激光器的震荡输出特性
目录
1 激光器的振荡阈值 2
1.1 反转粒子数阈值密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 连续激光器的泵浦功率阈值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 四能级激光器的泵浦功率阈值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 三能级激光器的泵浦功率阈值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 短脉冲的阈值泵浦能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 激光器的震荡模式 4
2.1 均匀加宽激光器中的模式竞争 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 非均匀加宽激光器中的多模震荡 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 输出功率 6
3.1 连续激光器的输出功率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1.1 均匀加宽激光器的输出功率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1.2 非均匀加宽激光器的输出功率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 短脉冲激光器的输出能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 激光器的效率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 单模激光器的线宽极限 9
1
1 激光器的振荡阈值
1.1 反转粒子数阈值密度
在激光器中, 谐振腔的长度 𝐿 往往大于工作物质的长度 𝑙. 受激辐射发生在工作物质中, 而损耗在腔的所
有地方都会发生. 假设腔体积为 𝑉
𝑅
, 工作物质体积为 𝑉
𝑎
, 则光子数方程应该写为
d𝑁𝑉
𝑅
d𝑡
=
𝑛
2
−
𝑓
2
𝑓
1
𝑛
1
𝜎
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑣𝑁𝑉
𝑎
−
𝑁𝑉
𝑅
𝜏
𝑅
, 𝜏
𝑅
=
𝐿
′
𝛿𝑐
其中 𝑣 是光在工作物质中的光速, 𝐿
′
是谐振腔的光程长度, 做此区分是因为工作物质中光速与真空中的
光速不同. 如果假定光束直径是均匀的, 那么体积就可以用长度表示, 即
d𝑁
d𝑡
=
𝑛
2
−
𝑓
2
𝑓
1
𝑛
1
𝜎
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑐𝑁
𝑙
𝐿
′
−
𝑁
𝜏
𝑅
注意公式里面的介质光速 𝑣 变为了真空光速 𝑐 , 这是因为它作用到介质光程上得到了长度 𝑙. 光场被放大
要求光子数增加, 即得阈值条件
Δ𝑛
0
≥ Δ𝑛
𝑡
=
𝛿
𝜎
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑙
小信号增益系数与粒子数反转成正比
,
因而有
阈值小信号增益系数
𝑔
0
(𝜈) ≥ 𝑔
𝑡
(𝜈) =
𝛿
𝑙
1.2 连续激光器的泵浦功率阈值
1.2.1 四能级激光器的泵浦功率阈值
在工作物质的增益特性中, 已经得到了四能级激光器稳定工作时有
𝑛
1
= 𝑛
3
= 0, Δ𝑛 = 𝑛
2
那么由粒子数反转阈值可以得到 𝐸
2
能级粒子数阈值
𝑛
2𝑡
=
𝛿
𝜎
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑙
当粒子数 𝑛
2
稳定与阈值后, 单位时间内在单位体积中从 𝐸
2
能级跃迁到 𝐸
1
能级的粒子数为
𝑛
2𝑡
𝜂
2
𝜏
𝑠2
, 𝜂
2
=
𝐴
21
𝐴
21
+ 𝑆
21
, 𝜏
𝑠2
=
1
𝐴
21
其中 𝜂
2
是荧光效率, 𝜏
𝑠2
是 𝐸
2
能级的自发辐射寿命, 它们的乘积是 𝐸
2
能级的总寿命. 为了维持粒子数
反转, 泵浦必须提供相同数量的粒子数跃迁
记 𝜂
𝐹
= 𝜂
1
𝜂
2
为总量子效率, 它的意义可以理解为: 由光泵抽运到 𝐸
3
的粒子, 只有一部分通过无辐射跃迁
到达激光上能级
𝐸
2
,
另一部分通过其他途径返回基态。而到达
𝐸
2
能级的粒子
,
也只有一部分通过自发
辐射跃迁到达 𝐸
1
能级并发射荧光, 其余粒子通过无辐射跃迁而跃迁到 𝐸
1
能级。因此总量子效率表示为
𝜂
𝐹
=
发射荧光的光子数
工作物质从光泵吸收的光子数
那么泵浦功率阈值为
𝑃
𝑝𝑡
=
ℎ𝜈
𝑝
𝑛
2𝑡
𝑉
𝜂
𝐹
𝜏
𝑠2
=
ℎ𝜈
𝑝
𝛿𝑉
𝜂
𝐹
𝜎
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑙𝜏
𝑠2
其中 𝑉 是工作物质的体积, 𝜈
𝑝
是泵浦光频率
1.2.2 三能级激光器的泵浦功率阈值
在三能级系统中, 𝐸
1
是基态. 同样忽略 𝐸
3
能级粒子数, 则有
𝑛 ≈ 𝑛
1
+ 𝑛
2
结合
Δ𝑛 = 𝑛
2
−
𝑓
2
𝑓
1
𝑛
1
那么有 𝑛
2
的阈值
𝑛
2𝑡
=
( 𝑓
2
/𝑓
1
)𝑛 + Δ𝑛
𝑡
1 + 𝑓
2
/𝑓
1
由此得到泵浦功率阈值
𝑃
𝑝𝑡
=
ℎ𝜈
𝑝
𝑛
2𝑡
𝑉
𝜂
𝐹
𝜏
𝑠2
=
1
1 + 𝑓
2
/𝑓
1
ℎ𝜈
𝑝
𝑛𝑉
𝜂
𝐹
𝜏
𝑠2
1.3 短脉冲的阈值泵浦能量
在短脉冲情形, 相对于脉冲持续时间, 粒子的自发辐射和无辐射跃迁速率可以忽略不计, 只需要产生粒子
数反转即可产生激光. 定义 𝐸
3
能级向 𝐸
2
能级跃迁的量子效率为 𝜂
1
𝜂
1
=
𝐴
32
𝐴
32
+ 𝑆
32
产生粒子数反转需要 𝐸
2
能级粒子数达到 𝑛
2𝑡
𝑉, 需要的泵浦光子数为 𝑛
2𝑡
𝑉/𝜂
1
, 因此对于四能级系统而言,
阈值泵浦能量为
𝐸
𝑝𝑡
=
ℎ𝜈
𝑝
𝑛
2𝑡
𝑉
𝜂
1
=
ℎ𝜈
𝑝
𝛿𝑉
𝜂
1
𝜎
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑙
对于三能级系统, 代入之前的阈值粒子数, 有
𝐸
𝑝𝑡
=
ℎ𝜈
𝑝
𝑛
2
𝑡
𝑉
𝜂
1
=
1
1 + 𝑓
2
/𝑓
1
ℎ𝜈
𝑝
𝑛𝑉
𝜂
1
2 激光器的震荡模式
2.1 均匀加宽激光器中的模式竞争
均匀加宽增益介质中的激光器, 其增益系数峰值位于中心频率 𝜈
0
当震荡开始时, 由于饱和效应, 增益系数曲线会降低, 导致频率偏离峰值的模式增益系数低于阈值增益系
数, 进而熄灭. 最终只有频率最接近增益峰值的模式能够震荡, 这就是模式竞争现象. 理想情况下, 均匀加
宽稳态激光器的输出应是单纵模
但是实际上在激光器内, 两面腔镜中间的光会形成驻波, 在波腹位置才消耗增益介质的能量, 称为空间烧
孔. 如果有另一个纵模, 其波腹与其他模式错开, 也能获得增益并震荡
如果增益介质是高压气体, 热运动会抹平空间烧孔效应; 相反, 驻波固体激光器一般为多模震荡
2.2 非均匀加宽激光器中的多模震荡
不同于均匀加宽增益介质, 非均匀加宽增益介质的增益曲线是由许多窄线叠加而成的, 因此某个频率饱和
并不影响其他频率的增益. 在非均匀加宽激光器中一般都是多纵模振荡
非均匀加宽增益介质激光器也存在模式竞争, 分为两种
1. 两个模式频率接近时, 会竞争增益介质中相同的粒子数反转资源, 导致其中一个模式被抑制
2. 两个模式频率关于增益峰值对称分布时, 会竞争增益介质中相同的粒子数反转资源, 导致其中一个
模式被抑制
3 输出功率
3.1 连续激光器的输出功率
当激光器开始震荡时, 光强逐渐增加, 导致增益系数降低. 最终达到稳态时, 增益系数等于阈值增益系数
𝑔
𝑡
=
𝛿
𝑙
3.1.1 均匀加宽激光器的输出功率
在均匀加宽的情况下, 有增益
𝑔
𝐻
(𝜈, 𝐼) =
𝑔
0
𝐻
(𝜈)
1 + 𝐼/𝐼
𝑠
(𝜈)
因此稳态光强为
𝐼 = 𝐼
𝑠
(𝜈)
𝑔
0
𝐻
(𝜈)𝑙
𝛿
− 1
激光器腔镜的反射率 𝑇 一般很小, 因而认为正向光强 𝐼
+
和反向光强 𝐼
−
相等, 则输出功率为
𝑃 = 𝐴𝑇 𝐼
+
=
1
2
𝐴𝑇 𝐼
𝑠
(𝜈)
𝑔
0
𝐻
(𝜈)𝑙
𝛿
− 1
损耗的来源有两个, 腔镜的透射和往返无用损耗, 有
2𝛿 = 𝑇 + 𝛼
二倍是因为光在腔内往返. 代入上式有
𝑃 =
1
2
𝐴𝑇 𝐼
𝑠
(𝜈)
2𝑔
0
𝐻
(𝜈)𝑙
𝑇 + 𝛼
− 1
求极值可得最佳透射率
𝑇
𝑚
=
2𝛼𝑔
0
𝐻
(𝜈)𝑙 − 𝛼
此时的输出功率为
𝑃
𝑚
=
1
2
𝐴𝐼
𝑠
(𝜈)
2𝑔
0
𝐻
(𝜈)𝑙 −
√
𝛼
2
对于光泵激光器, 泵浦功率与增益系数成正比, 那么
𝑔
0
𝐻
(𝜈)
𝑔
𝑡
(𝜈)
=
𝑃
𝑝
𝑃
𝑝𝑡
由于
𝑃
𝑝𝑡
=
ℎ𝜈
𝑝
𝛿𝑉
𝜂
𝐹
𝜎
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑙𝜏
𝑠2
𝑙
, 𝐼
𝑠
(𝜈) =
ℎ𝜈
0
𝜎
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝜏
2
那么
𝑃
𝑝𝑡
=
𝜈
𝑝
𝛿𝑉
𝜈
0
𝜂
1
𝑙
𝐼
𝑠
(𝜈)
进一步得到激光器输出功率
𝑃 =
𝜈
0
𝐴
𝜈
𝑝
𝑆
𝜂
0
𝜂
1
𝑃
𝑝𝑡
𝑃
𝑝
𝑃
𝑝𝑡
− 1
, 𝜂
0
=
𝑇
2𝛿
其中耦合系数 𝜂
0
表示腔内激光功率转化为输出功率的比例, 𝑆 有别于代表光束面积的 𝐴, 为工作物质截
面积. 如果还没有被绕晕的话, 可以再将吸收的泵浦功率用电功率表示. 定义 𝑝
𝑝
为光泵的输入电功率,
𝑝
𝑝𝑡
为阈值电功率, 再定义电转换效率
𝜂
𝑒
=
𝑃
𝑝
𝑝
𝑝
那么激光器输出功率为
𝑃 =
𝜈
0
𝐴
𝜈
𝑝
𝑆
𝜂
𝑒
𝜂
0
𝜂
1
𝑝
𝑝𝑡
𝑝
𝑝
𝑝
𝑝𝑡
− 1
输出功率由超过阈值的部分转换而来, 因而提高泵浦功率或者降低损耗都能提高输出功率
3.1.2 非均匀加宽激光器的输出功率
对于由多普勒非均匀加宽的激光器, 当震荡频率不是中心频率时, 对于两个传播方向的 𝐼
+
和 𝐼
−
起增益的
是不同粒子. 考察输出的 𝐼
+
有
𝑔
𝐷
(𝜈, 𝐼
+
) =
𝑔
𝑚
1 + 𝐼
+
/𝐼
𝑠
(𝜈)
exp
−
(𝜈 − 𝜈
0
)
2
Δ𝜈
2
𝐷
其中 𝑔
𝑚
为增益系数峰值 𝑔
𝐷
(𝜈
0
). 稳态时有
𝑔
𝐷
(𝜈, 𝐼
+
) =
𝛿
𝑙
因此输出光强为
𝐼
+
= 𝐼
𝑠
(𝜈)
𝑔
𝑚
𝑙
𝛿
exp
−4 ln 2
(𝜈 − 𝜈
0
)
2
Δ𝜈
2
𝐷
2
− 1
那么输出功率为
𝑃 = 𝐴𝑇 𝐼
+
= 𝐴𝑇 𝐼
𝑠
(𝜈)
𝑔
𝑚
𝑙
𝛿
exp
−4 ln 2
(𝜈 − 𝜈
0
)
2
Δ𝜈
2
𝐷
2
− 1
当震荡频率等于中心频率时, 𝐼
+
和 𝐼
−
都在中心出烧孔. 其中 𝐼
+
的增益系数为
𝑔
𝐷
(𝜈
0
, 𝐼
+
) =
𝑔
𝑚
1 + (𝐼
+
+ 𝐼
−
)/𝐼
𝑠
(𝜈
0
)
=
𝑔
𝑚
1 + 2𝐼
+
/𝐼
𝑠
(𝜈
0
)
稳态时有 𝑔
𝐷
(𝜈
0
, 𝐼
+
) = 𝛿/𝑙, 因而有
𝐼
+
=
1
2
𝐼
𝑠
(𝜈
0
)
𝑔
𝑚
𝑙
𝛿
2
− 1
输出功率为
𝑃 =
1
2
𝐴𝑇 𝐼
𝑠
(𝜈
0
)
𝑔
𝑚
𝑙
𝛿
2
− 1
此时功率并不如前一种情况大, 因为两个方向的光在竞争同一种粒子资源
称其为兰姆凹陷. 凹陷的宽度大约是烧孔的宽度
𝛿𝜈 ≈ Δ𝜈
𝐷
1 +
𝐼
+
𝐼
𝑠
3.2 短脉冲激光器的输出能量
设工作物质吸收的泵浦能量为 𝐸
𝑝
, 则 𝐸
2
能级粒子数为
𝐸
𝑝
𝜂
1
ℎ𝜈
𝑝
如果它大于阈值粒子数 𝑛
2𝑡
𝑉, 则发生受激辐射过程, 直到 𝑛
2
降到 𝑛
2𝑡
. 输出光子数为
𝐸
𝑝
𝜂
1
ℎ𝜈
𝑝
− 𝑛
2𝑡
𝑉
那么在腔内的能量为
𝐸
0
= ℎ𝜈
0
𝐸
𝑝
𝜂
1
𝐴
ℎ𝜈
𝑝
𝑆
− 𝑛
2𝑡
𝑉
=
𝜈
0
𝐴
𝜈
𝑝
𝑆
𝜂
1
(𝐸
𝑝
− 𝐸
𝑝𝑡
)
其中 𝐸
𝑝𝑡
为阈值泵浦能量
𝐸
𝑝𝑡
=
ℎ𝜈
𝑝
𝑛
2
𝑡
𝑉
𝜂
1
若腔由一个全反射镜和一个透射率为 𝑇 的输出镜组成, 则输出能量为
𝐸 =
𝑇
𝑇 + 𝛼
𝜈
0
𝐴
𝜈
𝑝
𝑆
𝜂
1
(𝐸
𝑝
− 𝐸
𝑝𝑡
)
利用电转换效率, 激光器的输出能量和电输入能量之间的关系为
𝐸 =
𝑇
𝑇 + 𝛼
𝜈
0
𝐴
𝜈
𝑝
𝑆
𝜂
𝑒
𝜂
1
(𝑒
𝑝
− 𝑒
𝑝𝑡
)
它随输入能量线性增加. 事实上, 脉冲激光器的输出并不是一个简单的脉冲, 而是很多的短脉冲
这是因为泵浦使得粒子数反转达到极大后, 剧烈的受激辐射使得粒子数反转迅速下降, 导致激光输出迅速
减弱. 之后粒子数反转又逐渐积累, 形成下一个脉冲. 这种现象称为弛豫振荡效应或尖峰振荡效应
3.3 激光器的效率
激光器的总效率定义为输出功率和输入功率之比
𝜂
𝑡
=
𝑃
𝑝
𝑝
=
𝐸
𝜖
𝑝
另外定义斜率效率为输入功率很高时, 输出功率对输入功率直线的斜率
𝜂
𝑠
=
𝑃
𝑝
𝑝
− 𝑝
𝑝𝑡
=
𝐸
𝜖
𝑝
− 𝜖
𝑝𝑡
4 单模激光器的线宽极限
在考虑自发辐射时, 激光器的输出并不是完全单频. 记自发辐射概率为 𝑎, 那么有光子数速率方程
d𝑁
d𝑡
= Δ𝑛𝜎
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑐𝑁 + 𝑎𝑛
2
−
𝑁
𝜏
𝑅
自发辐射概率除了需要考虑工作物质发生自发辐射的概率
𝐴
21
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
), 还需要考虑谐振腔的模态密度. 单
位体积内电磁波模态密度为
𝜌(𝜈) =
8𝜋𝜈
2
𝑐
3
因而有
𝑎 =
𝐴
21
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
)
𝜌(𝜈) · 𝑉
其中 𝑉 = 𝑆𝐿 为谐振腔体积. 注意到截面定义为
𝜎
21
(𝜈, 𝜈
0
) =
𝑐
2
8𝜋𝜈
2
𝐴
21
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
)
那么
𝑎 =
𝜎
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑐
𝑆𝐿
又有单位长度的损耗 𝛿, 则光子在谐振腔内的寿命为
1
𝜏
𝑅
=
𝑐𝛿
𝐿
其中 𝐿 是谐振腔长度. 还有均匀加宽的增益系数
𝑔(𝜈, 𝜈
0
) = Δ𝑛𝜎
21
(𝜈, 𝜈
0
)
在稳态时, 光子数不变, 进而得到
𝑔(𝜈, 𝐼)𝑙 + 𝜎
21
(𝜈, 𝜈
0
)
𝑛
2
𝑆𝑁
− 𝛿 = 0
其中 𝑙 是工作物质长度, 这是因为工作物质不一定充满谐振腔, 上面的光速 𝑐 都代表介质中光速. 在稳态
时, 反转粒子数和粒子数密度都为临界值
Δ𝑛 = Δ𝑛
𝑡
, 𝑛
2
= 𝑛
2𝑡
那么除了输出外的净损耗为
𝛿
𝑠
= 𝛿 − 𝑔(𝜈, 𝐼)𝑙 =
𝑎𝑛
2𝑡
𝑐𝑁
净损耗直接决定了激光器的线宽
Δ𝜈
𝑠
=
1
2𝜋𝜏
′
𝑅
=
𝑐𝛿
𝑠
2𝜋𝐿
′
其中 𝜏
′
𝑅
是考虑净损耗后的光子寿命, 𝐿
′
是谐振腔的光程长度. 原子的跃迁速率为
𝑊
21
= 𝜎
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑐𝑁
因此从能量守恒角度出发有输出功率
𝑃
0
= Δ𝑛
𝑡
𝑉 ℎ𝜈𝑊
21
= Δ𝑛
𝑡
𝑆𝐿ℎ𝜈𝜎
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑐𝑁 = Δ𝑛
𝑡
𝑎𝑁 (𝑆𝐿)
2
ℎ𝜈
由于腔内单位长度的光子能量为 𝑁𝑆ℎ𝜈, 其中一半的光子经过透射率为 𝑇 的腔镜输出, 因而有
𝑃
0
=
1
2
𝑇 𝑁 𝑆𝑐ℎ𝜈
进而代入得到线宽
Δ𝜈
𝑠
=
𝑛
2𝑡
Δ𝑛
𝑡
2𝜋(Δ𝜈
𝑐
)
2
ℎ𝜈
𝑃
0
, Δ 𝜈
𝑐
=
𝑐𝑇
4𝜋𝜂𝐿
其中 Δ𝜈
𝑐
是空腔线宽, 𝜂 是介质的折射率
