1 自发辐射
当原子处于高能态时, 会自发地向低能态跃迁, 并发射出光子. 这种现象称为自发辐射
假定每个原子的自发辐射过程是独立的, 那么 d𝑡 时间内, 发生自发辐射的原子数目 d𝑛
21
与处于高能态的
原子数目 𝑛
2
成正比, 即
d𝑛
21
= 𝐴
21
𝑛
2
d𝑡
其中的 𝐴
21
称为自发辐射系数, 它是单个原子在单位时间内发生自发辐射跃迁的概率. 对于纯粹的自发
辐射而言, 有
d𝑛
2
= −d𝑛
21
因此代入上式可得
𝑛
2
(𝑡) = 𝑛
2
(0)𝑒
− 𝐴
21
𝑡
处于高能态的原子数目随时间呈指数衰减, 可以求出其平均寿命
𝜏 =
1
𝑛
20
∫
+∞
0
𝑛
2
(𝑡)d𝑡
积分即得
𝜏 =
1
𝐴
21
光强也跟随时间呈指数衰减, 即
𝐼 (𝑡) = 𝐼 (0)𝑒
− 𝐴
21
𝑡
= 𝐼(0)𝑒
−𝑡 /𝜏
2 受激吸收
当原子处于低能态时, 如果有频率与能级差相对应的电磁波照射, 原子就有可能吸收电磁波的能量, 跃迁
到高能态. 这种现象称为受激吸收
设低能态原子数目为 𝑛
1
, 在 d𝑡 时间内, 发生受激吸收跃迁的原子数目 d𝑛
12
为
d𝑛
12
= 𝐵
12
𝜌(𝜈)𝑛
1
d𝑡
其中的 𝐵
12
称为受激吸收系数, 𝜌(𝜈) 为频率为 𝜈 的电磁波的能量密度. 单位时间内, 每个原子发生受激吸
收跃迁的概率与电磁波的能量密度和受激吸收系数成正比
d𝑛
12
d𝑡
·
1
𝑛
1
= 𝐵
12
𝜌(𝜈)
3 受激辐射
高能级态的原子与入射光子相互作用, 可能会跃迁到低能态, 并发射出与入射光子完全相同的光子. 这种
现象称为受激辐射
假设高能态原子数目为 𝑛
2
, 在 d𝑡 时间内, 发生受激辐射跃迁的原子数目 d𝑛
21
为
d𝑛
21
= 𝐵
21
𝜌(𝜈)𝑛
2
d𝑡
其中的 𝐵
21
称为受激辐射系数. 在单位时间内发生受激辐射跃迁的几率与电磁波的能量密度和受激辐射
系数成正比
d𝑛
21
d𝑡
·
1
𝑛
2
= 𝐵
21
𝜌(𝜈)
4 爱因斯坦关系
在热平衡状态下, 三种跃迁同时发生, 粒子数分布不变. 如果考察低能态 𝑛
1
, 则有
受激吸收跃迁数 = 受激辐射跃迁数 + 自发辐射跃迁数
代入各个跃迁的表达式, 得到
𝐵
12
𝜌(𝜈, 𝑇)𝑛
1
= 𝐵
21
𝜌(𝜈, 𝑇)𝑛
2
+ 𝐴
21
𝑛
2
热平衡时, 原子数服从玻尔兹曼分布, 假设上能级简并度为 𝑓
2
, 下能级简并度为 𝑓
1
, 则有
𝑛
2
𝑛
1
=
𝑓
2
𝑒
−𝐸
2
/𝑘𝑇
𝑓
1
𝑒
−𝐸
1
/𝑘𝑇
=
𝑓
2
𝑓
1
𝑒
−ℎ𝜈/𝑘𝑇
其中 ℎ𝜈 是光子能量, 它是两个能级差 𝐸
2
− 𝐸
1
. 将上式代入平衡方程, 可得
𝐴
21
𝐵
21
=
8𝜋ℎ𝜈
3
𝑐
3
,
𝐵
12
𝐵
21
=
𝑓
2
𝑓
1
在热平衡时, 某个特定模式上的光子数服从玻色分布, 即
¯
𝑛 =
1
𝑒
ℎ𝜈/𝑘𝑇
− 1
那么能量密度 𝜌(𝜈, 𝑇) 就可以用模式密度表示为
𝜌(𝜈, 𝑇) =
¯
𝑛 · 𝐷 (𝜈) · ℎ𝜈 =
8𝜋ℎ𝜈
3
𝑐
3
·
1
𝑒
ℎ𝜈/𝑘𝑇
− 1
其中模式密度 𝐷 (𝜈) 取真空中的值
𝐷(𝜈) =
8𝜋𝜈
2
𝑐
3
注意到受激辐射与自发辐射概率之比有
𝐵
21
𝜌(𝜈, 𝑇)
𝐴
21
=
1
𝑒
ℎ𝜈/𝑘𝑇
− 1
=
¯
𝑛
这说明在热平衡时, 受激辐射几率与自发辐射几率之比等于平均每个模式上的光子数
