金属自由电子论
目录
1 金属中电子的运动方程 2
2 费米能 3
3 非零度的费米电子气 4
4 金属的热容 7
5 自由电子的顺磁磁化率 7
6 金属的电导率 8
7 热电子发射 10
7.1 功函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7.2 热电子发射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
8 金属的交流电导率 11
9 金属的介电函数 11
10 金属的光学性质 13
1
1 金属中电子的运动方程
为了简化问题, 采取近似
• 独立电子近似: 电子之间的相互作用可以忽略
• 自由电子近似: 将电子气等效为 𝑇 = 0, 𝑉 = 𝐿
3
的立方体内运动的 𝑁 个自由电子
独立电子近似允许将 𝑁 个电子的问题等效为单电子问题, 单电子的薛定谔方程为
−
ℏ
2
2𝑚
∇
2
+𝑉 (r)
𝜓(r) = 𝐸𝜓(r)
其中 𝑉 是电子在金属中的势能, 来自于离子实. 自由电子近似允许忽略该相互作用, 所以取 𝑉 = 0, 则
−
ℏ
2
2𝑚
∇
2
𝜓(r) = 𝐸𝜓(r)
这是自由粒子的薛定谔方程, 其解为平面波
𝜓(r) =
1
√
𝑉
𝑒
𝑖k·r
其中 𝑘 是波矢, 有自由粒子的能量和动量本征值
𝐸 (k) =
ℏ
2
𝑘
2
2𝑚
, p = ℏk
为了描述有限空间中的粒子, 采取周期性边界条件, 要求
𝜓(r + 𝐿
ˆ
e
𝑖
) = 𝜓 (r), 𝑖 = 1, 2, 3
因而要求波矢 k 满足
𝑘
𝑥
=
2𝜋𝑛
𝑥
𝐿
, 𝑘
𝑦
=
2𝜋𝑛
𝑦
𝐿
, 𝑘
𝑧
=
2𝜋𝑛
𝑧
𝐿
如果将波矢所在的空间称为 𝑘 空间, 那么在 𝑘 空间中, 一个波矢对应坐标点占据空间为
2𝜋
𝐿
3
=
(2𝜋)
3
𝑉
注意到电子能量的表达式
𝐸 (k) =
ℏ
2
𝑘
2
2𝑚
所以在 𝑘 空间中, 能量相等的波矢分布在一个球面上. 在半径为 𝑘 的球体中, 波矢的数目为
4𝜋
3
𝑘
2
(2𝜋)
3
𝑉
=
4𝜋𝑉
3(2𝜋)
3
𝑘
2
每一个 k 都是一个电子的量子态, 电子作为费米子, 其波函数应满足交换反对称, 这要求它满足泡利不相
容原理, 即不应存在两个电子处于同一量子态. 若考虑电子自旋, 则一个波矢 k 可以被两个电子占据, 因
而球体内的电子总数为
𝑁 =
4𝜋𝑉
3(2𝜋)
3
𝑘
2
· 2
如果换成能量的单位, 则
𝑍 (𝐸) =
𝑉
3𝜋
2
2𝑚𝐸
ℏ
2
3/2
定义能态密度, 即单位体积中, 单位能量范围内的量子态数目
𝑁 (𝐸) =
d𝑍 (𝐸)
d𝐸
𝑉
即
𝑁 (𝐸) = 𝐶
√
𝐸, 𝐶 =
1
2𝜋
2
2𝑚
ℏ
2
3/2
电子能量越高, 能态密度越大
2 费米能
𝑇 = 0 时, 系统能量处于最低, 电子倾向于填充能量最低的量子态. 由于泡利不相容原理的限制, 电子从最
低能级开始, 逐层填充. 由于在 𝑘 空间中的等能面为球面, 因而电子填充的量子态是一个球体, 称其为费
米球, 其半径为费米半径 𝑘
𝐹
. 电子数目应与费米球的填充上限相等, 所以
2
4𝜋
3
𝑘
3
𝐹
(2𝜋)
3
𝑉
= 𝑁
因而
𝑘
𝐹
=
3𝜋
2
𝑛
1/3
, 𝑛 =
𝑁
𝑉
其中 𝑛 是单位体积内的电子数目, 由此可以给出费米能, 即最高能态电子的能量
𝐸
0
𝐹
=
ℏ
2
𝑘
2
𝐹
2𝑚
=
ℏ
2
2𝑚
3𝜋
2
𝑛
2/3
费米球的表面称为费米面, 费米面处的能态密度为
𝑁 (𝐸
0
𝐹
) = 𝐶
𝐸
0
𝐹
=
3
2
𝑛
𝐸
0
𝐹
从而可以给出 0𝐾 时单位体积的系统总能量
𝑈
0
=
𝐸
0
𝐹
0
𝐸 𝑁(𝐸)𝑑𝐸 =
𝐸
0
𝐹
0
𝐶
√
𝐸𝐸 𝑑𝐸 =
1
2𝜋
2
2𝑚
ℏ
2
3/2
2
5
(𝐸
0
𝐹
)
5/2
=
3
5
𝑛𝐸
0
𝐹
3 非零度的费米电子气
考察非零温度的费米电子气, 电子热运动的能量为 𝑘
𝐵
𝑇, 其中的 𝑘
𝐵
是玻尔兹曼常数. 不过由于最高能态
电子的能量为 𝐸
0
𝐹
, 其对应的温度为费米温度
𝑇
0
𝐹
=
𝐸
0
𝐹
𝑘
𝐵
一般来说, 金属的费米温度达到几万度, 所以只有费米面附近的电子才能被激发到高能态. 确切来说
|𝐸 − 𝐸
0
𝐹
| ≈ 𝑘
𝐵
𝑇
才能被激发到高能态. 作为费米子, 金属中的电子应服从费米-狄拉克分布, 即能级 𝐸 被占据的概率为
𝑓 (𝐸) =
1
exp
𝐸 − 𝜇
𝑘
𝐵
𝑇
+ 1
其中 𝜇 是体积不变时系统增加一个电子所需的能量, 称为化学势. 在 𝑇 ≪ 𝑇
0
𝐹
时, 化学势近似为费米能
(这不是 𝑇 = 0 时的费米能), 即
𝑓 (𝐸) =
1
exp
𝐸 − 𝐸
𝐹
𝑘
𝐵
𝑇
+ 1
在费米面一下几个 𝑘
𝐵
𝑇 的能级上, 𝑓 (𝐸) ≈ 1, 所以费米面以下几个 𝑘
𝐵
𝑇 的能级几乎都被占据, 同理, 费米
面以上几个 𝑘
𝐵
𝑇 的能级几乎都不被占据. 距离费米面较远的电子保持为 𝑇 = 0 的状态, 所以决定金属性
质的只有费米面附近的一小部分电子. 为了考察费米面, 利用粒子数守恒
𝑁 =
∞
0
𝑁 (𝐸) 𝑓 (𝐸)𝑑𝐸
可以利用 Sommerfeld 展开来近似计算, 即
∞
0
𝑓 (𝐸)𝑄
′
(𝐸)𝑑𝐸 ≈ 𝑄(𝐸
𝐹
) +
𝜋
2
6
(𝑘
𝐵
𝑇)
2
𝑄
′′
(𝐸
𝐹
)
其中 𝑄(𝐸) 是任意函数, 𝑓 (𝐸) 是费米-狄拉克分布
它的证明利用分部积分
∞
0
𝑓 (𝐸)𝑄
′
(𝐸)𝑑𝐸 =
∞
0
𝑄(𝐸)
−
d
𝑓
d𝐸
𝑑𝐸
代入费米-狄拉克分布, 得到
−
d 𝑓
d𝐸
=
1
𝑘
𝐵
𝑇
1
exp
𝐸 − 𝐸
𝐹
𝑘
𝐵
𝑇
+ 1
exp
−
𝐸 − 𝐸
𝐹
𝑘
𝐵
𝑇
+ 1
它是 𝐸 −𝐸
𝐹
的偶函数, 并且非零值集中在 |𝐸 −𝐸
𝐹
| ≈ 𝑘
𝐵
𝑇 附近, 具有 𝛿 函数的性质. 将积分下限改为 −∞
∞
−∞
𝑓 (𝐸)𝑄
′
(𝐸)𝑑𝐸 =
∞
−∞
𝑄(𝐸)
−
d 𝑓
d𝐸
𝑑𝐸
将 𝑄(𝐸) 展开为 𝐸
𝐹
附近的泰勒级数
𝑄(𝐸) = 𝑄(𝐸
𝐹
) +
1
2
𝑄
′′
(𝐸
𝐹
)(𝐸 − 𝐸
𝐹
)
2
+ ···
代入积分得到
∞
−∞
𝑓 (𝐸)𝑄
′
(𝐸)𝑑𝐸 =
∞
−∞
𝑄(𝐸
𝐹
)
−
d 𝑓
d𝐸
𝑑𝐸 +
∞
−∞
𝑄
′′
(𝐸
𝐹
)(𝐸 − 𝐸
𝐹
)
−
d 𝑓
d𝐸
𝑑𝐸
+
∞
−∞
1
2
𝑄
(3)
(𝐸
𝐹
)(𝐸 − 𝐸
𝐹
)
2
−
d 𝑓
d𝐸
𝑑𝐸 + ···
第一向就是 𝑄(𝐸
𝐹
), 对于第二项, 由于 −
d 𝑓
d𝐸
是 𝐸 − 𝐸
𝐹
的偶函数, 所以它为零. 需要考察第三项, 代入
𝑓 (𝐸) 的表达式
1
2
∞
−∞
𝑄
′′
(𝐸
𝐹
)(𝐸 − 𝐸
𝐹
)
2
−
d 𝑓
d𝐸
𝑑𝐸 = (𝑘
𝐵
𝑇)
2
𝑄
′′
(𝐸
𝐹
)
∞
0
𝑥
2
𝑒
−𝑥
(1 + 𝑒
−𝑥
)
2
𝑑𝑥
利用 Taylor 展开
(1 + 𝜉)
−𝑛
= 1 + (−𝑛)𝜉 +
1
2!
(−𝑛)(−𝑛 − 1)𝜉
2
+
1
3!
(−𝑛)(−𝑛 − 1)(−𝑛 − 2)𝜉
3
+ ···
将分母展开为级数
∞
0
𝑥
2
𝑒
−𝑥
(1 + 𝑒
−𝑥
)
2
𝑑𝑥 =
∞
0
𝑥
2
𝑒
−𝑥
1 − 2𝑒
−𝑥
+ 3𝑒
−2𝑥
− 4𝑒
−3𝑥
+ ···
𝑑𝑥
每一项都是可积的, 积分得到级数
∞
0
𝑥
2
𝑒
−𝑥
(1 + 𝑒
−𝑥
)
2
𝑑𝑥 = 2 ×
1 −
1
2
2
+
1
3
2
−
1
4
2
+ ···
注意到
1 −
1
2
2
+
1
3
2
−
1
4
2
+ ··· =
𝜋
2
12
所以
(𝑘
𝐵
𝑇)
2
𝑄
′′
(𝐸
𝐹
)
∞
0
𝑥
2
𝑒
−𝑥
(1 + 𝑒
−𝑥
)
2
𝑑𝑥 =
𝜋
2
6
(𝑘
𝐵
𝑇)
2
𝑄
′′
(𝐸
𝐹
)
所以
∞
0
𝑓 (𝐸)𝑄
′
(𝐸)𝑑𝐸 ≈ 𝑄(𝐸
𝐹
) +
𝜋
2
6
(𝑘
𝐵
𝑇)
2
𝑄
′′
(𝐸
𝐹
)
即完成了证明
利用 Sommerfeld 展开
∞
0
𝑁 (𝐸) 𝑓 (𝐸)𝑑𝐸 =
𝐸
𝐹
0
𝑁 (𝐸)𝑑𝐸 +
𝜋
2
6
(𝑘
𝐵
𝑇)
2
𝑁
′
(𝐸
𝐹
)
将 0 ∼ 𝐸
𝐹
的积分换为 0 ∼ 𝐸
0
𝐹
与 𝐸
0
𝐹
∼ 𝐸
𝐹
的积分, 并代入 𝑁 (𝐸) = 𝐶
√
𝐸, 则
𝑁 =
𝐸
0
𝐹
0
𝑁 (𝐸)𝑑𝐸 +
𝐸
𝐹
𝐸
0
𝐹
𝑁 (𝐸)𝑑𝐸 +
𝜋
2
6
(𝑘
𝐵
𝑇)
2
1
2
√
𝐸
𝐹
所以
𝑁 = 𝑁 + 𝑁 (𝐸
0
𝐹
)(𝐸
𝐹
− 𝐸
0
𝐹
) +
𝜋
2
12
(𝑘
𝐵
𝑇)
2
𝑁 (𝐸
0
𝐹
)
𝐸
0
𝐹
解得
𝐸
𝐹
= 𝐸
0
𝐹
1 −
𝜋
2
12
𝑘
𝐵
𝑇
𝐸
0
𝐹
2
= 𝐸
0
𝐹
1 −
𝜋
2
12
𝑇
𝑇
𝐹
2
随着温度升高, 𝐸
𝐹
会变得略低于 𝐸
0
𝐹
可以利用同样的方法计算电子总能量. 考察积分
𝑈 =
∞
0
𝐸 𝑓 (𝐸)𝑁 (𝐸)𝑑𝐸
利用 Sommerfeld 展开
𝑈 =
𝐸
0
𝐹
0
𝐸 𝑁(𝐸)𝑑𝐸 +
𝐸
𝐹
𝐸
0
𝐹
𝐸 𝑁 (𝐸)𝑑𝐸 +
𝜋
2
6
(𝑘
𝐵
𝑇)
2
3
2
𝐶
𝐸
𝐹
如果忽略 𝑇 的高阶项, 那么可以近似认为
𝑈 = 𝑈
0
+ 𝑁 (𝐸
0
𝐹
)
−
𝜋
2
12
(𝑘
𝐵
𝑇)
2
+
𝜋
2
4
(𝑘
𝐵
𝑇)
2
𝑁 (𝐸
0
𝐹
)
利用
𝑁 (𝐸
0
𝐹
) =
3𝑁
2𝐸
0
𝐹
得到
𝑈 = 𝑈
0
+
𝜋
2
4
· 𝑁
(𝑘
𝐵
𝑇)
2
𝐸
0
𝐹
其中 𝑈
0
是 𝑇 = 0 时的总能量
𝑈
0
=
𝐸
0
𝐹
0
𝐸 𝑁 (𝐸)𝑑𝐸 =
3
5
𝑛𝐸
0
𝐹
那么可以进一步将总能量表示为
𝑈 = 𝑈
0
1 +
5
12
𝜋
2
𝑘
𝐵
𝑇
𝐸
0
𝐹
2
4 金属的热容
上一节得到了 𝑇 > 0 时的单位体积总能量
𝑈 = 𝑈
0
1 +
5
12
𝜋
2
𝑘
𝐵
𝑇
𝐸
0
𝐹
2
从而能够得到单个电子的能量
𝑢 =
𝑈
𝑛
=
3
5
𝐸
0
𝐹
1 +
5
12
𝜋
2
𝑘
𝐵
𝑇
𝐸
0
𝐹
2
有自由电子的摩尔热容, 注意是电子的摩尔热容, 实际金属中一个金属原子可能不止一个价电子
𝐶
𝑒
= 𝑁
𝐴
𝜕𝑢
𝜕𝑇
𝑉
=
𝜋
2
2
𝑁
𝐴
𝑘
𝐵
𝑘
𝐵
𝑇
𝐸
0
𝐹
=
𝜋
2
2
𝑁
𝐴
𝑘
𝐵
𝑇
𝑇
0
𝐹
鉴于在德拜理论下, 有晶格热容
𝐶
𝑉
=
12
5
𝜋
4
𝑁
𝐴
𝑘
𝐵
𝑇
𝑇
𝐷
3
它衰减地比电子热容更快, 在低温下电子热容变得显著. 注意到
𝑁 (𝐸
0
𝐹
) = 𝐶
𝐸
0
𝐹
=
3
2
𝑛
𝐸
0
𝐹
那么
𝐶
𝑒
=
𝜋
2
3
𝑘
2
𝐵
𝑇 𝑁
(
𝐸
0
𝐹
) ·
𝑁
𝐴
𝑛
电子热容可以反映费米面附近态密度的大小
5 自由电子的顺磁磁化率
电子具有自旋磁矩 𝜇
𝐵
, 在施加磁场时, 电子磁矩会趋向于与外磁场平行, 显示出宏观磁矩. 考察 𝑇 → 0 的
情况, 𝐵 = 0 时, 两种自旋取向的电子数目相同, 其数密度均为总体密度的一半
𝑁
+
(𝜖) = 𝑁
−
(𝜖) =
1
2
𝑁 (𝜖)
当 𝐵 ≠ 0 时, 不同的自旋方向具有不同的取向能
平行 : −𝜇
𝐵
𝐵, 反平行 : 𝜇
𝐵
𝐵
磁场使得电子的能级发生整体的移动, 从而使得不同自旋方向的电子费米能不同, 应有一部分电子的自旋
方向发生翻转, 使得两侧的费米能相等
由于费米能很大, 所以仅考虑费米面附近的电子, 需要从能量高的自旋态中翻转 𝜇
𝐵
𝐵 能量的电子到能量
低的自旋态中 (因为两侧的能量差是 2𝜇
𝐵
𝐵), 翻转的电子数目为
𝑁
′
=
1
2
𝑁 (𝐸
0
𝐹
)𝜇
𝐵
𝐵
其中的 1/2 系数来自于两个自旋态的粒子数密度是总体的一半. 一个电子的自旋翻转引起的磁矩变化为
2𝜇
𝐵
, 所以产生的总磁矩为
𝑀 = 𝑁
′
· 2𝜇
𝐵
= 𝑁 (𝐸
0
𝐹
)𝜇
2
𝐵
𝐵
鉴于
𝐵 = 𝜇
0
𝐻, 𝑀 = 𝜒
0
𝐻
所以
𝜒
0
= 𝑁 (𝐸
0
𝐹
)𝜇
0
𝜇
2
𝐵
=
3𝑛𝜇
0
𝜇
2
𝐵
2𝐸
0
𝐹
称其为 Pauli 顺磁性, 数值较小且与温度无关
6 金属的电导率
外电场为零时, 费米球的球心在原点, 所有电子的总动量为零, 因而总电流为零. 外电场非零是, 电子受两
种作用
1. 外电场使得电子加速, 获得动量
2. 电子由于碰撞而失去动量
经典地认为电子服从牛顿运动定律
F = 𝑚
dv
d𝑡
加上一点量子, 电子作为自由粒子有动量波矢的关系
𝑝 = ℏ𝑘
电子在电磁场中的受力为
F = −𝑒
E +
1
𝑒
v × B
忽略磁场, 那么
dk
d𝑡
= −
𝑒
ℏ
E
每一个电子均满足该方程, 这说明加上电场后费米球的球心向电场的反方向移动
假定 0 时刻电子处于原点, 那么 𝑡 时刻费米球的中心位置偏移为
𝛿k = −
𝑒
ℏ
E𝑡
不过电子的碰撞使得费米球无法一直移动下去, 电场的作用和碰撞维持一种稳态, 粗糙地认为碰撞的作用
等效为一个时间常数 𝜏, 它为电子的运动方程增加了一项阻力项
𝑚
dv
d𝑡
= −𝑒E −
𝑚v
𝜏
其稳态解为
𝛿k = −
𝑒
ℏ
E𝜏
从而有电子的平均定向漂移速度
v
𝑑
=
ℏ
𝑚
𝛿k = −
𝑒
𝑚
E𝜏
进而得到电流密度
j = −𝑒𝑛v
𝑑
= −
𝑛𝑒
2
𝑚
E𝜏
鉴于欧姆定律 j = 𝜎E, 从而得到电导率的表达式
𝜎 =
𝑛𝑒
2
𝜏
𝑚
实际上, 费米球的移动看似是整体的, 实际上由于电子不可区分, 所以只有费米面附近的电子被电场激发.
虽然这些电子的数目少, 但是速度高, 与高浓度但低速漂移电子对电流的贡献相同
7 热电子发射
7.1 功函数
在金属内部, 自由电子受到正离子的吸引. 由于各金属离子的吸引力相互抵消, 电子所受的净合力为零.
但金属表面的电子由于有一部分离子的吸引力不能被抵消而受到净吸引力, 阻止其逸出金属表面, 表现出
一个势垒, 定义其为亲和势 𝑉
0
, 它是电子处于无穷远处所具有的势能
实际有可能被激发溢出金属的电子只能处于费米面附近, 所以定义功函数为
𝑊 = 𝑉
0
− 𝐸
𝐹
它的量级在几个 𝑒𝑉 左右
7.2 热电子发射
𝑇 = 0 时所有电子的能量都不会超过费米能级, 𝑇 > 0 时, 电子服从费米-狄拉克分布, 𝑘 能级被占据的概率
为
𝑓 (𝑘) =
1
exp
𝐸 (𝑘) − 𝜇
𝑘
𝐵
𝑇
+ 1
有电子能量
𝐸 (𝑘) =
ℏ
2
𝑘
2
2𝑚
=
1
2
𝑚𝑣
2
, 𝑣 =
ℏ𝑘
𝑚
考虑电子具有 1/2 自旋, 波矢空间中 d
3
𝑘 体积元中的状态数为
2 ×
𝑉
(
2
𝜋
)
3
d
3
𝑘
各个能级上的电子数目服从费米-狄拉克分布
𝑓 (𝑘) =
1
exp
𝐸 (𝑘) − 𝜇
𝑘
𝐵
𝑇
+ 1
故单位体积内电子运动速度在 d𝑣
3
范围内的电子数目为
d𝑛 = 2
1
(2𝜋)
3
𝑚
ℏ
3
𝑓 (𝑣)d𝑣
3
设 𝑥 方向垂直于金属表面, 故 𝑥 方向速度大于阈值的电子才可以逃逸, 逃逸需要克服金属表面势垒 𝑉
0
. 近
似取化学势为 𝐸
0
𝐹
, 这要求
1
2
𝑚𝑣
2
𝑥
> 𝑉
0
= 𝐸
0
𝐹
+𝑊 ⇒ 𝑣
𝑥
>
2𝑉
0
𝑚
那么热电子发射电流密度即对应 𝑣
𝑥
大于阈值的电子数目. 鉴于 𝐼 = 𝑞𝑣, 所以
𝑗
𝑥
= −
𝑒𝑣
𝑥
d𝑛 = −
𝑚
3
𝑒
4𝜋
3
ℏ
3
∞
−∞
d𝑣
𝑦
d𝑣
𝑧
∞
√
2𝑉
0
𝑚
d𝑣
exp
1
2
𝑚𝑣
2
𝑥
− 𝐸
0
𝐹
/𝑘
𝐵
𝑇
+ 1
功函数 𝑊 ≫ 𝑘
𝐵
𝑇, 所以分母的常数 1 可以忽略, 从而可以解析积分. 注意到
∞
−∞
exp
−
𝑚𝑣
2
𝑖
2𝑘
𝐵
𝑇
d𝑣
𝑖
=
2𝜋𝑘
𝐵
𝑇
𝑚
,
∞
√
2𝑉
0
𝑚
𝑣
𝑥
exp
−
𝑚𝑣
2
𝑥
2𝑘
𝐵
𝑇
d𝑣
𝑥
=
𝑘
𝐵
𝑇
𝑚
exp
−
𝑉
0
𝑘
𝐵
𝑇
得到
𝑗
𝑥
= −
𝑚𝑒(𝑘
𝐵
𝑇)
2
2𝜋
2
ℏ
3
exp
−
𝑉
0
− 𝐸
0
𝐹
𝑘
𝐵
𝑇
从而
𝑗 = 𝐴𝑇
2
exp
−
𝑊
𝑘
𝐵
𝑇
, 𝐴 =
𝑚𝑒(𝑘
𝐵
𝑇)
2
2𝜋
2
ℏ
3
, 𝑊 = 𝑉
0
− 𝐸
0
𝐹
即 Richardson-Dushman 公式
8
金属的交流电导率
电子在电场作用下的准经典运动方程
𝑚
dv
d𝑡
= −𝑒E −
𝑚v
𝜏
外加交流电场
E = E
0
𝑒
−𝑖𝜔𝑡
电子漂移速度有形式
v
𝑑
= v
0
𝑒
−𝑖𝜔𝑡
代入解得
v
0
=
−𝑒E𝜏
𝑚(1 −𝑖𝜔𝜏)
电流密度为
𝐽 = −𝑛𝑒v
𝑑
=
𝑛𝑒
2
𝜏
𝑚(1 −𝑖𝜔𝜏)
E
因而交变电场下的电导率为复数
𝜎 =
𝑛𝑒
2
𝜏
𝑚
1
1 −𝑖𝜔𝜏
= 𝜎
0
1
1 −𝑖𝜔𝜏
其中 𝜎
0
=
𝑛𝑒
2
𝜏
𝑚
是直流电导率. 计算其实部和虚部
𝜎 =
𝜎
0
1 + 𝜔
2
𝜏
2
+𝑖
𝜎
0
𝜔𝜏
1 + 𝜔
2
𝜏
2
其中的实部电流与电压同相位, 产生焦耳热, 虚部与电压相差了 𝜋/2 相位, 是感应电流
9 金属的介电函数
考察交变电场在空间变化缓慢的情形, 电磁波的波长远大于电子的平均自由程, 电子的两次碰撞之间电场
可以视为不变. 此时有
j (r, 𝜔) = 𝜎(𝜔)E(r, 𝜔)
电流密度完全取决于电场. 由 Maxwell 方程组
∇ · E =
𝜌
𝜖
0
∇ · B = 0
∇ × E = −
𝜕B
𝜕𝑡
∇ × B = 𝜇
0
j + 𝜇
0
𝜖
0
𝜕E
𝜕𝑡
对第四式取时间的微分并代入第三式消去磁场项
∇ ×
𝜕B
𝜕𝑡
= 𝜇
0
𝜕j
𝜕𝑡
+ 𝜇
0
𝜖
0
𝜕
2
E
𝜕𝑡
2
⇒ −∇ × ∇ × E = 𝜇
0
𝜕j
𝜕𝑡
+ 𝜇
0
𝜖
0
𝜕
2
E
𝜕𝑡
2
鉴于
∇ × ∇ × E = ∇(∇ · E) − ∇
2
E = ∇𝜌/𝜖
0
− ∇
2
𝐸, j = 𝜎E
电磁波的波长很长, 所以局域上可以认为 ∇𝜌 = 0, 因而上式化为
∇
2
E − 𝜇
0
𝜎
𝜕E
𝜕𝑡
− 𝜇
0
𝜖
0
𝜕
2
E
𝜕𝑡
2
= 0
考察单色平面波解
E = E
0
𝑒
𝑖 (k· r −𝜔𝑡 )
代入得
𝑘
2
= 𝜇
0
𝜖
0
𝜔
2
+𝑖𝜇
0
𝜎𝜔 = 𝜇
0
𝜔
2
𝜖
0
+𝑖
𝜎
𝜔
因而自由电子气具有复介电常数
𝜖 = 𝜖
0
+𝑖
𝜎
𝜔
代入 𝜎, 并除以 𝜖
0
得到相对介电常数
𝜖
𝑟
= 1 −
𝜎
0
𝜏
𝜖
0
(1 + 𝜔
2
𝜏
2
)
+𝑖
𝜎
0
𝜖
0
𝜔(1 + 𝜔
2
𝜏
2
)
引入等离子体频率它对应自由电子气相对于正电荷背景的集体振荡频率
𝜔
2
𝑝
=
𝑛𝑒
2
𝜖
0
𝑚
从而
𝜖
𝑟
= 1 −
𝜔
2
𝑝
𝜔
2
+
𝜏
−2
+𝑖
𝜔
2
𝑝
𝜏
𝜔
(
1
+
𝜔
2
𝜏
2
)
10 金属的光学性质
利用介电常数可以给出金属的折射率
𝑛
𝑐
=
𝑐
𝑣
=
(𝜖
0
𝜇
0
)
1/2
𝜔/𝑘
=
𝜖
0
+𝑖𝜎/𝜔
𝜖
0
1/2
= 𝜖
1/2
𝑟
由于 𝜖
𝑟
是复数, 所以折射率也是复数
˜
𝑛
𝑐
= 𝑛
1
+𝑖𝑛
2
折射率的虚部代表吸收, 实部是通常所说的折射率
在低频段, 𝜔𝜏 ≪ 1, 鉴于
𝜎 =
𝜎
0
1 + 𝜔
2
𝜏
2
+𝑖
𝜎
0
𝜔𝜏
1 + 𝜔
2
𝜏
2
从而虚部可以忽略, 实部近似于 𝜎
0
, 从而可以给出介电常数
𝜖
𝑟
= 1 + 𝑖
𝜎
0
𝜖
0
𝜔
𝜔 小时相对介电常数近似于纯虚数, 即
𝜖
𝑟
≈ 𝑖
𝜎
0
𝜖
0
𝜔
那么开平方得到折射率
𝑛 =
√
𝜖
𝑟
≈
(
1 +𝑖
)
𝜎
0
2𝜖
0
𝜔
所以
𝑛
1
= 𝑛
2
=
𝜎
0
2𝜖
0
𝜔
假定电磁波沿垂直金属表面 (𝑧 轴) 传播, 那么电场为
E = E
0
exp 𝑖
(
k · r − 𝜔𝑡
)
= E
0
exp
𝑖𝜔
𝑛
1
𝑐
𝑧 − 𝑡
exp
−
𝑛
2
𝜔
𝑐
𝑧
光强度为电场的模平方
𝐼 = |𝐸 |
2
= |𝐸
0
|
2
exp
−
2𝑛
2
𝜔
𝑐
𝑧
= 𝐼
0
exp
−
2𝑛
2
𝜔
𝑐
𝑧
注意到吸收满足 Beer-Lambert 定律
𝐼 = 𝐼
0
exp(−𝛼𝑧)
从而给出吸收系数
𝛼 =
2𝑛
2
𝜔
𝑐
=
2𝜎
0
𝜔
𝜖𝑐
2
1/2
其倒数是电磁波的穿透深度
1
𝛼
=
𝜖
0
𝑐
2
2𝜎
0
𝜔
1/2
频率高的电磁波只能穿透很浅的距离
在高频段, 𝜔𝜏 ≫ 1. 虽然上面的推导都是基于长波近似, 不过这里简单粗暴的对其推广, 粗糙地认为结论
在端波长也成立, 那么鉴于
𝜖
𝑟
= 1 −
𝜔
2
𝑝
𝜔
2
+ 𝜏
−2
+𝑖
𝜔
2
𝑝
𝜏
𝜔(1 + 𝜔
2
𝜏
2
)
此时虚部可以忽略, 实部近似于 𝜔
2
𝑝
/𝜔
2
, 从而可以给出介电常数
𝜖
𝑟
= 1 −
𝜔
2
𝑝
𝜔
2
此时高频区被分为两区, 当 𝜔 < 𝜔
𝑝
时, 介电常数为负值, 使得电磁波不能在金属中传播, 被金属表面反射;
当 𝜔 > 𝜔
𝑝
时, 介电常数为正值, 折射率也为正, 此时的金属就与普通的透明介质一样. 与 𝜔
𝑝
相应的临界
波长为
𝜆
𝑝
=
2𝜋𝑐
𝜔
𝑝
