1 晶面指数
晶面是晶体中原子排列的一个平面. 如果以原胞的三个基矢 a, b, c 为坐标轴建立坐标系, 那么每个原子
的坐标都是整数
r = 𝑛
1
a + 𝑛
2
b + 𝑛
3
c
晶面应该是一个平面, 其方程可以写成
𝐴𝑥
′
+ 𝐵𝑦
′
+𝐶𝑧
′
= 1
其中 𝑥
′
, 𝑦
′
, 𝑧
′
是晶面上原子的坐标, 它们都是整数. 𝐴, 𝐵, 𝐶 是有理数 (否则方程不会有整数解), 通过乘以
一个合适的系数, 能够使得它们都是整数, 所以晶面方程可以写为
𝐴𝑥
′
+ 𝐵𝑦
′
+𝐶𝑧
′
= 𝐷, 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ∈ Z
a
b
c
𝑥
1
𝑥
2
𝑥
3
那么晶面与坐标轴的截距分别为
𝑥
1
=
𝐷
𝐴
, 𝑥
2
=
𝐷
𝐵
, 𝑥
3
=
𝐷
𝐶
从而
1
𝑥
1
:
1
𝑥
2
:
1
𝑥
3
= 𝐴 : 𝐵 : 𝐶
不过这样仍然不足以确定一个晶面方程, 因为晶面上要有原子, 这意味着参数 𝐷 不能是任意的. 注意到数
论中有引理
方程
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 +𝐶𝑧 = 𝐷, 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ∈ Z
有整数解当且仅当 𝐷 能被 𝐴, 𝐵, 𝐶 的最大公约数整除
那么一个简单的做法就是让
𝐴, 𝐵, 𝐶 的最大公约数为 1
, 这样可以使得任意的整数 𝐷 都对应着一个晶面,
并且每一个晶面都对应着一个整数 𝐷. 这样的一簇晶面称为晶面系, 它们可以用晶面方程中的参数 𝐴𝐵𝐶
表示 (因为 𝐷 是任意整数)
(𝐴, 𝐵, 𝐶)
称其为晶面指数, 也称为米勒指数. 那么可以给出 Miller 指数的确定方法
1. 在晶面系中任选一个不过原点的晶面, 计算其与坐标轴的截距 𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑥
3
2. 取其倒数, 并且将其乘以一个合适的系数, 使得它们都是整数;
3. 将三个整数除以它们的最大公约数, 并用
()
括起来, 得到晶面指数 (ℎ, 𝑘, 𝑙)
注意如果晶面与坐标轴平行, 则其截距记为无穷, 其倒数为零. 晶面方向不同单原子排列规律相同的一簇
晶面称为晶面族, 如立方晶体中
{100} = (100) + (010) + (001)
2 晶面间距
晶面间距是晶面系中两个相邻晶面之间的距离. 鉴于在晶格坐标系下的晶面系方程
𝐻𝑥
′
+ 𝐾 𝑦
′
+ 𝐿𝑧
′
= 𝐷, 𝐷 ∈ Z
所以晶面距离是两个平面
𝐻𝑥
′
+
𝐾 𝑦
′
+
𝐿𝑧
′
=
𝐷
和
𝐻𝑥
′
+
𝐾 𝑦
′
+
𝐿𝑧
′
=
𝐷
+
1
之间的距离
.
数学上有面间距
公式
平行平面 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 +𝐶𝑧 = 𝐷
1
和 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 +𝐶𝑧 = 𝐷
2
之间的距离为
𝑑 =
|𝐷
2
− 𝐷
1
|
√
𝐴
2
+ 𝐵
2
+𝐶
2
不过晶面间距指的是实际的间距, 需要在真实的三维空间中计算. 鉴于晶格坐标系中坐标为 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 的原
子其实际三维空间的坐标为
©
«
𝑥
𝑦
𝑧
ª
®
®
®
¬
=
a b c
©
«
𝑥
′
𝑦
′
𝑧
′
ª
®
®
®
¬
= a𝑥
′
+ b𝑦
′
+ c𝑧
′
所以
©
«
𝑥
′
𝑦
′
𝑧
′
ª
®
®
®
¬
= 𝑇
−1
©
«
𝑥
𝑦
𝑧
ª
®
®
®
¬
, 𝑇 =
a b c
这是一个线性变换, 从而晶面依然是平面. 将上式代入晶面方程将得到类似的平面方程
𝐻
′
𝑥 + 𝐾
′
𝑦 + 𝐿
′
𝑧 = 𝐷, 𝐷 ∈ Z
只不过 𝐻
′
, 𝐾
′
, 𝐿
′
不一定是整数, 代入面间距公式即得晶面间距
𝑑 =
1
√
𝐻
′2
+ 𝐾
′2
+ 𝐿
′2
对于立方晶体, 其原胞的三个基矢相互垂直, 可以作为三维空间的坐标轴, 设其晶胞参数为 𝑎
𝑥
𝑦
𝑧
𝑎
𝑎
𝑎
从而有
a b c
=
©
«
𝑎
𝑎
𝑎
ª
®
®
®
¬
⇒ 𝑇
−1
=
1
𝑎
𝐼
所以
𝑥
′
=
𝑥
𝑎
, 𝑦
′
=
𝑦
𝑎
, 𝑧
′
=
𝑧
𝑎
那么三维空间中的晶面方程可以写成
𝐻
𝑎
𝑥 +
𝐾
𝑎
𝑦 +
𝐿
𝑎
𝑧 = 𝐷, 𝐷 ∈ Z
即
𝐻
′
=
𝐻
𝑎
, 𝐾
′
=
𝐾
𝑎
, 𝐿
′
=
𝐿
𝑎
代入面间距公式即得
𝑑 =
𝑎
√
𝐻
2
+ 𝐾
2
+ 𝐿
2
一般地, 对于正交晶系, 可以得到
𝑑 =
1
s
𝐻
𝑎
2
+
𝐾
𝑏
2
+
𝐿
𝑐
2
对于六角晶系, 原胞的三个基矢在三维坐标系下的坐标为
a = (𝑎, 0, 0)
𝑇
, b =
−
𝑎
2
,
√
3
2
𝑎, 0
!
𝑇
, c = (0, 0, 𝑐)
𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
𝑎
𝑎
𝑐
60
◦
120
◦
从而
𝑇 =
©
«
𝑎 −
𝑎
2
√
3
2
𝑎
𝑐
ª
®
®
®
®
®
®
¬
⇒ 𝑇
−1
=
1
𝑎
©
«
1
1
√
3
2
√
3
𝑎
𝑐
ª
®
®
®
®
®
®
¬
所以
𝑥
′
=
𝑥
𝑎
+
𝑦
√
3𝑎
, 𝑦
′
=
2𝑦
√
3𝑎
, 𝑧
′
=
𝑧
𝑐
因而三维空间中晶面方程可以写成
𝐻
𝑥
𝑎
+
𝑦
√
3𝑎
+ 𝐾
2𝑦
√
3𝑎
+ 𝐿
𝑧
𝑐
= 𝐷, 𝐷 ∈ Z
所以
𝐻
′
=
𝐻
𝑎
, 𝐾
′
=
2𝐾
√
3𝑎
+
𝐻
√
3𝑎
, 𝐿
′
=
𝐿
𝑐
代入面间距公式即得晶面间距
𝑑 =
𝑎
r
4
3
(
𝐾
2
+ 𝐻𝐾 + 𝐻
2
)
+
𝑎
2
𝑐
2
𝐿
2
