1 离子晶体的长光学波
离子晶体振动的光学支是正负离子之间的相对运动. 在振动波长较长时, 一个波节覆盖多个离子, 其中的
同性离子振动方向相同, 异性离子振动方向相反, 使得晶体被分区域极化, 相邻波节的极化方向不同
对于纵波和横波, 极化的影响不同
对于纵波, 极化电荷面垂直于传播方向, 出现在晶体内部, 相邻面间距是波长量级的, 因而产生的电场较
大, 使得恢复力增强, 引起频率增大; 而横波的极化电荷只出现在晶体表面, 产生的电场较小, 对恢复力几
乎没有影响. 所以在离子晶体中的长波波段有
𝜔
𝐿𝑂
> 𝜔
𝑇𝑂
2 长光学声波的宏观运动方程
简单起见, 考察一维的双原子链
假定奇数位置是负离子, 偶数位置是正离子, 可以写出其运动方程
𝑀
+
¥𝑢
2𝑛
= −𝛽(2𝑢
2𝑛
− 𝑢
2𝑛−1
− 𝑢
2𝑛+1
) + 𝑒𝐸
𝑒 𝑓 𝑓
𝑀
−
¥𝑢
2𝑛+1
= −𝛽(2𝑢
2𝑛+1
− 𝑢
2𝑛
− 𝑢
2𝑛+2
) − 𝑒𝐸
𝑒 𝑓 𝑓
其中 𝐸
𝑒 𝑓 𝑓
是极化电场. 考虑长波极限:𝑘 → 0, 此时所以同性原子都有相同的位移
𝑢
+
= 𝑢
0+
𝑒
𝑖 𝜔𝑡
𝑢
−
= 𝑢
0−
𝑒
𝑖 𝜔𝑡
极化电场应与振动有相同的频率, 所以
𝐸
𝑒 𝑓 𝑓
= 𝐸
0
𝑒
𝑖 𝜔𝑡
代入方程得到
(2𝛽 − 𝑀
+
𝜔
2
)𝑢
0+
− 2𝛽𝑢
0−
= 𝑒𝐸
0
(2𝛽 − 𝑀
−
𝜔
2
)𝑢
0−
− 2𝛽𝑢
0+
= −𝑒𝐸
0
横波不受极化电场影响, 横波频率即不考虑极化电场影响的光学支频率, 记为
𝜔
2
𝑇𝑂
= 2𝛽
(
𝑀
+
+ 𝑀
−
𝑀
+
𝑀
−
)
=
2𝛽
𝜇
则解为
𝑢
0+
=
𝑒𝐸
0
𝑀
+
(𝜔
2
𝑇𝑂
− 𝜔
2
)
𝑢
0−
=
−𝑒𝐸
0
𝑀
−
(𝜔
2
𝑇𝑂
−
𝜔
2
)
3 LST 关系
电磁学中的电位移满足
D = 𝜖
0
E + P
其中的极化强度 P 又可以拆为电子极化和离子极化
P = P
𝑒
+ P
𝑖
其中电子极化是由于原子内电子云的相对位移引起的, 离子极化是由于正负离子之间的相对位移引起的,
晶格的振动只影响离子极化. 电极化强度定义为介质单位体积内的电偶极矩和
P ≡
1
𝑉
∑
𝑖
p
𝑖
=
1
𝑉
∑
𝑖
𝑞
𝑖
u
𝑖
由此给出离子极化强度
P
𝑖
= 𝑛
𝑚
𝑒(𝑢
+
− 𝑢
−
)
其中 𝑛
𝑚
是单位体积内的正负粒子对数. 代入离子位移的表达式
𝑢
+
= 𝑢
0+
𝑒
𝑖 𝜔𝑡
𝑢
−
= 𝑢
0−
𝑒
𝑖 𝜔𝑡
,
𝑢
0+
=
𝑒𝐸
0
𝑀
+
(𝜔
2
𝑇𝑂
− 𝜔
2
)
𝑢
0−
=
−𝑒𝐸
0
𝑀
−
(𝜔
2
𝑇𝑂
− 𝜔
2
)
得到
𝑃
𝑖
=
𝑛
𝑚
𝑒
2
𝜇(𝜔
2
𝑇𝑂
− 𝜔
2
)
𝐸
0
exp
(
𝑖𝜔𝑡
)
=
𝑛
𝑚
𝑒
2
𝜇(𝜔
2
𝑇𝑂
− 𝜔
2
)
𝐸
鉴于电极化强度与电场由相对介电常数联系
P = 𝜖
0
E(𝜖
𝑟
− 1)
进而有
𝜖
𝑟
(𝜔) = 1 +
P
𝑒
𝜖
0
E
+
𝑛
𝑚
𝑒
2
𝜖
0
𝜇(𝜔
2
𝑇𝑂
− 𝜔
2
)
当 𝜔 = 0 时, 即静电介电常数
𝜖
𝑟
(0) = 1 +
P
𝑒
𝜖
0
E
+
𝑛
𝑚
𝑒
2
𝜖
0
𝜇𝜔
2
𝑇𝑂
当 𝜔 → ∞ 时, 即高频介电常数
𝜖
𝑟
(∞) = 1 +
P
𝑒
𝜖
0
E
因而可以将相对介电常数改写为
𝜖
𝑟
(𝜔) = 𝜖
𝑟
(∞) +
𝜖
𝑟
(0) − 𝜖
𝑟
(∞)
1 −
(
𝜔
𝜔
𝑇𝑂
)
2
在介质中的平面电磁波为
E = E
0
𝑒
𝑖 (k·r −𝜔𝑡 )
, B =
k
𝜔
× E, k = 𝜔
√
𝜇𝜖
ˆ
𝑛
如果介质的介电常数为负值, 那么 𝑘 将成为一个纯虚数, 使得 𝑖k · r 成为一个负实数, 那么平面波在介质
内部将以指数衰减, 无法传播. 考察电磁波传播的临界频率, 即 𝜖
𝑟
(𝜔) = 0, 解得
𝜔 =
√
𝜖
𝑟
(0)
𝜖
𝑟
(∞)
· 𝜔
𝑇𝑂
注意到对于纵光学波而言, 晶体中的电场完全来自于极化电荷. 设电极化强度为 P , 则有极化电荷密度
𝜌
𝑃
= −∇ · P
由于晶体中没有自由电荷分布, 从而其内部的电荷密度就是极化电荷密度 𝜌 = 𝜌
𝑃
. 利用高斯定理
∇ · E =
𝜌
𝜖
0
= −
1
𝜖
0
∇ · P ⇒ E = −
P
𝜖
0
所以按照电位移矢量的定义有
D = 𝜖
0
E + P = 0
进一步按照介电常数的定义式
D = 𝜖
𝑟
𝜖
0
E ⇒ 𝜖
𝑟
= 0
所以纵光学支对应的介电常数为零, 这说明上面求出的临界频率正是纵光学支的频率 𝜔
𝐿𝑂
, 所以
𝜔
2
𝐿𝑂
𝜔
2
𝑇𝑂
=
𝜖
𝑟
(0)
𝜖
𝑟
(∞)
称其为 LST 关系
