高斯光束
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1 基模高斯光束 2
1.1 高斯光束的 q 参数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 q 参数的 ABCD 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 高斯光束的聚焦 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 高斯光束的准直 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 高阶高斯光束 6
2.1 厄米特-高斯光束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 拉盖尔-高斯光束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 高斯光束的自再现变换 7
4 光束衍射倍率因子 8
1
1 基模高斯光束
1.1 高斯光束的 q 参数
沿 𝑧 轴传播的基模高斯光束总有下面的形式, 其中原点在束腰处
Ψ
00
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑐
𝑤(𝑧)
exp
−
𝑟
2
𝑤
2
(𝑧)
exp
−𝑖
𝑘
𝑧 +
𝑟
2
2𝑅(𝑧)
− arctan
𝑧
𝑓
其中 𝑤(𝑧) 是光束半径, 中心位置的半径 𝑤
0
是束腰半径
𝑤(𝑧) = 𝑤
0
s
1 +
𝑧
𝑓
2
, 𝑤
0
=
r
𝜆 𝑓
𝜋
, 𝑓 =
𝜋𝑤
2
0
𝜆
𝑅(𝑧) 是波前曲率半径
𝑅(𝑧) = 𝑧 +
𝑓
2
𝑧
对于一般的稳定球面腔而言, 有
𝑤
4
0
=
𝜆
𝜋
2
𝐿(𝑅
1
− 𝐿)(𝑅
2
− 𝐿)(𝑅
1
+ 𝑅
2
− 𝐿)
(𝑅
1
+ 𝑅
2
− 2𝐿)
2
, 𝑓
2
=
𝐿(𝑅
1
− 𝐿)(𝑅
2
− 𝐿)(𝑅
1
+ 𝑅
2
− 𝐿)
(𝑅
1
+ 𝑅
2
− 2𝐿)
2
引入一个新的复参数 𝑞(𝑧), 其倒数实部为曲率半径 𝑅(𝑧), 虚部为半径 𝑤(𝑧)
1
𝑞(𝑧)
=
1
𝑅(𝑧)
−𝑖
𝜆
𝜋𝑤
2
(𝑧)
或者稍加计算可得, 𝑞 的实部是观测位置与束腰位置的距离, 虚部决定了束腰大小
𝑞(𝑧) = 𝑧 +𝑖 𝑓
那么场分布就可以表示为
Ψ
00
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑐
𝑤(𝑧)
exp
−𝑖𝑘
𝑟
2
2𝑞
exp
−𝑖
𝑘𝑧 − arctan
𝑧
𝑓
1.2 q 参数的 ABCD 变换
注意到傍轴球面波有表达式
𝑈(𝑟, 𝑧) =
𝐴
𝑧
exp
−𝑖𝑘 𝑧 −𝑖𝑘
𝑟
2
2 𝑧
这似乎长得很像! 只是将 𝑧 替换成了 𝑞. 那么只需要注意到
1
𝑤(𝑧)
exp
𝑖 arctan
𝑧
𝑓
=
𝑧 +𝑖 𝑓
𝑤
0
s
1 +
𝑧
2
𝑓
2
p
𝑧
2
+ 𝑓
2
= 𝑖
r
𝜋 𝑓
𝜆
1
𝑞(𝑧)
就可以看出基模高斯光束实际上是一个复参数 𝑞 的傍轴球面波, 因而称其为高斯光束的复曲率半径. 普
通的傍轴球面波在经过 ABCD 系统后, 曲率半径变化为
𝑅
2
=
𝐴𝑅
1
+ 𝐵
𝐶𝑅
1
+ 𝐷
因而可以推测, 高斯光束的复参数 𝑞 在经过 ABCD 系统后也有相同的变换
𝑞
2
=
𝐴𝑞
1
+ 𝐵
𝐶𝑞
1
+ 𝐷
这可以通过菲涅尔积分加以证明
自由传播的 ABCD 矩阵为
𝑇
𝐿
=
1 𝐿
0 1
!
那么 𝑞 参数的变化为
𝑞
2
= 𝑞
1
+ 𝐿
焦距为 𝐹 薄透镜的 ABCD 矩阵为
𝑇
𝐹
=
©
«
1 0
−
1
𝐹
1
ª
®
¬
那么 𝑞 参数的变化为
𝑞
2
=
𝐹𝑞
1
𝐹 − 𝑞
1
只要稍加变形, 就能看出它跟球面波的曲率半径变化是一样的
1
𝑞
2
=
1
𝑞
1
−
1
𝐹
1.3 高斯光束的聚焦
假定在透镜左侧有一个高斯光束, 其束腰处 𝑞
0
, 距离透镜 𝑙; 透镜焦距为 𝐹, 透镜右侧的束腰处 𝑞
′
0
, 距离透
镜 𝑙
′
那么这个先传输 𝑙, 再经过透镜的系统的 ABCD 矩阵为
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
!
=
©
«
1 0
−
1
𝐹
1
ª
®
¬
1 𝑙
0 1
!
=
©
«
1 𝑙
−
1
𝐹
1 −
𝑙
𝐹
ª
®
¬
那么 𝑞 参数的变化为
𝑞
2
=
𝑖 𝑓 + 𝑙
−
1
𝐹
𝑖 𝑓 +1 −
𝑙
𝐹
, 𝑓 =
𝜋𝑤
2
0
𝜆
𝑞
2
其实是 𝑞
′
0
向左传播 𝑙
′
得到的, 因而
𝑞
2
= 𝑖
𝜋𝑤
′2
0
𝜆
− 𝑙
′
对比表达式即得
𝑙
′
= 𝐹 +
(𝑙 − 𝐹)𝐹
2
(𝑙 − 𝐹)
2
+ 𝑓
2
, 𝑤
′2
0
=
𝐹
2
𝑤
2
0
(𝐹 − 𝑙)
2
+ 𝑓
2
, 𝑓 =
𝜋𝑤
2
0
𝜆
当 𝑤
0
很小可以忽略时, 那么则有几何光学形式的关系
1
𝑙
+
1
𝑙
′
=
1
𝐹
,
𝑤
′
0
𝑤
0
=
𝑙
′
𝑙
=
𝐹
𝐹 − 𝑙
当 𝑙 < 𝐹 时, 𝑤
′
0
随 𝑙 减小而减小, 当 𝑙 = 0 即透镜处于束腰位置时, 𝑤
′
0
取得最小值, 此时
𝑤
′
0
=
𝑤
0
s
1 +
𝑓
𝐹
2
, 𝑙
′
=
𝐹
1 +
𝑓
𝐹
2
, 𝑓 =
𝜋𝑤
2
0
𝜆
当 𝑙 > 𝐹 时, 𝑤
′
0
随 𝑙 增大而减小, 当 𝑙 → ∞ 时, 𝑤
′
0
→ 0, 此时
𝑙
′
→ 𝐹
在 𝑙 = 𝐹 时, 𝑤
′
0
取得最大值, 此时
𝑤
′
0
=
𝜆𝐹
𝜋𝑤
0
, 𝑙
′
= 𝐹
那么放大比例
𝑤
′
0
𝑤
0
=
𝜆𝐹
𝜋𝑤
2
0
=
𝐹
𝑓
总的来说, 若希望聚焦效果好 (𝑤
′
0
小), 则应该
1. 选择焦距 𝐹 较小的透镜
2. 入射束腰位置远离透镜焦点 (𝑙 ≫ 𝐹), 或者令束腰与透镜重合 (𝑙 = 0) 并增大入射束腰半径
( 𝑓 ≫ 𝐹)
1.4 高斯光束的准直
若高斯光束经过光学系统后远场发散角由 𝜃
0
变为 𝜃
′′
, 则定义准直倍率为
𝑀
′
=
𝜃
0
𝜃
′′
可以利用望远镜达成准直效果
望远镜由两片透镜组成, 其焦距分别为 𝐹
1
, 𝐹
2
, 其中 𝐹
1
焦距很短, 即 𝑙 ≫ 𝐹
1
, 那么出射的高斯光束束腰与
焦点重合, 且有很小的束腰半径
𝑤
′
0
=
𝜆𝐹
1
𝜋𝑤(𝑙)
远场发散角为
𝜃
′
=
2𝑤
′
0
𝑓
′
=
2𝑤
′
0
𝜋𝑤
′2
0
𝜆
=
2𝜆
𝜋𝑤
′
0
第二片透镜的焦点与入射的束腰重合, 那么有
𝑤
′′
0
=
𝐹
2
𝜆
𝜋𝑤
′
0
=
𝐹
2
𝐹
1
𝑤(𝑙)
同理远场发散角为
𝜃
′′
=
2𝜆
𝜋𝑤
′′
0
=
𝐹
1
𝐹
2
2𝜆
𝜋𝑤(𝑙)
注意到
𝜃
0
=
2𝜆
𝜋𝑤
0
那么准直倍率为
𝑀 =
𝜃
0
𝜃
′′
=
𝐹
2
𝑤(𝑙)
𝐹
1
𝑤
0
又由于
𝑤(𝑙) = 𝑤
0
s
1 +
𝑙
𝑓
2
= 𝑤
0
s
1 +
𝜆𝑙
𝜋𝑤
2
0
2
因此
𝑀
′
=
𝐹
2
𝐹
1
s
1 +
𝜆𝑙
𝜋𝑤
2
0
2
取名为 𝑀
′
是为了区别于焦距之比 𝑀 = 𝐹
2
/𝐹
1
. 当 𝑙 = 0 时 (此时为了使近似仍成立, 需要束腰半径足够
大满足 𝑓 ≫ 𝐹
1
), 则有
𝑀
′
= 𝑀 =
𝐹
1
𝐹1
2 高阶高斯光束
2.1 厄米特-高斯光束
以束腰处为原点, 沿 𝑧 轴传播的厄米特-高斯光束有如下形式
𝜓
𝑚𝑛
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐶
𝑚𝑛
1
𝑤
H
𝑚
√
2
𝑤
𝑥
!
H
𝑛
√
2
𝑤
𝑦
!
· e
−
𝑟
2
𝑤
2
e
−𝑖
h
𝑘
𝑧+
𝑟
2
2𝑅
−(1+𝑚+𝑛) arctan
𝑧
𝑓
i
用 𝑞 参数表示为
𝜓
𝑚𝑛
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐶
𝑚𝑛
1
𝑤
H
𝑚
√
2
𝑤
𝑥
!
H
𝑛
√
2
𝑤
𝑦
!
· e
−𝑖
h
𝑘
𝑧+
𝑟
2
2𝑞
−(1+𝑚+𝑛) arctan
𝑧
𝑓
i
厄米-高斯光束沿 𝑥 方向有 𝑚 条节线, 沿 𝑦 方向有 𝑛 条节线. 沿 𝑧 轴的附加相位为
ΔΦ
𝑚𝑛
(𝑧) = −𝑘 𝑧 + (1 + 𝑚 + 𝑛) arctan
𝑧
𝑓
在 𝑧 处的光斑尺寸为
𝑤
2
𝑚
(𝑧) = (2𝑚 + 1)𝑤
2
(𝑧), 𝑤
2
𝑛
(𝑧) = (2𝑛 + 1)𝑤
2
(𝑧), 𝑤(𝑧) = 𝑤
0
s
1 +
𝑧
𝑓
2
其中 𝑤(𝑧) 为基模高斯光束的光斑尺寸. 𝑥 方向和 𝑦 方向的远场发散角分别为
𝜃
𝑚
=
√
2𝑚 + 1
2𝜆
𝜋𝑤
0
, 𝜃
𝑛
=
√
2𝑛 + 1
2𝜆
𝜋𝑤
0
其中 𝑤
0
为基模高斯光束的束腰半径
2.2
拉盖尔
-
高斯光束
以束腰处为原点, 沿 𝑧 轴传播的拉盖尔-高斯光束有如下形式
𝜓
𝑚𝑛
( 𝑟, 𝜑, 𝑧) =
𝐶
𝑚𝑛
𝑤
√
2
𝑟
𝑊
𝑚
L
𝑚
𝑛
2
𝑟
2
𝑊
2
e
−
𝑟
2
𝑤
2
e
−i
h
𝑘
𝑧+
𝑟
2
2𝑅
−(𝑚+2𝑛+1) arctan
𝑧
𝑓
i
cos 𝑚𝜑
sin 𝑚𝜑
沿着 𝑧 轴的附加相位为
ΔΦ
𝑚𝑛
(𝑧) = −𝑘 𝑧 + (𝑚 + 2𝑛 + 1) arctan
𝑧
𝑓
书上说它的光斑半径为
𝑤
𝑚𝑛
(𝑧) =
√
2𝑛 + 𝑚 + 1𝑤(𝑧)
其中 𝑤(𝑧) 为基模高斯光束的光斑尺寸. 它的远场发散角为
𝜃
𝑚𝑛
=
√
2𝑛 + 𝑚 + 1𝜃
0
, 𝜃
0
=
2𝜆
𝜋𝑤
0
其中 𝜃
0
为基模高斯光束的远场发散角
3 高斯光束的自再现变换
如果一个高斯光束通过透镜后其结构不发生变化, 即参数 𝑤
0
不变, 则称该高斯光束经过该透镜发生了自
再现变换. 利用透镜变换公式
𝑤
′2
0
=
𝐹
2
𝑤
2
0
(𝐹 − 𝑙)
2
+ 𝑓
2
= 𝑤
2
0
解得
𝐹 =
1
2
𝑙
"
1 +
𝑓
𝑙
2
#
, 𝑓 =
𝜋𝑤
2
0
𝜆
注意到高斯光束在透镜处的曲率半径为
𝑅(𝑙) = 𝑙
"
1 +
𝑓
𝑙
2
#
因此自再现变换的条件即透镜焦距等于曲率半径的一半. 该条件也适用于反射镜, 更加直观的理解是, 高
斯光束的等相位面与反射镜表面重合
4 光束衍射倍率因子
注意到高斯光束光腰尺寸和远场发散角的乘积是定值
𝑤
0
𝜃
0
=
2𝜆
𝜋
高阶光束也是如此. 高阶厄米-高斯光束在 x 方向和 y 方向的光腰半宽和发散角的乘积分别为
𝑤
𝑚
𝜃
𝑚
= (2𝑚 + 1)
2𝜆
𝜋
, 𝑤
𝑛
𝜃
𝑛
= (2𝑛 + 1)
2𝜆
𝜋
高阶拉盖尔-高斯光束的光腰半宽和发散角的乘积为
𝑤
𝑚𝑛
𝜃
𝑚𝑛
= (2𝑛 + 𝑚 + 1)
2𝜆
𝜋
因而定义光束参数乘积为
𝐵𝑃𝑃 = 光腰半宽 × 发散角
基于此, 定义光束衍射倍率因子
𝑀
2
=
实际光束的𝐵𝑃𝑃
基模高斯光束的𝐵𝑃𝑃
对于高阶厄米特-高斯光束, 有
𝑀
2
𝑥
= 2𝑚 + 1, 𝑀
2
𝑦
= 2𝑛 + 1
对于高阶拉盖尔-高斯光束, 有
𝑀
2
𝑟
= 2𝑛 + 𝑚 + 1
