工作物质的增益特性
目录
1 线型函数 2
2 均匀加宽 2
2.1 自然加宽 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 碰撞加宽 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 总均匀加宽 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 非均匀加宽 4
3.1 多普勒加宽 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 晶格缺陷加宽 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 综合加宽 5
5 速率方程 6
5.1 三能级系统的速率方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.2 四能级系统的速率方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.3 四能级多模速率方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6 均匀加宽工作物质的增益系数 10
7 非均匀加宽工作物质的增益系数 11
7.1 非均匀加宽工作物质的增益系数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
7.2 烧孔效应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1
1 线型函数
对于从 𝐸
2
→ 𝐸
1
的跃迁, 通常谱线不是单色的, 而是有一个分布. 辐射功率是频率的函数, 表示为 𝑃(𝜈),
总辐射功率是积分
𝑃 =
∞
0
𝑃(𝜈)d𝜈
那么基于此定义线型函数, 它是功率的归一化
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
) =
𝑃(𝜈)
𝑃
其中 𝜈
0
是跃迁的中心频率
ℎ𝜈
0
= 𝐸
2
− 𝐸
1
它是归一化的
∞
0
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
)d𝜈 = 1
谱线的宽度定义为半高全宽
˜
𝑔
𝜈
0
+
Δ𝜈
2
, 𝜈
0
=
˜
𝑔
𝜈
0
−
Δ𝜈
2
, 𝜈
0
=
1
2
˜
𝑔(𝜈
0
, 𝜈
0
)
2 均匀加宽
2.1 自然加宽
自然加宽源自激发态的有限寿命. 在自发辐射过程中, 光强随时间指数衰减
𝐼 (𝑡) = 𝐼
0
𝑒
−𝑡/𝜏
也就是说辐射出电磁波的振幅随时间指数衰减
𝐸 (𝑡) = 𝐸
0
𝑒
−𝛾𝑡/2
𝑒
−𝑖 𝜔
0
𝑡
为了将其分解为单色波的叠加, 计算其傅里叶变换
𝐸 (𝜔) =
1
√
2𝜋
∞
0
𝐸
0
𝑒
−𝛾𝑡/2
𝑒
−𝑖 𝜔
0
𝑡
𝑒
𝑖 𝜔𝑡
d𝑡 =
𝐸
0
√
2𝜋
1
𝛾/2 +𝑖(𝜔 − 𝜔
0
)
计算其模平方, 得到每一个频率成分的功率
𝑃(𝜔) = |𝐸 (𝜔)|
2
=
|𝐸
0
|
2
2𝜋
1
(𝛾/2)
2
+ (𝜔 − 𝜔
0
)
2
归一化后得到线型函数
˜
𝑔(𝜔, 𝜔
0
) =
𝛾
(𝛾/2)
2
+ (𝜔 − 𝜔
0
)
2
=
𝛾/4𝜋
2
(𝛾/4𝜋)
2
+ (𝜈 − 𝜈
0
)
2
这是洛伦兹线型, 当 𝜈 = 𝜈
0
时有最大值
˜
𝑔(𝜈
0
, 𝜈
0
) =
4
𝛾
进而得到其谱线宽度
Δ
𝜈
𝑁
=
𝛾
2𝜋
如果低能级还会跃迁到更低的能级, 即也具有一个有限寿命, 那么展宽会变为
Δ𝜈
𝑁
=
𝛾
1
+ 𝛾
2
2𝜋
=
1
2𝜋
1
𝜏
1
+
1
𝜏
2
其中 𝜏
1
, 𝜏
2
分别是两个能级的寿命. 这可以理解为有限寿命使得两个能级都具有不确定度, 从而影响展宽
2.2
碰撞加宽
原子间的碰撞会导致相位中断. 设平均碰撞时间为 𝜏
𝐿
, 则线型函数为
˜
𝑔
𝐿
(𝜈, 𝜈
0
) =
Δ𝜈
𝐿
/2𝜋
(𝜈 − 𝜈
0
)
2
+ (Δ𝜈
𝐿
/2)
2
, Δ𝜈
𝐿
=
1
2𝜋𝜏
𝐿
如果存在两种气体 𝑎, 𝑏, 那么
1
(𝜏
𝐿
)
𝑎𝑏
= 𝑛
𝑏
𝑄
𝑎𝑏
8𝑘𝑇
𝜋
1
𝑚
𝑎
+
1
𝑚
𝑏
其中 𝑛
𝑏
是气体 𝑏 的数密度, 𝑄
𝑎𝑏
是碰撞截面, 𝑚
𝑎
, 𝑚
𝑏
是气体分子的质量. 同种原子间的碰撞寿命为
1
(𝜏
𝐿
)
𝑎𝑎
= 𝑛
𝑎
𝑄
𝑎𝑎
16𝑘𝑇
𝜋𝑚
𝑎
多种气体混合时, 总的碰撞寿命为
1
𝜏
𝐿
=
1
(𝜏
𝐿
)
𝑎𝑎
+
1
(𝜏
𝐿
)
𝑎𝑏
+
1
(𝜏
𝐿
)
𝑎𝑐
+ ···
碰撞加宽与气体压强成正比, 实验中常测系数
Δ𝜈
𝐿
= 𝛼𝑃
2.3 总均匀加宽
在气体工作物质中, 将自然加宽与碰撞加宽合并得到
˜
𝑔
𝐻
(𝜈, 𝜈
0
) =
Δ𝜈
𝐻
/2𝜋
(𝜈 − 𝜈
0
)
2
+ (Δ𝜈
𝐻
/2)
2
, Δ𝜈
𝐻
=
1
2𝜋
1
𝜏
+
2
𝜏
𝐿
对于一般的气体, 碰撞加宽远大于自然加宽. 当气压很低时, 二者相当
3 非均匀加宽
3.1 多普勒加宽
当一个发光原子在发出频率为 𝜈
0
的光时, 还相对观察者以 𝑣
𝑧
的速度运动, 则观察者测得的频率为
𝜈
′
0
= 𝜈
0
𝑐 + 𝑣
𝑧
𝑐 − 𝑣
𝑧
≈ 𝜈
0
1 +
𝑣
𝑧
𝑐
约定向着观察者运动的速度为正. 原子的速度服从麦克斯韦分布律, 单位体积内速度在 𝑣
𝑧
∼ 𝑣
𝑧
+d𝑣
𝑧
范围
内的原子数为
d𝑛 = 𝑛
𝑚
2𝜋𝑘𝑇
exp
−
𝑚𝑉
2
𝑧
2𝑘𝑇
d𝑉
𝑧
其中 𝑛 是原子数密度, 𝑚 是原子质量. 观察者测得的频率有 𝜈
′
0
= 𝜈
0
(1 +𝑉
𝑧
/𝑐), 解得
𝑉
𝑧
= 𝑐
𝜈
′
0
− 𝜈
0
𝜈
0
假设 𝐸
2
和 𝐸
1
能级上单位体积内的原子数为 𝑛
2
和 𝑛
1
, 那么
d𝑛
2
= 𝑛
2
𝑐
𝜈
0
𝑚
2𝜋𝑘𝑇
exp
−
𝑚𝑐
2
2𝑘𝑇 𝜈
2
0
(𝜈
′
0
− 𝜈
0
)
2
d𝜈
′
0
, d𝑛
1
= 𝑛
1
𝑐
𝜈
0
𝑚
2𝜋𝑘𝑇
exp
−
𝑚𝑐
2
2𝑘𝑇 𝜈
2
0
(𝜈
′
0
− 𝜈
0
)
2
d𝜈
′
0
如果不考虑其它加宽, 某个频率的辐射强度正比于该频率处的原子数, 麦克斯韦速度分布率对于每个能级
的原子是一样的, 因此线型函数为
˜
𝑔
𝐷
(𝜈, 𝜈
0
) =
𝑛
2
(𝜈
′
0
)
𝑛
2
=
𝑛
1
(𝜈
′
0
)
𝑛
1
代入即得
˜
𝑔
𝐷
(𝜈, 𝜈
0
) =
𝑐
𝜈
0
𝑚
2𝜋𝑘𝑇
exp
−
𝑚𝑐
2
2
𝑘𝑇 𝜈
2
0
(𝜈 − 𝜈
0
)
2
这是一个高斯形函数
当 𝜈 = 𝜈
0
时有最大值
˜
𝑔
𝐷
(𝜈
0
, 𝜈
0
) =
𝑐
𝜈
0
𝑚
2𝜋𝑘𝑇
多普勒线宽定义为其半高全宽
Δ𝜈
𝐷
= 2𝜈
0
2𝑘𝑇 ln 2
𝑚𝑐
2
用线宽可以将线型函数表示为
˜
𝑔
𝐷
(𝜈, 𝜈
0
) =
2
Δ𝜈
𝐷
ln 2
𝜋
exp
−
4 ln 2
𝜈 − 𝜈
0
Δ𝜈
𝐷
2
3.2 晶格缺陷加宽
晶格缺陷会使得附近的原子能级发生微小变化, 导致发射频率发生变化, 只能由实验测出它的谱线宽度
4 综合加宽
均匀加宽和非均匀加宽由不同的物理机制引起, 独立存在. 因此总的线型函数为两者的卷积
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
) =
∞
0
˜
𝑔
𝐻
(𝜈
′
0
, 𝜈
0
)
˜
𝑔
𝐷
(𝜈, 𝜈
′
0
)d𝜈
′
0
这可以理解为, 总的线型是很多个不同中心频率的均匀加宽线型的叠加, 每个频率的权重由非均匀加宽线
型给出. 当均匀加宽线宽远小于非均匀加宽线宽时, 只有中心频率为 𝜈 的原子才对总线型有贡献; 当非均
匀加宽线宽远小于均匀加宽线宽时, 则原子近似静止, 忽略多普勒效应
5 速率方程
当考虑了均匀加宽时, 自发辐射系数 𝐴
21
与辐射频率有关. 以 𝐴
21
(𝜈) 表示单个原子在单位时间内自发辐
射到频率 𝜈 ∼ 𝜈 + d𝜈 范围内的概率, 则有
𝐴
21
(𝜈) = 𝐴
21
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
) =
𝐴
21
𝜋
Δ𝜈
𝐻
/2
(𝜈 − 𝜈
0
)
2
+ (Δ𝜈
𝐻
/2)
2
其中 𝐴
21
是不考虑加宽时的自发辐射系数. 对于三个爱因斯坦系数, 有爱因斯坦关系
𝐴
21
𝐵
21
=
8𝜋ℎ𝜈
3
𝑐
3
,
𝐵
21
𝐵
12
=
𝑓
1
𝑓
2
其中 𝑓
1
, 𝑓
2
分别是两个能级的简并度. 虽然该关系是是由粒子数稳定得到的, 但实际上在平衡态时光谱也
应该稳定, 因此该关系对某个特定频率仍然成立. 因此有
𝐵
21
(𝜈) =
𝑐
3
8𝜋ℎ𝜈
3
𝐴
21
(𝜈) = 𝐵
21
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
), 𝐵
12
(𝜈) =
𝑓
2
𝑓
1
𝐵
21
(𝜈) = 𝐵
12
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
)
单位时间内发生自发辐射的粒子数不受加宽影响
d𝑛
21
d𝑡
𝑠 𝑝
= 𝑛
2
∞
0
𝐴
21
(𝜈)d𝜈 = 𝑛
2
𝐴
21
∞
0
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
)d𝜈 = 𝑛
2
𝐴
21
但是受加宽影响的受激辐射和吸收粒子数为
d𝑛
21
d𝑡
𝑠𝑡
= 𝑛
2
∞
0
𝐵
21
(𝜈)𝜌(𝜈)d𝜈 = 𝑛
2
𝐵
21
∞
0
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
)𝜌(𝜈)d𝜈
d𝑛
12
d𝑡
𝑎𝑏
= 𝑛
1
∞
0
𝐵
12
(𝜈)𝜌(𝜈)d𝜈 = 𝑛
1
𝐵
12
∞
0
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
)𝜌(𝜈)d𝜈
其中 𝜌(𝜈) 是频率 𝜈 处的外界光场能量密度, 需要分两种情况讨论:
1. 原子和连续谱光辐射场的相互作用: 其展宽远大于线型函数的展宽, 因此可以在积分中认为是常数,
提出积分号外, 得到
d𝑛
21
d𝑡
𝑠𝑡
= 𝑛
2
𝐵
21
𝜌(𝜈
0
),
d𝑛
12
d𝑡
𝑎𝑏
= 𝑛
1
𝐵
12
𝜌(𝜈
0
)
2. 原子和单色光辐射场的相互作用: 其展宽远小于线型函数的展宽, 因此可以在积分中认为是一个 𝛿
函数, 得到
d𝑛
21
d𝑡
𝑠𝑡
= 𝑛
2
𝐵
21
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
)𝜌,
d𝑛
12
d𝑡
𝑎𝑏
= 𝑛
1
𝐵
12
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
)𝜌
其中 𝜈 是单色光的频率, 𝜌 为总能量密度
𝜌 =
∞
0
𝜌(𝜈)d𝜈
在激光器中, 激发光为单色光. 记光子的数密度为 𝑁, 那么能量密度为
𝜌 = 𝑁 ℎ𝜈
进而跃迁概率为
𝑊
21
= 𝐵
21
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
)𝜌 =
𝑐
3
8𝜋𝜈
2
𝐴
21
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
)𝑁
𝑊
12
= 𝐵
12
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
)𝜌 =
𝑓
2
𝑓
1
𝑐
3
8𝜋𝜈
2
𝐴
21
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
)𝑁
由此定义受激发射截面和受激吸收截面
𝜎
21
(𝜈, 𝜈
0
) =
𝑐
2
8𝜋𝜈
2
𝐴
21
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
), 𝜎
12
(𝜈, 𝜈
0
) =
𝑓
2
𝑓
1
𝑐
2
8𝜋𝜈
2
𝐴
21
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
)
其中的 𝑐 是光速, 在介质中需要换位介质中光速. 那么跃迁概率写为
𝑊
21
= 𝜎
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑐𝑁, 𝑊
12
= 𝜎
12
(𝜈, 𝜈
0
)𝑐𝑁
当
˜
𝑔 为均匀加宽的洛伦兹线型时, 截面有最大值
𝜎
21
(𝜈
0
, 𝜈
0
) =
𝑐
2
4𝜋𝜈
2
0
𝐴
21
Δ𝜈
𝐻
当
˜
𝑔 为非均匀加宽的高斯线型时, 截面有最大值
𝜎
21
(𝜈
0
, 𝜈
0
) =
𝑐
2
4𝜈
2
0
ln 2
𝜋
3
𝐴
21
Δ𝜈
𝐷
5.1 三能级系统的速率方程
考虑一个三能级系统, 其中 𝐴 代表表示自发辐射, 𝑊 表示受激辐射和吸收, 𝑆 表示非辐射跃迁
其中 3 → 1 的自发辐射和非辐射跃迁速率远小于 3 → 2 的非辐射跃迁速率
𝑆
31
≪
𝑆
32
, 𝐴
31
≪
𝑆
32
那么基态上的粒子被泵浦到 𝐸
3
后, 会迅速通过 𝑆
32
跃迁到 𝐸
2
上, 形成亚稳态. 在 𝐸
2
和 𝐸
1
之间跃迁存
在自发辐射和受激辐射. 那么各能级粒子数变化为
d𝑛
3
d𝑡
= 𝑛
1
𝑊
13
− 𝑛
3
(𝑆
32
+ 𝐴
31
)
d𝑛
2
d𝑡
= 𝑛
1
𝑊
12
− 𝑛
2
𝑊
21
− 𝑛
2
(𝐴
21
+ 𝑆
21
) + 𝑛
3
𝑆
32
𝑛
1
+ 𝑛
2
+ 𝑛
3
= 𝑛
在受激辐射启动后, 自发辐射可以忽略不计. 因而光子数密度变化为受激辐射发出的光子减去被吸收的光
子. 如果再考虑到光子的有限寿命 𝜏
𝑅
, 则有
d𝑁
d𝑡
= 𝑛
2
𝑊
21
− 𝑛
1
𝑊
12
−
𝑁
𝜏
𝑅
代入相关表达式得到三能级系统的速率方程
d𝑛
3
d𝑡
= 𝑛
1
𝑊
13
− 𝑛
3
(𝑆
32
+ 𝐴
31
)
d𝑛
2
d𝑡
= −
𝑛
2
−
𝑓
2
𝑓
1
𝑛
1
𝜎
𝐻
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑐𝑁 − 𝑛
2
(𝐴
21
+ 𝑆
21
) + 𝑛
3
𝑆
32
𝑛
1
+ 𝑛
2
+ 𝑛
3
= 𝑛
d𝑁
d𝑡
=
𝑛
2
−
𝑓
2
𝑓
1
𝑛
1
𝜎
𝐻
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑐𝑁 −
𝑁
𝜏
𝑅
5.2 四能级系统的速率方程
考虑一个四能级系统, 其中 𝐴 代表表示自发辐射, 𝑊 表示受激辐射和吸收, 𝑆 表示非辐射跃迁
其中除了 3 → 0 和 1 → 0 外的跃迁速率都很小, 2 → 1 的非辐射跃迁可以忽略
𝑆
30
≪ 𝑆
32
, 𝐴
30
≪ 𝑆
32
, 𝑆
21
≪ 𝐴
21
受激辐射过程发生在 𝐸
2
和 𝐸
1
之间. 相比于三能级系统, 𝐸
1
不是基态, 因而具有更少粒子, 更容易实现粒
子数反转. 基于此仿照三能级系统, 可以得到四能级系统的速率方程
d𝑛
3
d𝑡
= 𝑛
0
𝑊
03
− 𝑛
3
(𝑆
32
+ 𝐴
30
)
d𝑛
2
d𝑡
= −
𝑛
2
−
𝑓
2
𝑓
1
𝑛
1
𝜎
𝐻
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑐𝑁 − 𝑛
2
(𝐴
21
+ 𝑆
21
) + 𝑛
3
𝑆
32
d𝑛
0
d𝑡
= 𝑛
1
𝑆
10
− 𝑛
0
𝑊
03
+ 𝑛
3
𝐴
30
𝑛
0
+ 𝑛
1
+ 𝑛
2
+ 𝑛
3
= 𝑛
d𝑁
d𝑡
=
𝑛
2
−
𝑓
2
𝑓
1
𝑛
1
𝜎
𝐻
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑐𝑁 −
𝑁
𝜏
𝑅
或者如果只关注受激辐射的两个能级, 记 𝜏
1
, 𝜏
2
分别为 𝐸
1
, 𝐸
2
的寿命
𝜏
1
=
1
𝑆
10
, 𝜏
2
=
1
𝐴
21
+ 𝑆
21
记 𝑅
2
为单位体积中每单位时间泵浦到 𝐸
2
的粒子数
𝑅
2
= 𝑛
0
𝑆
32
那么四能级系统的速率方程可以简化为
d𝑛
2
d𝑡
= 𝑅
2
−
𝑛
2
𝜏
2
−
𝑛
2
−
𝑓
2
𝑓
1
𝑛
1
𝜎
𝐻
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑐𝑁
d𝑛
1
d𝑡
= −
𝑛
1
𝜏
1
+
𝑛
2
𝜏
2
+
𝑛
2
−
𝑓
2
𝑓
1
𝑛
1
𝜎
𝐻
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑐𝑁
d𝑁
d𝑡
=
𝑛
2
−
𝑓
2
𝑓
1
𝑛
1
𝜎
𝐻
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑐𝑁 −
𝑁
𝜏
𝑅
5.3 四能级多模速率方程
前面的讨论都是基于单模光场的, 实际上激光器中通常存在多个模式. 假定激光器中存在 𝑚 个模式, 其中
第 𝑙 个模式的光子数密度为 𝑁
𝑙
, 频率为 𝜈
𝑙
, 光子寿命为 𝜏
𝑅𝑙
. 那么四能级系统中 𝑛
2
需要考虑多个模式的受
激辐射和吸收
d𝑛
2
d𝑡
= −
𝑙
𝑛
2
−
𝑓
2
𝑓
1
𝑛
1
𝜎
𝐻
21
(𝜈
𝑙
, 𝜈
0
)𝑐𝑁
𝑙
− 𝑛
2
(𝐴
21
+ 𝑆
21
) + 𝑛
3
𝑆
32
光子的数密度方程也需要分模式考虑
d𝑁
𝑙
d𝑡
=
𝑛
2
−
𝑓
2
𝑓
1
𝑛
1
𝜎
𝐻
21
(𝜈
𝑙
, 𝜈
0
)𝑐𝑁
𝑙
−
𝑁
𝑙
𝜏
𝑅𝑙
方程过于复杂需要数值求解
6 均匀加宽工作物质的增益系数
假定有一束强度为 𝐼
0
的单色光射入工作物质, 它的强度会随着传播距离 𝑧 的增加而变化. 增益系数定义
为
𝑔(𝜈) =
1
𝐼 (𝑧)
d𝐼 (𝑧)
d 𝑧
在三能级和四能级系统中, 光子数密度变化为
d
𝑁
d𝑡
=
𝑛
2
−
𝑓
2
𝑓
1
𝑛
1
𝜎
𝐻
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑐𝑁 −
𝑁
𝜏
𝑅
粒子数反转为
Δ𝑛 = 𝑛
2
−
𝑓
2
𝑓
1
𝑛
1
再忽略损耗项, 上式写为
d𝑁
d𝑡
= Δ𝑛𝜎
𝐻
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑐𝑁
光强定义为单位时间内通过单位面积的能量, 即
𝐼 = 𝑁 ℎ𝜈𝑐
那么代入 d𝐼 (𝑧) = ℎ𝜈𝑐d𝑁, d𝑧 = 𝑐d𝑡 即得
𝑔 = Δ𝑛𝜎
𝐻
21
(𝜈, 𝜈
0
) = Δ𝑛
𝑐
2
𝐴
21
8𝜋𝜈
2
0
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
)
为了考察粒子数反转随光强的变化, 需要借助速率方程. 在四能级系统中
d𝑛
3
d𝑡
= 𝑛
1
𝑊
13
− 𝑛
3
(𝑆
32
+ 𝐴
31
)
d𝑛
2
d𝑡
= −Δ𝑛𝜎
𝐻
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑐𝑁 − 𝑛
2
(𝐴
21
+ 𝑆
21
) + 𝑛
3
𝑆
32
d𝑛
0
d𝑡
= 𝑛
1
𝑆
10
− 𝑛
0
𝑊
03
+ 𝑛
3
𝐴
30
𝑛
0
+ 𝑛
1
+ 𝑛
2
+ 𝑛
3
= 𝑛
在稳态下, 粒子数不随时间变化, 因而有
d𝑛
3
d𝑡
=
0
,
d𝑛
2
d𝑡
=
0
,
d𝑛
1
d𝑡
=
0
在受激辐射启动后, 自发辐射可以忽略不计. 那么由 1, 3, 4 式可以解得
𝑛
3
= 𝑛
0
𝑊
03
𝑆
32
, 𝑛
1
= 𝑛
0
𝑊
03
𝑆
10
相比于泵浦过程 𝑊
03
, 非辐射跃迁 𝑆
32
, 𝑆
10
非常快, 因而
𝑛
3
= 𝑛
1
= 0
此时粒子数反转近似等于 𝑛
2
Δ𝑛 = 𝑛
2
−
𝑓
2
𝑓
1
𝑛
1
≈ 𝑛
2
那么方程 2 变为了粒子数反转方程
dΔ𝑛
d𝑡
= −Δ𝑛𝜎
𝐻
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑐𝑁 −
Δ𝑛
𝜏
2
+ 𝑛
0
𝑊
03
, 𝜏
2
=
1
𝐴
21
+ 𝑆
21
在稳态下, 粒子数反转不随时间变化. 并且在四能级系统中, 基态 𝑛
0
占据了绝大多数粒子, 因而 𝑛
0
≈ 𝑛.
由此解得粒子数反转为
Δ𝑛 =
𝑛𝑊
03
𝜏
2
𝜎
𝐻
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝑐𝜏
2
𝑁 + 1
代入 𝐼 (𝑧) = 𝑁 ℎ𝜈𝑐 即得
Δ
𝑛
=
Δ𝑛
0
1 + 𝐼 (𝑧)/𝐼
𝑠
(𝜈)
,
Δ
𝑛
0
= 𝑛𝑊
03
𝜏
2
, 𝐼
𝑠
(𝜈) =
ℎ𝜈
𝜎
𝐻
21
(𝜈, 𝜈
0
)𝜏
2
其中的 𝐼
𝑠
(𝜈, 𝜈
0
) 称为饱和光强, Δ𝑛
0
称为小信号反转粒子数密度. 如果工作的频率 𝜈 离中心频率 𝜈
0
不远,
此时饱和光强近似有
𝐼
𝑠
(𝜈) ≈
ℎ𝜈
0
𝜎
𝐻
21
(𝜈
0
, 𝜈
0
)𝜏
2
= 𝐼
𝑠
𝜎
𝐻
21
(𝜈
0
, 𝜈
0
)
𝜎
𝐻
21
(𝜈, 𝜈
0
)
其中 𝐼
𝑠
是中心频率处的饱和光强
𝐼
𝑠
=
ℎ𝜈
0
𝜎
𝐻
21
(𝜈
0
, 𝜈
0
)𝜏
2
当入射光强等于饱和光强时, 粒子数反转减小为原来的一半. 在光强很小时, 粒子数反转近似等于小信号
反转粒子数密度, 此时的增益系数称为小信号增益系数
𝑔
0
(𝜈) = Δ 𝑛
0
𝑐
2
𝐴
21
8𝜋𝜈
2
0
˜
𝑔(𝜈, 𝜈
0
)
对于洛伦兹线型, 小信号增益系数为
𝑔
0
(𝜈
0
) = Δ𝑛
0
𝑐
2
𝐴
21
4𝜋
2
𝜈
2
0
Δ𝜈
𝐻
, 𝑔
0
(𝜈) = 𝑔
0
(𝜈
0
)
(Δ𝜈
𝐻
/2)
2
(𝜈 − 𝜈
0
)
2
+ (Δ𝜈
𝐻
/2)
2
代入 Δ𝑛 的表达式即得大信号增益系数
𝑔
𝐻
(𝜈, 𝐼) =
𝑔
0
(𝜈)
1 + 𝐼/𝐼
𝑠
(𝜈)
=
𝑔
0
(𝜈
0
)
1 + 𝐼/𝐼
𝑠
(𝜈)
(Δ𝜈
𝐻
/2)
2
(𝜈 − 𝜈
0
)
2
+ (Δ𝜈
𝐻
/2)
2
7 非均匀加宽工作物质的增益系数
7.1 非均匀加宽工作物质的增益系数
考虑非均匀加宽时, 不同中心频率的原子有不同的粒子数反转. 当入射光频率为 𝜈 时, 中心频率为 𝜈
′
0
的
原子对增益系数的贡献为
d𝑔 =
𝑐
2
𝐴
21
[Δ𝑛
0
(𝜈
′
0
)d𝜈
′
0
]
4𝜋
2
𝜈
′2
0
Δ𝜈
𝐻
(Δ𝜈
𝐻
/2)
2
(𝜈 − 𝜈
′
0
)
2
+ (Δ𝜈
𝐻
/2)
2
(1 + 𝐼/𝐼
𝑠
)
入射光较弱时, 反转粒子数为
Δ𝑛
0
(𝜈
′
0
) = Δ𝑛
0
˜
𝑔
𝐻
(𝜈
′
0
, 𝜈
0
)d𝜈
′
0
那么总的增益系数只需要计算积分
𝑔(𝜈) =
∞
0
𝑐
2
𝐴
21
Δ𝑛
0
4
𝜋
2
𝜈
′2
0
Δ𝜈
𝐻
˜
𝑔
𝐻
(𝜈
′
0
, 𝜈
0
)
(Δ𝜈
𝐻
/2)
2
(𝜈 − 𝜈
′
0
)
2
+ (Δ𝜈
𝐻
/2)
2
d𝜈
′
0
由于均匀加宽相比于非均匀加宽线宽很小, 因而在积分中可以将其视为常数; 同时在中心频率附近被积函
数才不为零, 因而可以将积分区域扩展到负半轴. 那么计算得到
𝑔(𝜈) =
𝑐
2
𝐴
21
Δ𝑛
0
8𝜋𝜈
2
0
1 + 𝐼/𝐼
𝑠
˜
𝑔
𝐻
(𝜈, 𝜈
0
) =
Δ𝑛
0
1 + 𝐼/𝐼
𝑠
𝜎
𝐻
21
(𝜈, 𝜈
0
) =
𝑔
0
(𝜈)
1 + 𝐼/𝐼
𝑠
若非均匀加宽属于多普勒加宽, 代入表达式即得
𝑔(𝜈) = 𝑔(𝜈
0
) exp
−
4 ln 2(𝜈 − 𝜈
0
)
2
Δ𝜈
2
𝐷
, 𝑔(𝜈
0
) = Δ𝑛
0
𝑐
2
𝐴
21
4𝜋𝜈
2
0
Δ𝜈
𝐷
ln 2
𝜋
= Δ𝑛
0
𝜎
21
7.2 烧孔效应
非均匀加宽本质上是粒子的中心频率不再单一, 而服从一个分布. 当有一个频率为 𝜈
𝑖
的光入射时, 中心频
率位于其附近的原子粒子数反转会被消耗导致其粒子数反转降低, 形成一个“孔”
中心频率在 𝜈 的均匀加宽粒子数反转满足
Δ𝑛(𝜈) =
Δ𝑛
0
(𝜈)
1 + 𝐼/𝐼
𝑠
(𝜈
′
0
)
=
Δ𝑛
0
(𝜈)
1 + 𝐼𝜎
𝐻
21
(𝜈
𝑖
, 𝜈
0
)𝜏
2
/ℎ𝜈
其中 𝐼
𝑠
(𝜈
𝑖
) 为入射频率处的饱和光强
𝐼
𝑠
(𝜈
𝑖
) =
ℎ𝜈
𝑖
𝜎
𝐻
21
(𝜈
𝑖
, 𝜈)𝜏
2
≈
ℎ𝜈
𝜎
𝐻
21
(𝜈
𝑖
, 𝜈)𝜏
2
= 𝐼
𝑠
𝜎
𝐻
21
(𝜈, 𝜈)
𝜎
𝐻
21
(𝜈, 𝜈)
烧孔深度为
Δ𝑛
0
(𝜈
𝑖
) − Δ𝑛(𝜈
𝑖
) =
𝐼
𝐼 + 𝐼
𝑠
Δ𝑛
0
(𝜈
𝑖
)
烧孔宽度定义为深度下降一半的宽度. 假定烧孔附近小信号粒子数保持恒定, 那么烧孔宽度为
𝛿𝜈 =
1 + 𝐼/𝐼
𝑠
Δ𝜈
𝐻
烧孔面积为
𝛿𝑆 = Δ𝑛
0
(𝜈
𝑖
)Δ𝜈
𝐻
𝐼/𝐼
𝑠
1 + 𝐼/𝐼
𝑠
受激辐射功率正比于烧孔面积. 有时会出现两个烧孔, 这需要条件
1. 非均匀加宽由多普勒加宽主导
2. 存在腔镜, 使得入射光既有正向传播的模式也有反向传播的模式
这是因为多普勒频移满足
𝜈
′
0
= 𝜈
0
1 +
𝑣
𝑧
𝑐
注意到
2𝜈
0
− 𝜈
′
0
= 𝜈
0
1 +
−𝑣
𝑧
𝑐
在正向传播的光看来, 原子的速度是 𝑣
𝑧
; 在反向传播的光看来, 原子的速度是 −𝑣
𝑧
. 因而会出现两个对称
的烧孔