大物实验不确定度分析
水源
目录
1 不确定度 3
2 A 类不确定度 3
2.1 几个概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 测量列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.2 测量列的平均值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.3 测量列的标准差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 高斯分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.1 高斯分布的特点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.2 3𝜎 判据 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 测量列的 A 类标准不确定度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 有限次测量的情况和 t 因子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 B 类不确定度 4
3.1 测量仪器的最大允差 Δ
仪
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1.1 常用仪器的最大允差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1.2 量程对最大允差的影响 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 测量的估计误差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2.1 一般情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2.2 特殊情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 B 类不确定度的评定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1
3.3.1 B 类不确定度的最大值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3.2 B 类标准不确定度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 不同置信概率下的 B 类不确定度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 不确定度的合成 8
4.1 合成标准不确定度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 展伸不确定度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5 测量结果的表示 8
6 不确定度的传递 9
6.1 常用函数不确定度传递公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.2 最大不确定度的合成 (仅用于实验设计) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.2.1 常用函数的最大不确定度算数合成公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 不确定度
𝑋 = 𝑥 ±𝑈
𝑝
不确定度 𝑈
𝑝
: 代表测量值 𝑥 不确定的程度, 也是对测量误差的可能值的测度, 对待测真值可能存在的范围
的估计
不确定度可以分为 A 类不确定度和 B 类不确定度
2 A 类不确定度
由观测列统计分析评定, 也称统计不确定度 (多次等精度测量)
2.1 几个概念
2.1.1 测量列
对物理量 𝑋 做 𝑛 次等精度测量, 得到包含 𝑛 个测量值 𝑥
1
, 𝑥
2
, ..., 𝑥
𝑛
的一个测量列
2.1.2 测量列的平均值
𝑥 =
1
𝑛
𝑛
Õ
𝑖=1
𝑥
𝑖
平均值为最佳值, 也称期望值, 是最可靠的
2.1.3 测量列的标准差
𝜎
𝑥
=
v
u
u
t
𝑛
Í
𝑖=1
(𝑥
𝑖
− 𝑥)
2
𝑛 −1
当测量次数足够多时, 测量列中任一测量值与平均值的偏离落在 [−𝜎, 𝜎] 区间的概率为 68.3%
2.2 高斯分布
当 𝑛 → ∞ 时, 物理量 𝑋 的质量指标 𝛿 (𝛿 = 𝑥 − 𝑥) 的概率密度分布为高斯函数
𝑦(𝛿) =
1
√
2𝜋𝜎
𝑒
−
𝛿
2
2 𝜎
2
且有
∫
−𝜎
𝜎
𝑌 (𝛿)d𝛿 = 0.683
∫
−2𝜎
2 𝜎
𝑌 (𝛿)d𝛿 = 0.954
∫
−3𝜎
3 𝜎
𝑌 (𝛿)d𝛿 = 0.997
2.2.1 高斯分布的特点
对称性, 单峰性, 有界性, 抵偿性
2.2.2 3𝜎 判据
测量次数无限多时, 测量误差的绝对值大于 3 的概率仅为 0.3%. 对于有限次测量, 这种可能性是微乎其
微, 因此可以认为是测量失误, 应予以剔除
2.3 测量列的 A 类标准不确定度
𝑢
𝐴
=
𝜎
𝑥
√
𝑛
=
v
u
u
t
𝑛
Í
𝑖=1
(𝑥
𝑖
− 𝑥)
2
𝑛(𝑛 − 1)
𝑢
𝐴
即为测量列的 A 类标准不确定度
对于正态分布
𝑃
𝑋∈[𝑥−𝑢
𝐴
,𝑥+𝑢
𝐴
]
= 0.683
𝑃
𝑋∈[𝑥−2𝑢
𝐴
,𝑥+2𝑢
𝐴
]
= 0.954
𝑃
𝑋∈[𝑥−3𝑢
𝐴
,𝑥+3𝑢
𝐴
]
= 0.997
2.4 有限次测量的情况和 t 因子
当测量次数有限时, 概率密度曲线变得平坦, 成为 t 分布
为了获得相同的置信概率, 需要扩大置信区间
𝑢
𝑡
= 𝑡
𝑝
𝑢
𝐴
, 即[−𝑡
𝑝
𝑢
𝐴
, 𝑡
𝑝
𝑢
𝐴
]
𝑡
𝑝
与测量次数 𝑛 的关系有如下表格
3 B 类不确定度
不按统计分析评定，也称非统计不确定度
n/t/p 3 4 5 6 7 8 9 10 ∞
0.68 1.32 1.20 1.14 1.11 1.09 1.08 1.07 1.06 1
0.90 2.92 2.35 2.13 2.02 1.94 1.86 1.83 1.76 1.65
0.95 4.30 3.18 2.78 2.57 2.46 2.37 2.31 2.26 1.96
0.99 4.30 5.84 4.60 4.03 3.71 3.50 3.36 3.25 2.58
表 1: 𝑡
𝑝
与测量次数 𝑛 的关系
3.1 测量仪器的最大允差 Δ
仪
• 包含了仪器的系统误差, 也包含了环境以及测量者自身可能出现的变化 (具随机性) 对测量结果的影
响
• 最大允差可从仪器说明书中得到, 它表征同一规格型号的合格产品, 在正常使用条件下, 可能产生的
最大误差
• 测量值与真值的误差在 [−𝛿仪, 𝛿仪] 范围内的置信概率为 1
• 一般而言, 为仪器最小刻度所对应的物理量的数量级 (但不同类型的仪器差别很大)
3.1.1 常用仪器的最大允差
长度测量
钢卷尺: 1𝑚/1𝑚𝑚 : ±0.8𝑚𝑚 2𝑚/1𝑚𝑚 : ±1.2𝑚𝑚
游标卡尺: 125𝑚𝑚/0.02𝑚𝑚 : ±0.02𝑚𝑚 300𝑚𝑚/0.02𝑚𝑚 : ±0.05𝑚𝑚
螺旋测微器: 25𝑚𝑚/0.01𝑚𝑚 : ±0.004𝑚𝑚
电表
指针电表级别:5.0, 2.0, 1.5, 1.0, 0.5, 0.2, 0.1 等
指针电表: 量程 × 级别%
数字电表: 读数 ×𝐶%+ 稳定显示后一位的几个单位
电阻箱
盘名 ×10𝑘Ω ×1𝑘Ω ×100Ω ×1Ω ×10Ω ×0.1Ω
准确度等级指数 0.1 0.1 0.1 0.2 1 2
测试电流 4mA 45mA 45mA 140mA 450mA 450mA
时间常数 (𝜇𝑠) <1 <0.1 <0.1 <0.1 <1 -
表 2: 电阻箱的最大允差
色环电阻最后一环表示误差:
银色 10%, 金色 5%, 棕色 1%
贴片电阻阻值误差精度常用的是 ±1% 和 ±5%
±5 精度的常用三位数来表示, 如 103 代表 10𝑘𝜔(±5%)
±1% 精度的常用四位数表示
3.1.2 量程对最大允差的影响
模拟式仪表
Δ
仪
= c 量程 ×级别%
例如:
量程为 100 V 的 1.0 级电压表, 测量一个电池的电动势为 1.5 V. 则仪表的最大允差为 1.0 V, 若量程为
10V, 则降低到 0.1 V
数字式仪表
Δ
仪
= 读数 × 𝐶% + 稳定显示后一位的几个单位
例如:
某精度为 1.0 级的三位半电表, 用 20.00 V 量程测量电池电动势, 读数为 1.50 V. 按其说明书,C 为 1，假
设末位数字跳动 5 个单位, 则测量结果的最大允差为:(0.015+0.05) =0.065 V. 若改用 2.000 V 量程, 则为
（0.015+0.005）= 0.020 V
3.2 测量的估计误差
3.2.1 一般情况
Δ
估
< Δ
仪
模拟式仪表：Δ
𝑧
< 最小分度的一半数字式仪表：Δ
𝑧
= 0
3.2.2 特殊情况
Δ
估
> Δ
仪
秒表计时的估计误差 (开始和结束的判断),Δ
𝑧
=0.2s, 远大于 Δ
𝑧
=0.01s
难以将被测物两端与测量仪器的刻线对齐 (实验装置原因)
几何光学实验中测量光学元件间距 (暗室)
3.3 B 类不确定度的评定
3.3.1 B 类不确定度的最大值
Δ
𝐵
=
q
Δ
2
仪
+ Δ
2
估
如果一个分量小于另一个分量的三分之一, 可以忽略较小的分量, 通常取 Δ
𝐵
= Δ
仪
3.3.2 B 类标准不确定度
𝑢
𝐵
=
Δ
𝐵
𝐶
正态分布
𝐶
=
3
,
[−
𝑢
𝐵
, 𝑢
𝐵
]
, 𝑃
=
0
.
68
均匀分布
𝐶 =
√
3 , [−𝑢
𝐵
, 𝑢
𝐵
], 𝑃 = 0.58
三角分布
𝐶 =
√
6 , [−𝑢
𝐵
, 𝑢
𝐵
], 𝑃 = 0.65
仪器 米尺 游标卡尺 千分尺 物理天平 秒表
误差分布 正态 均匀 正态 正态 正态
置信系数 C 3
√
3 3 3 3
表 3: 几种常见仪器的误差分布与置信系数
3.4 不同置信概率下的 B 类不确定度
𝑢
𝐵
= 𝑘
𝑝
Δ
𝐵
𝐶
𝑘
𝑝
/𝑃 0.500 0.577 0.650 0.683 0.900 0.950 0.955 0.990 0.997
正态分布 0.675 1.000 1.650 1.960 2.000 2.580 3.000
均匀分布 0.877 1.000 1.183 1.559 1.645 1.650 1.715 1.727
三角分布 0.717 0.862 1.000 1.064 1.675 1.901 1.929 2.204 2.315
表 4: 三种分布下置信概率 𝑃 与置信因子 𝑘
𝑝
的关系
4 不确定度的合成
4.1 合成标准不确定度
A 类不确定度和 B 类不确定度是相互独立的
𝑈 =
q
𝑢
2
𝐴
+ 𝑢
2
𝐵
有限次测量情况下,t 因子修正后 (𝑃 = 0.68)
𝑈
0.68
=
q
(𝑡
0.68
𝑢
𝐴
)
2
+ 𝑢
2
𝐵
4.2 展伸不确定度
增大置信概率的不确定度, 也叫扩展不确定度
𝑈
𝑝
=
r
(𝑡
𝑝
𝑢
𝐴
)
2
+ (𝑘
𝑝
Δ
𝐵
𝐶
)
2
相同置信概率的 AB 类不确定度才可以按平方和合成
𝑈
0.95
=
s
(𝑡
0.95
𝑢
𝐴
)
2
+
𝑘
0.95
Δ
𝐵
𝐶
2
𝑈
0.99
=
s
(𝑡
0.99
𝑢
𝐴
)
2
+
𝑘
0.99
Δ
𝐵
𝐶
2
5 测量结果的表示
测量结果的最终表达式
𝑋 = (𝑥 ±𝑈
0.95
)单位 (𝑃 = 0.95)
也可以用相对不确定度的形式表示
𝑋 = 𝑥(1 ±𝑈
𝑟
)单位, 𝑈
𝑟
=
𝑈
0.95
𝑥
× 100%
如果没有标明置信水平, 一般默认 P=0.95
6 不确定度的传递
若有间接测量物理量公式
𝑦 = 𝑓 (𝑥
1
, 𝑥
2
, ..., 𝑥
𝑛
)
如果 𝑥
1
, 𝑥
2
, ..., 𝑥
𝑛
为相互独立的直接测量的量, 则有
𝑈
2
𝑃
(𝑦) =
𝑛
Õ
𝑖=1
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝑖
2
𝑢
2
𝑃
(𝑥
𝑖
)
其中 𝑢
𝑃
(𝑥
𝑖
) 为直接测量量 𝑥
𝑖
在置信概率为 𝑃 时的不确定度
6.1 常用函数不确定度传递公式
𝑊 = 𝑥 ± 𝑦 𝑈
𝑊
=
q
𝑈
2
𝑥
+𝑈
2
𝑦
𝑊 = 𝑘𝑥 𝑈
𝑊
= 𝑘𝑈
𝑥
,
𝑈
𝑊
𝑊
=
𝑈
𝑥
𝑥
𝑊 = 𝑥 · 𝑦
𝑈
𝑊
𝑊
=
r
𝑈
𝑥
𝑥
2
+
𝑈
𝑦
𝑦
2
𝑊 =
√
𝑥
𝑈
𝑊
𝑊
=
1
2
𝑈
𝑥
𝑥
𝑊 =
𝑥
𝑦
𝑈
𝑊
𝑊
=
r
𝑈
𝑥
𝑥
2
+
𝑈
𝑦
𝑦
2
𝑊 = sin 𝑥 𝑈
𝑊
|
cos 𝑥
|
𝑈
𝑥
𝑊 =
𝑥
𝑘
𝑦
𝑛
𝑧
𝑚
𝑈
𝑊
𝑊
=
r
𝑘
2
𝑈
𝑥
𝑥
2
+ 𝑛
2
𝑈
𝑦
𝑦
2
+ 𝑚
2
𝑈
𝑧
𝑧
2
𝑊 = ln 𝑥 𝑈
𝑊
=
𝑈
𝑥
𝑥
表 5: 常用函数不确定度传递公式
6.2 最大不确定度的合成 (仅用于实验设计)
若只需要粗略估计不确定度的大小, 可以采用较为保守的线性合成法则
𝑤 = 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧, ...)
则有最大不确定度
Δ𝑤 =
𝜕 𝑓
𝜕𝑥
· Δ𝑥 +
𝜕 𝑓
𝜕𝑦
· Δ𝑦 +
𝜕 𝑓
𝜕𝑧
· 𝑧 + ...
Δ𝑤
𝑤
=
𝜕ln 𝑓
𝜕𝑥
· 𝑥 +
𝜕ln 𝑓
𝜕𝑦
· Δ𝑦 +
𝜕ln 𝑓
𝜕𝑧
· Δ𝑧 + ...
6.2.1 常用函数的最大不确定度算数合成公式
函数式 最大不确定度 相对不确定度 函数式 最大不确定度 相对不确定度
W=x+y+z+... Δ𝑥 + Δ𝑦 + Δ𝑧 + ...
Δ𝑥+Δ𝑦+Δ𝑧+...
𝑥+𝑦+𝑧+...
𝑊 = sin 𝑥 cos 𝑥Δ𝑥 cot 𝑥Δ𝑥
𝑊 = 𝑥 ± 𝑦 Δ𝑥 + Δ𝑦
Δ𝑥+Δ𝑦
𝑥±𝑦
𝑊 = sin 𝑥
Δ𝑥
cos
2
𝑥
2Δ𝑥
sin 2 𝑥
𝑊 = 𝑘𝑥 𝑘Δ𝑥
Δ𝑥
𝑥
𝑊 = ln 𝑥
Δ𝑥
𝑥
Δ𝑥
𝑥 ln 𝑥
𝑊 = 𝑥𝑦 𝑥Δ𝑦 + 𝑦Δ𝑥
Δ𝑥
𝑥
+
Δ𝑦
𝑦
𝑊 =
𝑥
𝑦
𝑦Δ𝑥+𝑥Δ𝑦
𝑦
2
Δ𝑥
𝑥
+
Δ𝑦
𝑦
𝑊 = 𝑥
𝑛
𝑛𝑥
𝑛−1
Δ𝑥 n
Δ𝑥
𝑥
表 6: 常用函数的最大不确定度算数合成公式
