光学谐振腔与高斯光束
目录
1 光学谐振腔 3
1.1 损耗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 品质因子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 共轴球面腔 4
2.1 腔内光线的矩阵表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 共轴球面腔的稳定性条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 开腔模式 7
3.1 矩形平面腔镜 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 球面腔镜 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 对称共焦腔 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3.1 方形对称共焦腔的场分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3.2 模式的半径 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.3 高阶模式的节线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 方形对称共焦腔的三维场分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5 方形对称共焦腔的单程损耗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.6 圆形镜对称共焦腔 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 —般稳定球面腔的模式特征 17
4.1 任意一个共焦球面腔与无穷多个稳定球面腔等价 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 任一稳定球面腔唯一地等价于某一个共焦腔 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1
4.3 镜面上的光斑尺寸与模体积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4 谐振频率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.5 衍射损耗与菲涅尔数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.6 基模远场发散角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1 光学谐振腔
光学腔是由两个或多个反射镜组成的光学系统, 有 FP 腔, 共轴球面腔, 环形腔等多种形式. 光学谐振腔
内存在的电磁场的本征态称为腔的模式. 一个光学腔内可能存在多种模式
1.1 损耗
定义腔内光子平均寿命为光强指数衰减到 1/𝑒 所需的时间
𝐼 (𝑡) = 𝐼
0
𝑒
−𝑡/𝜏
𝑅
平均寿命的倒数是损耗系数
𝛾 =
1
𝜏
𝑅
另外定义单程损耗因子为光在腔内单程传播时强度相对损失的对数 (一次往返算两次单程)
𝛿 =
1
2
ln
𝐼
0
𝐼
1
意为
𝐼
0
的光经过一个往返后变为
𝐼
1
,
也即
𝐼
1
= 𝐼
0
𝑒
−2 𝛿
当 𝛿 ≪ 1 时, 在一阶近似下有
𝐼
1
= 𝐼
0
(1 −2𝛿)
如果记光学腔的长度为 𝐿
′
, 光在腔内单程传播所需时间为 𝑇 = 𝐿
′
/𝑐, 经过时间 𝑡, 光在腔内传播了 𝑡/𝑇 个
单程, 则光强为
𝐼 (𝑡) = 𝐼
0
𝑒
−𝛿𝑐𝑡/𝐿
′
对照平均寿命的定义
𝐼 (𝑡) = 𝐼
0
𝑒
−𝑡/𝜏
𝑅
可得平均寿命与单程损耗因子的关系
𝜏
𝑅
=
𝐿
′
𝛿𝑐
1.2 品质因子
光学腔的品质因子定义为圆频率乘以单位时间内能量损失比例的倒数
𝑄 = 𝜔
𝐸
𝑃
= 2𝜋𝜈
𝐸
𝑃
腔内的能量是指数衰减的
𝐸 (𝑡) = 𝐸
0
𝑒
−𝑡/𝜏
𝑅
因此
𝑃 = −
d
d𝑡
𝐸 (𝑡) =
𝐸
𝜏
𝑅
因此
𝑄 = 2𝜋𝜈𝜏
𝑅
= 2𝜋𝜈
𝐿
′
𝛿𝑐
2 共轴球面腔
2.1 腔内光线的矩阵表示
记 𝑟 为光线起始位置到光轴的距离, 𝜃 为光线与光轴的夹角
约定光线在光轴上方 𝑟 为正, 在光轴下方 𝑟 为负; 光线指向光轴上方 𝜃 为正, 指向光轴下方 𝜃 为负. 一条
光线可以用一个列向量表示
𝑟
𝜃
若该光线经过 𝐿 的距离, 该光线与原光线的关系为
𝑟
2
= 𝑟
1
+ 𝐿𝜃
1
𝜃
2
= 𝜃
1
用矩阵表示为
𝑟
2
𝜃
2
=
1 𝐿
0 1
𝑟
1
𝜃
1
那么距离为 𝐿 的传输矩阵为
𝑇
𝐿
=
1 𝐿
0 1
对于球面镜, 设曲率半径为 𝑅
入射光线和出射光线有相同的位置 𝑟, 但夹角发生变化. 在傍轴近似下, 紫色水平虚线和黑色法线的夹角
为
𝛼 ≃
𝑟
𝑖
𝑅
那么入射光线与法线的夹角为 𝛼 − 𝜃
𝑖
. 入射光线与出射光线关于法线对称, 因此入射光线与出射光线的夹
角为 2(𝛼 − 𝜃
𝑖
). 因此
−𝜃
𝑜
= 𝜃
𝑖
+ 2
𝑟
1
𝑅
− 𝜃
𝑖
即
𝑟
𝑜
= 𝑟
𝑖
𝜃
𝑜
= 𝜃
𝑖
−
2𝑟
𝑖
𝑅
写为矩阵形式为
𝑇
𝑅
=
1 0
−
2
𝑅
1
=
1 0
−
1
𝐹
1
其中的曲率半径 𝑅 为正时表示凹面镜, 为负时表示凸面镜. 𝐹 为球面镜的焦距
2.2 共轴球面腔的稳定性条件
对于共轴球面腔, 假设腔长为 𝐿, 左侧球面镜曲率半径为 𝑅
1
, 右侧球面镜曲率半径为 𝑅
2
假定初始光线为
𝑟
1
𝜃
1
它先经过距离 𝐿 的传输, 被右侧球面镜反射, 再经过距离 𝐿 的传输, 最后被左侧球面镜反射. 经过一个往
返后光线变为
𝑟
3
𝜃
3
= 𝑇
𝑅
2
𝑇
𝐿
𝑇
𝑅
1
𝑇
𝐿
𝑟
1
𝜃
1
只需要亿点小小的矩阵乘法
𝑇 = 𝑇
𝑅
2
𝑇
𝐿
𝑇
𝑅
1
𝑇
𝐿
=
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
=
1 −
2𝐿
𝑅
2
2𝐿
1 −
𝐿
𝑅
2
−
2
𝑅
1
+
2
𝑅
2
1 −
2𝐿
𝑅
1
−
2𝐿
𝑅
1
−
1 −
2𝐿
𝑅
1
1 −
2𝐿
𝑅
2
那么光线经过 𝑛 个往返后为
𝑟
𝑛+1
𝜃
𝑛+1
= 𝑇
𝑛
𝑟
1
𝜃
1
注意到 𝑇 矩阵相乘的四个矩阵行列式都为 1, 因此 𝑇 的行列式也为 1. 因此可以利用 Sylvester 定理计算
𝑇
𝑛
𝑇
𝑛
=
1
sin 𝜙
𝐴 sin 𝑛𝜙 − sin(𝑛 − 1)𝜙 𝐵 sin 𝑛𝜙
𝐶
sin
𝑛𝜙
𝐷
sin
𝑛𝜙
−
sin
(
𝑛
−
1
)
𝜙
, cos 𝜙 =
𝐴 + 𝐷
2
希望光线总是能被限制在腔内, 即 𝑟
𝑛
不发散. 这等价于要求对于任意的 𝑛, 𝑇
𝑛
的矩阵元都有界. 这虽然可
以利用 Sylvester 定理的表达式来分析, 但更简单的方法是直接利用 𝑇 的特征值. 𝑇
𝑛
有界等价于 𝑇 的特
征值模长都不大于 1. 由于 𝑇 的行列式为 1, 有特征方程
𝜆
2
− (𝐴 + 𝐷)𝜆 + 1 = 0
由于 𝜆
1
𝜆
2
= 1, 如果有一个特征值模长大于 1, 则另一个特征值模长必然小于 1. 因此要求方程不能有两
个不相等实根, 即判别式小于零 (两个相等实根时, 特征值为 1, 此时稍有扰动就会使光线发散)
(𝐴 + 𝐷)
2
− 4 ≤ 0
即
−1 <
𝐴 + 𝐷
2
< 1
可以验证当该条件满足时, 𝑇 的两个特征值模长都为 1, 它是任何开放性光学腔稳定性条件. 对于二镜共
轴球面腔而言, 该条件即
0 <
1 −
𝐿
𝑅
1
1 −
𝐿
𝑅
2
< 1
引入参数 𝑔 写为
0 < 𝑔
1
𝑔
2
< 1
𝑔
1
= 1 −
𝐿
𝑅
1
, 𝑔
2
= 1 −
𝐿
𝑅
2
当 𝑔
1
𝑔
2
> 1 或是 < 0 时, 光线总是会在有限次反射后逃出腔外, 称为非稳腔. 当 𝑔
1
= 𝑔
2
= 0 时, 称为对称
共焦腔, 此时 𝑅
1
= 𝑅
2
= 𝐿, 其往返矩阵为
𝑇 =
−1
0 −1
任意傍轴光线均可在腔内往返无限多次而不致横向逸出, 而且经两次往返即自行闭合, 属于稳定腔. 因此
稳定性条件为
0 < 𝑔
1
𝑔
2
< 1或𝑔
1
= 𝑔
2
= 0
𝑔
1
= 1 −
𝐿
𝑅
1
, 𝑔
2
= 1 −
𝐿
𝑅
2
当 𝑔
1
𝑔
2
= 1 或其中有一个为零另一个不为零时, 称为临界腔
3 开腔模式
在开腔中, 认为光从一个反射镜出发, 传播到达另一个反射镜
应用菲涅尔衍射积分
𝑢
2
(𝑥, 𝑦) =
𝑖𝑘
2𝜋
𝑠
1
𝑢
1
(𝑥
′
, 𝑦
′
)
𝑒
−𝑖𝑘𝜌
𝜌
1
2
(cos 𝜃
0
+ cos 𝜃)d𝑠
′
其中 𝜃
0
是源点法线与光入射方向的夹角, 𝜃 是原点法线与光传播方向的夹角. 在傍轴条件下, 反射镜尺度
远小于传播距离, 因此有 cos 𝜃
0
≃ cos 𝜃 ≃ 1, 因此
𝑢
2
(𝑥, 𝑦) =
𝑖𝑘
2𝜋
𝑠
1
𝑢
1
(𝑥
′
, 𝑦
′
)
𝑒
−𝑖𝑘𝜌
𝜌
d𝑠
′
反射镜尺度远小于传播距离, 因此可以近似 𝜌 ≃ 𝐿, 则有
𝑢
2
(𝑥, 𝑦) =
𝑖𝑘
2𝜋𝐿
𝑠
1
𝑢
1
(𝑥
′
, 𝑦
′
)𝑒
−𝑖𝑘𝜌
d𝑠
′
对于两个镜面完全相同的腔, 在达到稳态后, 光场在两个反射镜处的分布应只差一个复常数
𝑢
𝑗+1
=
1
𝛾
𝑢
𝑗
稳态的分布 𝑣(𝑥, 𝑦 ) 应满足方程
𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝛾
𝑖𝑘
2𝜋𝐿
𝑠
𝑣(𝑥
′
, 𝑦
′
)𝑒
−𝑖𝑘𝜌
d𝑠
′
称其为自再现模. 将复常数 𝛾 写为
𝛾 = 𝑒
𝛼+𝑖𝛽
在往返对称时, 可以得到单程损耗 𝛿
𝑑
与 𝛼 的关系
𝑒
−𝛿
𝑑
=
𝑢
𝑗+1
2
𝑢
𝑗
2
=
1
|
𝛾
|
2
= 𝑒
−2𝛼
因此
𝛿
𝑑
= 2𝛼
当损耗很小时有
𝛿
𝑑
= −ln
|
𝛾
|
2
≃ 1 −
1
|
𝛾
|
2
在往返对称时, 单程的相位变化为
𝛿Φ = arg
1
𝛾
= −𝛽
为了使得自在现模在腔内形成驻波, 需要满足震荡条件, 即往返一次后相位变化为 2𝜋 的整数倍
𝛽 = 𝑞𝜋, 𝑞 = 0, 1, 2 . . .
3.1 矩形平面腔镜
设反射镜的边长是 2𝑎 × 2 𝑏, 腔长为 𝐿
则两点间距离为
𝜌 =
(𝑥 −𝑥
′
)
2
+ (𝑦 − 𝑦
′
)
2
+ 𝐿
2
= 𝐿
1 +
(𝑥 −𝑥
′
)
2
+ (𝑦 − 𝑦
′
)
2
𝐿
2
根号下的后一项是小量, 展开并保留一阶项得到
𝜌 ≃ 𝐿 +
(𝑥 −𝑥
′
)
2
+ (𝑦 − 𝑦
′
)
2
2𝐿
那么
𝑒
−𝑖𝑘𝜌
= 𝑒
−𝑖𝑘𝐿
exp
−𝑖𝑘
(𝑥 −𝑥
′
)
2𝐿
+
(𝑦 − 𝑦
′
)
2
2𝐿
于是自再现模方程变为
𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝛾
𝑖𝑘
2𝜋𝐿
𝑒
−𝑖𝑘𝐿
𝑎
−𝑎
𝑏
−𝑏
𝑣(𝑥
′
, 𝑦
′
) exp
−𝑖𝑘
(𝑥 −𝑥
′
)
2
2𝐿
+
(𝑦 − 𝑦
′
)
2
2𝐿
d𝑥
′
d𝑦
′
利用分离变量法求解. 设
𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑣
𝑥
(𝑥)𝑣
𝑦
(𝑦)
代入上式, 得到
𝑣
𝑥
(𝑥) = 𝛾
𝑥
𝑖𝑘
2𝜋𝐿
𝑒
−𝑖𝑘𝐿/2
𝑎
−𝑎
𝑣
𝑥
(𝑥
′
) exp
−𝑖𝑘
(𝑥 −𝑥
′
)
2
2𝐿
d𝑥
′
𝑣
𝑦
(𝑦) = 𝛾
𝑦
𝑖𝑘
2𝜋𝐿
𝑒
−𝑖𝑘𝐿/2
𝑏
−𝑏
𝑣
𝑦
(𝑦
′
) exp
−𝑖𝑘
(𝑦 − 𝑦
′
)
2
2𝐿
d𝑦
′
𝛾 = 𝛾
𝑥
𝛾
𝑦
它没有解析解, 不过可以数值求解. 比如 00 模的数值解如下
3.2 球面腔镜
设腔的两个反射镜曲率半径分别为 𝑅
1
和 𝑅
2
, 腔长为 𝐿, 约定沿着腔方向为 𝑧
那么两点间距离为
𝜌 =
(𝑥 −𝑥
′
)
2
+ (𝑦 − 𝑦
′
)
2
+ (𝑧 − 𝑧
′
)
2
注意到 𝑧 − 𝑧
′
并不是自由的, 它受到 𝑥, 𝑦, 𝑥
′
, 𝑦
′
约束
𝑧 − 𝑧
′
= 𝐿 −
𝑅
2
−
𝑅
2
2
− (𝑥
2
+ 𝑦
2
)
−
𝑅
1
−
𝑅
2
1
− (𝑥
′2
+ 𝑦
′2
)
𝑥, 𝑦 对于 𝐿 来说是小量, 因此平方后舍去小量得到
(𝑧 − 𝑧
′
)
2
= 𝐿
2
− 2𝐿
𝑥
2
+ 𝑦
2
𝑅
2
+
𝑅
2
2
− (𝑥
2
+ 𝑦
2
)
+
𝑥
′2
+ 𝑦
′2
𝑅
1
+
𝑅
2
1
− (𝑥
′2
+ 𝑦
′2
)
因此
𝜌 = 𝐿
1 +
(𝑥 −𝑥
′
)
2
+ (𝑦 − 𝑦
′
)
2
𝐿
2
−
2
𝐿
𝑥
2
+ 𝑦
2
𝑅
2
+
𝑅
2
2
− (𝑥
2
+ 𝑦
2
)
+
𝑥
′2
+ 𝑦
′2
𝑅
1
+
𝑅
2
1
− (𝑥
′2
+ 𝑦
′2
)
可以将根号展开, 并保留到二阶项, 得到
𝜌 = 𝐿 +
1
2𝐿
𝑔
1
(𝑥
2
+ 𝑦
2
) + 𝑔
2
(𝑥
′2
+ 𝑦
′2
) − 2(𝑥𝑥
′
+ 𝑦𝑦
′
)
+ 𝜌
2
𝜌
2
=
1
2𝐿
𝐿(𝑥
′2
+ 𝑦
′2
)
2
−4𝑅
3
2
+
𝐿(𝑥
2
+ 𝑦
2
)
2
−4𝑅
3
1
+
𝑥
′2
+ 𝑦
′2
2𝑅
2
+
𝑥
2
+ 𝑦
2
2𝑅
1
2
−
1
8𝐿
3
(𝑥 −𝑥
′
)
2
+ (𝑦 − 𝑦
′
)
2
− 𝐿
𝑥
′2
+ 𝑦
′2
𝑅
2
+
𝑥
2
+ 𝑦
2
𝑅
1
2
3.3 对称共焦腔
3.3.1 方形对称共焦腔的场分布
对于对称共焦腔而言, 有 𝑅
1
= 𝑅
2
= 𝐿, 因此 𝑔
1
= 𝑔
2
= 0. 此时有
𝜌 = 𝐿 −
1
𝐿
(𝑥𝑥
′
+ 𝑦𝑦
′
) −
1
4𝐿
3
(𝑥
′
− 𝑦
′
)(𝑥
2
− 𝑦
2
) + 4𝑥𝑥
′
𝑦𝑦
′
舍去二阶项, 则有
𝜌 ≃ 𝐿 −
1
𝐿
(𝑥𝑥
′
+ 𝑦𝑦
′
)
考察 2𝑎 × 2𝑎 的方形反射镜, 则自再现模方程为
𝑣
𝑚𝑛
(𝑥, 𝑦) = 𝛾
𝑚𝑛
𝑖𝑘
2𝜋𝐿
𝑒
−𝑖𝑘𝐿
𝑎
−𝑎
𝑎
−𝑎
𝑣
𝑚𝑛
(𝑥
′
, 𝑦
′
) exp
𝑖𝑘
𝑥𝑥
′
+ 𝑦𝑦
′
𝐿
d𝑥
′
d𝑦
′
令
𝑐 =
𝑎
2
𝑘
𝐿
= 2𝜋
𝑎
2
𝐿𝜆
, 𝑋 =
√
𝑐
𝑎
𝑥, 𝑌 =
√
𝑐
𝑎
𝑦
采取分离变量法, 令
𝑣
𝑚𝑛
(𝑥, 𝑦) = 𝐹
𝑚
(𝑋)𝐺
𝑛
(𝑌), 𝛾
𝑚𝑛
=
1
𝜎
𝑚
𝜎
𝑛
那么原方程变为
𝜎
𝑚
𝜎
𝑛
𝐹
𝑚
(𝑋)𝐺
𝑛
(𝑌) =
𝑖𝑒
−𝑖𝑘𝐿
2𝜋
√
𝑐
−
√
𝑐
𝐹
𝑚
(𝑋
′
)𝑒
𝑖𝑋𝑋
′
d𝑋
′
√
𝑐
−
√
𝑐
𝐺
𝑛
(𝑌
′
)𝑒
𝑖𝑌𝑌
′
d𝑌
′
那么问题等价于求解
𝜎
𝑚
𝐹
𝑚
(𝑋) =
𝑖
2𝜋
𝑒
−𝑖𝑘𝐿/2
√
𝑐
−
√
𝑐
𝐹
𝑚
(𝑋
′
)𝑒
𝑖𝑋𝑋
′
d𝑋
′
𝜎
𝑛
𝐺
𝑛
(𝑌) =
𝑖
2𝜋
𝑒
−𝑖𝑘𝐿/2
√
𝑐
−
√
𝑐
𝐺
𝑛
(𝑌
′
)𝑒
𝑖𝑌𝑌
′
d𝑌
′
它依然没有简单的解析解, 不过如果近似取 𝑐 → ∞, 则有解析解
𝐹
𝑚
(𝑋) = 𝐶
𝑚
𝐻
𝑚
(𝑋)𝑒
−𝑋
2
/2
𝐺
𝑛
(𝑌) = 𝐶
𝑛
𝐻
𝑛
(𝑌)𝑒
−𝑌
2
/2
其中 𝐻
𝑚
(𝑋) 为第 𝑚 阶 Hermite 多项式. 这称为厄米特-高斯近似
𝐻
𝑚
(𝑋) = (−1)
𝑚
𝑒
𝑋
2
d
𝑚
d𝑋
𝑚
𝑒
−𝑋
2
=
⌊𝑚/2⌋
𝑘=0
𝑚!
𝑘!(𝑚 −2𝑘)!
(−1)
𝑘
(2𝑋)
𝑚− 2𝑘
得到这一解只需要注意到方程
𝜎
𝑚
𝐹
𝑚
(𝑋) =
𝑖
2𝜋
𝑒
−𝑖𝑘𝐿/2
∞
−∞
𝐹
𝑚
(𝑋
′
)𝑒
𝑖𝑋𝑋
′
d𝑋
′
后面的积分实际上是一个傅里叶变换 (严格来说是傅里叶逆变换), 即
𝜎
𝑚
𝐹
𝑚
(𝑋) =
𝑖
2𝜋
𝑒
−𝑖𝑘𝐿/2
F
[
𝐹
𝑚
(𝑋
′
)
]
厄米特-高斯函数实际上是傅里叶变换的本征函数
F
𝐻
𝑚
(𝑋
′
)𝑒
−𝑋
′2
/2
= 𝑖
𝑚
𝐻
𝑚
(𝑋)𝑒
−𝑋
2
/2
这一点非常好证明, 注意到厄米特-高斯函数是谐振子本征函数
ˆ
𝐻 =
d
2
d𝑋
2
+ 𝑋
2
,
ˆ
𝐻𝐻
𝑚
(𝑋)𝑒
−𝑋
2
/2
= (2𝑚 + 1)𝐻
𝑚
(𝑋)𝑒
−𝑋
2
/2
而傅里叶变换与哈密顿量对易, 这一点开可以用傅里叶变换的微分性质简单验证
F [
ˆ
𝐻 𝑓 ] = F
d
2
d𝑋
2
𝑓 + 𝑋
2
𝑓
= −(−𝑘
2
𝐹 (𝑘)) +
−
d
2
d𝑘
2
𝐹 (𝑘)
=
ˆ
𝐻
[
𝐹 (𝑘)
]
因此傅里叶变换与哈密顿量有共同的本征函数, 为了求解其本征值, 可以使用归纳法. 简单计算可以得到
𝑚 = 0, 1 时的结果
F𝐹
0
(𝑋
′
) = 𝐹
0
(𝑋), F 𝐹
1
(𝑋
′
) = 𝑖𝐹
1
(𝑋)
满足假设
F𝐹
𝑚
(𝑋
′
) = 𝑖
𝑚
ˆ
𝐹
𝑚
(𝑘)
那么对于 𝑚 + 1 阶, 利用厄米特多项式的递推关系
𝐻
𝑚+1
(𝑋) = 2𝑋𝐻
𝑚
(𝑋) −2𝑚𝐻
𝑚− 1
(𝑋)
有
𝐹
𝑚+1
(𝑋) = 2𝑋 𝐹
𝑚
(𝑋) −2𝑚𝐹
𝑚− 1
(𝑋)
傅里叶变换有微分性质
F
[
𝑋 𝑓 (𝑋)
]
= 𝑖
d
d𝑘
ˆ
𝐹 (𝑘)
对其做傅里叶变换即可得
F𝐹
𝑚+1
(𝑋
′
) = −2𝑖
𝑚+1
d
d𝑘
ˆ
𝐹
𝑚
(𝑘) − 2𝑚𝑖
𝑚− 1
ˆ
𝐹
𝑚− 1
(𝑘)
再利用厄米特多项式的微分关系
d
d𝑋
𝐻
𝑚
(𝑋) = 2𝑚𝐻
𝑚− 1
(𝑋)
进而可以求导
d
d𝑘
ˆ
𝐹
𝑚
(𝑘) =
d
d𝑘
𝐻
𝑚
(𝑘)𝑒
−𝑘
2
/2
− 𝑘 𝐻
𝑚
(𝑘)𝑒
−𝑘
2
/2
= 2𝑚𝐻
𝑚− 1
(𝑘)𝑒
−𝑘
2
/2
− 𝑘 𝐻
𝑚
(𝑘)𝑒
−𝑘
2
/2
= 2𝑚
ˆ
𝐹
𝑚− 1
(𝑘) − 𝑘
ˆ
𝐹
𝑚
(𝑘)
代回即证
F𝐹
𝑚+1
(𝑋
′
) = 𝑖
𝑚+1
[2𝑘
ˆ
𝐹
𝑚
(𝑘) − 2𝑚
ˆ
𝐹
𝑚− 1
(𝑘)] = 𝑖
𝑚+1
𝐹
𝑚+1
(𝑘)
不过实际的傅里叶变换还会带一个
√
2𝜋 的因子, 因此最终有
𝜎
𝑚
= 𝑒
−𝑖𝑘𝐿/2
· 𝑒
𝑖 (2𝑚+1)𝜋/4
得到场分布函数, 称为横模
𝑣
𝑚𝑛
(𝑥, 𝑦) = 𝐶
𝑚𝑛
𝐻
𝑚
√
𝑐
𝑎
𝑥
𝐻
𝑛
√
𝑐
𝑎
𝑦
exp
−
𝑐(𝑥
2
+ 𝑦
2
)
2𝑎
2
, 𝑐 =
2𝜋𝑎
2
𝐿𝜆
它对应的本征值是
𝛾
𝑚𝑛
= 𝜎
𝑚
𝜎
𝑛
= exp
−𝑖𝑘 𝐿 +𝑖(𝑚 + 𝑛 + 1)
𝜋
2
其辐角为
arg(𝜎
𝑚𝑛
) = −𝑘 𝐿 + (𝑚 + 𝑛 + 1)
𝜋
2
这是单程的附加相位. 模式要想稳定存在, 来回的附加相位需要为 2𝜋 的整数倍, 因此有震荡条件
−𝑘 𝐿 + (𝑚 + 𝑛 + 1)
𝜋
2
= 𝑞 · 2𝜋, 𝑞 = 0, 1, 2 . . .
假定腔内介质折射率为 𝜂, 由此得到各阶横模的谐振频率, 这称为纵模
𝜈
𝑞𝑚 𝑛
=
𝑐
2𝜂𝐿
𝑞 +
1
2
(𝑚 + 𝑛 + 1)
每一个横模中纵模的频率间隔为
Δ𝜈
𝑞
=
𝑐
2𝜂𝐿
同一纵模中不同横模的频率间隔为
Δ𝜈
𝑚
= Δ𝜈
𝑛
=
1
2
Δ𝜈
𝑞
取 𝑚 = 𝑛 = 0, 则有基模 𝑇 𝐸 𝑀
00
的场分布
𝑣
00
(𝑥, 𝑦) ∝ exp
−
𝑐(𝑥
2
+ 𝑦
2
)
𝐿𝜆/𝜋
3.3.2 模式的半径
约定振幅将为中心 1/𝑒 处为半径 𝑤
0𝑠
𝑤
0𝑠
=
𝐿𝜆
2𝜋
它与腔镜大小无关, 仅与腔长和波长有关. 注意到基模光斑半径恰为基模中坐标标准方差的两倍
𝑤
2
0𝑠
=
4
∞
−∞
𝑒
−𝑋
2
/2
(𝑥 −
¯
𝑥)
2
𝑒
−𝑋
2
/2
d𝑥
∞
−∞
𝑒
−𝑋
2
/2
2
d𝑥
=
4
∞
−∞
𝑒
−𝑌
2
/2
(𝑦 −
¯
𝑦)
2
𝑒
−𝑌
2
/2
d𝑦
∞
−∞
𝑒
−𝑌
2
/2
2
d𝑦
其中的均值
¯
𝑥 =
¯
𝑦 = 0. 因此定义高阶横模的光斑尺寸定义为其坐标标准方差的 2 倍
𝑤
𝑚𝑠
=
4
∞
−∞
𝐹
2
𝑚
(𝑥)(𝑥 −
¯
𝑥)
2
d𝑥
∞
−∞
𝐹
2
𝑚
(𝑥)d𝑥
, 𝑤
𝑛𝑠
=
4
∞
−∞
𝐺
2
𝑛
(𝑦)(𝑦 −
¯
𝑦)
2
d𝑦
∞
−∞
𝐺
2
𝑛
(𝑦)d𝑦
其中平方表示以光强而不是振幅加权. 经过亿点点计算, 可得
𝑤
𝑚𝑠
=
√
2𝑚 + 1 𝑤
0𝑠
, 𝑤
𝑛𝑠
=
√
2𝑛 + 1𝑤
0𝑠
用半径可以将高阶模式的场分布写为
𝑣
𝑚𝑛
= 𝐶
𝑚𝑛
𝐻
𝑚
√
2
𝑤
𝑚𝑠
𝑥
𝐻
𝑛
√
2
𝑤
𝑛𝑠
𝑦
exp
−
𝑥
2
+ 𝑦
2
𝑤
2
0𝑠
3.3.3 高阶模式的节线
𝑇 𝐸 𝑀
𝑚𝑛
模式由厄米特多项式和高斯函数的乘积构成, 因而厄米特多项式的零点决定了模式的节线位置
𝑇 𝐸 𝑀
𝑚𝑛
模沿 𝑥 方向有 𝑚 条节线, 沿 𝑦 方向有 𝑛 条节线
3.4 方形对称共焦腔的三维场分布
在有镜面上场分布的基础上, 利用菲涅尔衍射积分可以计算腔内任意位置的场分布. 以光斑中心为原点,
博伊德和戈登算出来了下面的结果
𝐸
𝑚𝑛
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐴
𝑚𝑛
𝐸
0
𝑤
0
𝑤(𝑧)
𝐻
𝑚
√
2
𝑤(𝑧)
𝑥
𝐻
𝑛
√
2
𝑤(𝑧)
𝑦
exp
−
𝑥
2
+ 𝑦
2
𝑤
2
(𝑧)
exp
[
−𝑖Φ(𝑥, 𝑦, 𝑧)
]
其中 𝑤(𝑧) 是光斑半径
𝑤(𝑧) = 𝑤
0
1 +
𝑧
𝑓
2
, 𝑓 =
𝐿
2
𝑤
0
是腔中心的光斑半径, 称为束腰半径
𝑤
0
=
𝑤
0𝑠
√
2
=
𝐿𝜆
2𝜋
Φ(𝑥, 𝑦, 𝑧) 为相位
Φ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘
𝑓 (1 + 𝜉) +
𝜉
1 + 𝜉
2
𝑥
2
+ 𝑦
2
2 𝑓
− (
𝑚
+
𝑛
+
1
)
𝜋
2
−
arctan
1 − 𝜉
1 + 𝜉
, 𝜉
=
𝑧
𝑓
该场分布呈双曲线形, 中间窄两头宽
𝑤
2
(𝑧)
𝑤
2
0
−
𝑧
2
𝑓
2
= 1
两条渐近线的夹角称为远场发散角, 鉴于反射镜尺寸远小于腔长, 那么可以近似认为
𝜃
0
=
2𝑤
0
𝑓
= 2
𝜆
𝑓 𝜋
模体积指的是模式中有光部分的体积. 由于模式的半径随 𝑧 变化, 因此近似认为基模是个圆柱体, 则有
𝑉
0
00
=
1
2
𝐿𝜋𝑤
2
0𝑠
=
𝐿
2
𝜆
2
可以求得等相位面的形状, 利用
Φ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = Φ(0, 0, 𝑧
0
)
认为 (1 − 𝜉)/(1 + 𝜉) 在 𝑧 变化很小时基本不变, 因此忽略后面 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 项的变化, 则可以解得
𝑧 − 𝑧
0
≈ −
𝜉
1 + 𝜉
2
𝑟
2
𝐿
≈ −
𝑟
2
(1 + 𝜉
2
0
)
𝐿
𝜉
0
, 𝜉
0
=
𝑧
0
𝑓
这是一个抛物线, 在顶点处可以近似一个圆, 即在轴线附近可以近似为球面, 曲率半径为
𝑅(𝑧
0
) =
𝑧
0
+
𝑓
2
𝑧
0
3.5 方形对称共焦腔的单程损耗
前面的分析都假定腔镜是无限大的, 因此 𝜎
𝑚
, 𝜎
𝑛
的模长均为 1. 然而在有限大小腔镜时, 𝜎
𝑚
𝜎
𝑛
的模长会
带有一个径向长椭球函数 (实函数)
𝜎
𝑚
𝜎
𝑛
= 4𝑁 exp
−𝑖𝑘 𝐿 +𝑖(𝑚 + 𝑛 + 1)
𝜋
2
𝑅
(1)
0𝑚
(𝑐, 1)𝑅
(1)
0𝑛
(𝑐, 1)
其中 𝑁 是菲涅尔数
𝑁 =
𝑎
2
𝐿𝜆
=
𝑐
2𝜋
实际上如果用光斑半径表示, 它的物理意义更加明确: 腔面积与基模光斑面积之比
𝑁 =
𝑎
2
𝜋𝑤
2
0𝑠
单程损耗仅与菲涅尔数有关
3.6 圆形镜对称共焦腔
可以证明 (至少课本说可以证明, 我凑出上面方形腔的模式已经很费劲了, 于是我也懒得证明了), 圆形镜
对称共焦腔的模式可以写为
𝑣
𝑚𝑛
( 𝑟, 𝜑 ) = 𝐶
𝑚𝑛
√
2
𝑟
𝑤
0𝑠
𝑚
L
𝑚
𝑛
2
𝑟
2
𝑤
2
0𝑠
e
−
𝑟
2
𝑤
2
0𝑠
cos 𝑚𝜑
sin 𝑚𝜑
当 𝑚 为偶数时有两个解, 它对应的本征值为
𝛾
𝑚𝑛
= exp
𝑖𝑘 𝐿 −𝑖(2𝑛 + 𝑚 + 1)
𝜋
2
这意味着它的单程附加相位为
arg(𝛾
𝑚𝑛
) = 𝑘 𝐿 − (2𝑛 + 𝑚 +1)
𝜋
2
由此给出圆形镜共焦腔模的谐振频率为
𝜈
𝑚𝑛𝑞
=
𝑐
2𝜂𝐿
𝑞 +
1
2
(2𝑛 + 𝑚 + 1)
其基模为
𝑣
00
( 𝑟, 𝜑 ) = 𝐶
00
exp
−
𝑟
2
𝑤
2
0𝑠
定义其半径为幅度衰减到 1/𝑒 处, 则有
𝑤
0𝑠
=
𝐿𝜆
𝜋
对于高阶模式, 不同于方形镜, 它的光斑尺寸定义为振幅降落到最外面一个极大值的 1/𝑒 的点与镜面中心
的距离, 这是因为圆形镜的模式沿着径向会出现多个极大值. 这样定义的光斑尺寸只能数值计算
与方形镜类似, 圆形镜的三维场分布如下, 只是将厄米特多项式换成了拉盖尔多项式
𝐸
𝑚𝑛
( 𝑟, 𝜑, 𝑧) = 𝐴
𝑚𝑛
𝐸
0
𝑤
0
𝑤(𝑧)
√
2𝑟
𝑤(𝑧)
𝑚
L
𝑚
𝑛
2
𝑟
2
𝑤
2
(𝑧)
exp
−
𝑟
2
𝑤
2
(𝑧)
𝑒
−𝑖𝑚𝜑
𝑒
−𝑖Φ(𝑟 ,𝑧 )
其中 𝑤(𝑧) 是光斑半径
𝑤(𝑧) =
𝑤
0
√
2
1 +
𝑧
𝑓
2
= 𝑤
0
1 +
𝑧
𝑓
2
, 𝑓 =
𝐿
2
𝑤
0
是束腰半径, Φ(𝑟, 𝑧) 为相位
Φ(𝑟, 𝑧) = 𝑘
𝑓 (1 + 𝜉) +
𝜉
1 + 𝜉
2
𝑟
2
2 𝑓
− (2𝑛 + 𝑚 + 1)
𝜋
2
− arctan
1 − 𝜉
1 + 𝜉
, 𝜉 =
𝑧
𝑓
基模与方形镜完全相同
4 —般稳定球面腔的模式特征
4.1 任意一个共焦球面腔与无穷多个稳定球面腔等价
注意到轴线上的等相位面曲率半径为
𝑅(𝑧
0
) =
𝑧
0
+
𝑓
2
𝑧
0
这意味着, 只要是曲率半径匹配, 腔镜挪到任意的位置, 都可以得到相同的模式分布
对于放在 𝑐
1
, 𝑐
2
处的两个球面镜, 其曲率半径分别为 𝑅
1
, 𝑅
2
𝑅
1
=
|
𝑧
1
|
+
𝑓
2
|
𝑧
1
|
, 𝑅
2
= 𝑧
2
+
𝑓
2
𝑧
2
, 𝐿 = 𝑧
2
− 𝑧
1
其中 𝑅
1
中的 𝑧
1
< 0, 因而要取绝对值. 可以验证它满足稳定性条件
1 −
𝐿
𝑅
1
= 1 −
2 𝑓
|
𝑧
1
|
+
𝑓
2
|
𝑧
1
|
= 1 −
2 𝑓
|
𝑧
1
|
𝑧
2
1
+ 𝑓
2
由基本不等式就能知道它在 0 与 1 之间. 类似地 𝑅
2
部分也在 0 与 1 之间, 所以
0 <
1 −
𝐿
𝑅
1
1 −
𝐿
𝑅
2
< 1
4.2 任一稳定球面腔唯一地等价于某一个共焦腔
相反, 对于任意一个稳定球面腔, 也可以通过解方程得到其等价的共焦腔位置
由于 𝑧
1
< 0, 因而将绝对值换成负号, 得到方程组
𝑅
1
= −
𝑧
1
+
𝑓
2
𝑧
1
𝑅
2
= 𝑧
2
+
𝑓
2
𝑧
2
𝐿 = 𝑧
2
− 𝑧
1
解得
𝑧
1
=
𝐿
(
𝑅
2
−
𝐿
)
(𝐿 − 𝑅
1
) + (𝐿 − 𝑅
2
)
, 𝑧
2
=
−
𝐿
(
𝑅
1
−
𝐿
)
(𝐿 − 𝑅
1
) + (𝐿 − 𝑅
2
)
, 𝑓
2
=
𝐿
(
𝑅
1
−
𝐿
)(
𝑅
2
−
𝐿
)(
𝑅
1
+
𝑅
2
−
𝐿
)
[(𝐿 − 𝑅
1
) + (𝐿 − 𝑅
2
)]
2
4.3 镜面上的光斑尺寸与模体积
由共焦腔中基模的光斑尺寸
𝑤
0𝑠
= 𝑤
0
1 +
𝑧
𝑓
2
可得两面镜面上的光斑尺寸
𝑤
𝑠1
= 𝑤
0𝑠
𝑔
2
𝑔
1
(1 − 𝑔
1
𝑔
2
)
1/4
, 𝑤
𝑠2
= 𝑤
0𝑠
𝑔
1
𝑔
2
(1 − 𝑔
1
𝑔
2
)
1/4
其中
𝑔
1
= 1 −
𝐿
𝑅
1
, 𝑔
2
= 1 −
𝐿
𝑅
2
, 𝑤
0𝑠
=
𝐿𝜆
2𝜋
一般的稳定球面腔的基膜模体积按照两面腔镜上的光斑尺寸平均值计算
𝑉
00
=
1
2
𝐿𝜋
𝑤
𝑠1
+ 𝑤
𝑠2
2
2
在一般的方形镜稳定腔中, 高阶模式的模体积和基模之比为
𝑉
𝑚𝑛
𝑉
00
=
(2𝑚 +1)(2𝑛 + 1)
4.4 谐振频率
利用等效, 将等效共焦腔的 𝑅 和 𝑓 代入谐振频率公式即可得到
𝜈
𝑚𝑛𝑞
=
𝑐
2𝜂𝐿
𝑞 +
1
𝜋
(𝑚 + 𝑛 + 1) arccos
√
𝑔
1
𝑔
2
方形镜
𝜈
𝑚𝑛𝑞
=
𝑐
2𝜂𝐿
𝑞 +
1
𝜋
(2𝑛 + 𝑚 + 1) arccos
√
𝑔
1
𝑔
2
圆形镜
4.5 衍射损耗与菲涅尔数
对称共焦腔中的每一个横模的单程衍射损耗单值地由腔的菲涅尔数决定
𝑁 =
𝑎
2
𝜋𝑤
2
0𝑠
其中 𝑎 为腔镜的半径 (圆形镜) 或半边长 (方形镜), 𝑤
0𝑠
为基模光斑半径. 菲涅尔数越大, 衍射损耗越小.
以 𝑎
𝑖
代表稳定球面腔两个腔镜的线度, 𝑎
0
表示等价球面腔的线度, 用 𝑤
𝑠𝑖
和 𝑤
0𝑠
分别表示对应的光斑半
径, 应有菲涅尔数相等
𝑎
2
𝑖
𝜋𝑤
2
𝑠𝑖
=
𝑎
2
0
𝜋𝑤
2
0𝑠
定义其为有效菲涅尔数
𝑁
𝑒 𝑓 1
=
𝑎
2
1
𝜋𝑤
2
𝑠1
=
𝑎
2
1
𝐿𝜆
𝑔
1
𝑔
2
(1 − 𝑔
1
𝑔
2
), 𝑁
𝑒 𝑓 2
=
𝑎
2
2
𝜋𝑤
2
𝑠2
=
𝑎
2
2
𝐿𝜆
𝑔
2
𝑔
1
(1 − 𝑔
1
𝑔
2
)
一般地说
,
两个反射镜上的损耗将是不相同的
,
平均单程衍射损耗定义为它们的平均值
𝛿
𝑚𝑛
=
1
2
𝛿
(1)
𝑚𝑛
+ 𝛿
(2)
𝑚𝑛
4.6 基模远场发散角
基模远场发散角是双曲线的渐近线夹角
𝜃
0
= 2
𝑤
0
𝑓
= 2
𝜆
𝜋 𝑓
其中 𝑤
0
为束腰半径, 𝑓 为等效共焦腔的焦距. 只需要代入即得
𝜃
0
= 2
𝜆
𝜋𝐿
(𝑔
1
+ 𝑔
2
− 2𝑔
1
𝑔
2
)
2
𝑔
1
𝑔
2
(1 − 𝑔
1
𝑔
2
)
1/4
