝑆
𝑖
}
𝑒
−𝐻/𝑘𝑇
随后利用
𝐹 = 𝐸 −𝑇 𝑆 = −𝑘𝑇 ln 𝑍
𝑁
即可得到各个热力学量
𝐸 = −𝑇
2
𝜕
𝜕𝑇
𝐹
𝑇
, 𝐶
ℋ
=
𝜕𝐸
𝜕𝑇
ℋ
= −𝑇
𝜕
2
𝐹
𝜕𝑇
2
ℋ
, 𝑀 = 𝜇
𝑖
𝑆
𝑖
= 𝑁𝜇𝑆 = −
𝜕𝐹
𝜕ℋ
𝑇
2 平均场近似
2.1 自洽方程
为了求解配分函数, 将哈密顿量变形为
𝐻 = −
𝑖
𝜇𝑠
𝑖
ℋ +
𝐽
𝜇
𝑗
𝑠
𝑗
注意 (𝑖, 𝑗) 保持为邻近的一对格点, 定义内场
ℎ
𝑖
=
𝐽
𝜇
𝑗
𝑠
𝑗
从而
𝐻 = −
𝑖
𝜇𝑠
𝑖
(
ℋ + ℎ
𝑖
)
≡ −
𝑖
𝜇𝑠
𝑖
ℋ
𝑒 𝑓 𝑓
, ℋ
𝑒 𝑓 𝑓
= ℋ + ℎ
𝑖
平均场近似即对 ℎ
𝑖
做处理, 用内场的平均值代替内场
ℎ
𝑖
→ ℎ
𝑖
=
𝐽
𝜇
𝑗
𝑠
𝑗
完全忽略涨落的情况下, 每个格点的自旋平均值相等, 从而
ℎ
𝑖
= ℎ =
𝑧𝐽
𝜇
𝑠
其中 𝑧 是格点的配位数, 即每个格点有多少个相邻格点. 代入哈密顿量得到
𝐻
𝑀𝐹
= −
𝑖
𝜇(ℋ + ℎ)𝑆
𝑖
平均场近似下的配分函数为
𝑍
𝑁
=
{
𝑆
1
,
···
,𝑆
𝑁
=
±
1
}
exp
𝑖
𝜇𝑆
𝑖
(ℋ + ℎ)/𝑘𝑇
=
𝑖
𝑆
𝑖
=±1
exp
𝜇𝑆
𝑖
(ℋ + ℎ)/𝑘𝑇
由于
ℎ =
𝑧𝐽
𝜇
𝑠
所以
𝑆
𝑖
=±1
exp
𝜇𝑆
𝑖
(ℋ + ℎ)/𝑘𝑇
= 2 cosh
𝜇ℋ
𝑘𝑇
+
𝑧𝐽
𝑘𝑇
𝑠
从而
𝑍
𝑁
=
2 cosh
𝜇ℋ
𝑘𝑇
+
𝑧𝐽
𝑘𝑇
𝑠
𝑁
平均自旋 𝑠 仍未给出. 先得到自由能的表达式
𝐹 = −𝑘𝑇 ln 𝑍
𝑁
= −𝑁 𝑘𝑇
ln 2 + ln cosh
𝜇ℋ
𝑘𝑇
+
𝑧𝐽
𝑘𝑇
𝑠
从而
𝑀 = 𝑁 𝜇𝑠 = −
𝜕𝐹
𝜕ℋ
𝑇
= 𝑁𝜇 tanh
𝜇ℋ
𝑘𝑇
+
𝑧𝐽
𝑘𝑇
𝑠
得到 𝑠 的自洽方程
𝑠 = tanh
𝜇ℋ
𝑘𝑇
+
𝑧𝐽
𝑘𝑇
𝑠
2.2 自发磁化解
令
𝑇
𝑐
=
𝑧𝐽
𝑘
在 ℋ = 0 时, 自洽方程变为
𝑠 = tanh
𝑇
𝑐
𝑇
𝑠
当 𝑇 > 𝑇
𝑐
时, 𝑠 = 0 是唯一解, 当 𝑇 < 𝑇
𝑐
时, 有三个解
𝑠 = 0, ±𝑠
0
其中 𝑠 = 0 不对应自由能极小不是稳态解, 舍去. 从而可以画出图
这正好对应于铁磁体的顺磁-铁磁相变, 在温度大于临界温度时不表现出磁化, 而在温度小于临界温度时,
出现自发磁化现象
分析临界温度附近系统的行为, 当 𝑇 → 𝑇
𝑐
时, 𝑠 是一个小量, 进而可以将 tanh 展开
tanh 𝑥 ≈ 𝑥 −
𝑥
3
3
+ ·· ·
进而可以解得
𝑠 =
√
3
1 −
𝑇
𝑇
𝑐
1/2
进而
𝑀 ∝
1 −
𝑇
𝑇
𝑐
1/2
这是说当温度趋于临界温度时, 磁化率以幂律的形式趋于 0, 临界指数为 1/2. 此外由自由能可以得到能
量期望
𝐸 = 𝑁 𝑘 tanh
𝑇
𝑐
𝑇
𝑠
−𝑇
𝑐
𝑠 +𝑇
𝑐
𝑇
𝜕𝑠
𝜕𝑇
进而可以再求导得到热容
𝐶
H
=
𝜕
¯
𝐸
𝜕𝑇
= 𝑁 𝑘
1 − tanh
2
𝑇
𝑐
𝑇
𝑠
𝑇
2
𝑐
𝑇
2
𝑠
2
− 2
𝑇
2
𝑐
𝑇
¯
𝑠
𝜕
¯
𝑠
𝜕𝑇
+𝑇
2
𝑐
𝜕
¯
𝑠
𝜕𝑇
2
+ 𝑁 𝑘 tanh
𝑇
𝑐
𝑇
¯
𝑠
𝑇
𝑐
𝑇
𝜕
2
¯
𝑠
𝜕𝑇
2
鉴于
𝑠
=
0, 𝑇 → 𝑇
+
𝑐
√
3
1
−
𝑇
𝑇
𝑐
1/2
, 𝑇
→
𝑇
−
𝑐
那么
𝐶
H
=
0, 𝑇 → 𝑇
+
𝑐
3𝑁 𝑘𝑇
𝑐
𝑇 → 𝑇
−
𝑐
在临界温度附近, 𝐶
H
出现了有限大小的跃变
2.3 非零弱磁场
考察非零弱磁场的情况, 此时 tanh 内部依然是小量, 进行一阶展开
tanh
𝜇ℋ
𝑘𝑇
+
𝑧𝐽
𝑘𝑇
𝑠
≈
𝜇ℋ
𝑘𝑇
+
𝑧𝐽
𝑘𝑇
𝑠
从而得到
𝑠 =
𝜇
𝑘
1
𝑇 −𝑇
𝑐
ℋ
进而
𝑀 = 𝑁 𝜇
2
/𝑘𝑇 −𝑇
𝑐
ℋ
磁化率为
𝜒 =
𝜕𝑀
𝜕ℋ
𝑇
=
𝑁 𝜇
2
/𝑘
𝑇 −𝑇
𝑐
∝
1
𝑇 −𝑇
𝑐
当 𝑇 → 𝑇
+
𝑐
时, 磁化率趋于无穷大, 可以借此确定临界温度
