1 能级的空间对称性
晶体中相差一个倒格矢的波矢是等价的, 所以它们在同一个能带中对应的能量相同
𝐸
𝑛
(k) = 𝐸
𝑛
(k + G)
由于晶格中的原子还具有点群对称性, 相应的能级也应有对称性
𝐸
𝑛
(k) = 𝐸
𝑛
(𝛼k)
其中 𝛼 是点群的对称操作, 虽然 𝛼 作用在实空间, 而 k 处于倒空间, 但是倒易点阵具有实空间相同的对
称性, 所以这能够成立
另外对晶体中的电子运动而言, 将其时间反演后其能量不应变化, 对应的操作是将波矢 k 变为 −k, 从而
𝐸
𝑛
(k) = 𝐸
𝑛
(−k)
2 能态密度与费米面
定义能态密度为单位体积中量子态数目对能量的密度
𝑁 (𝐸) =
1
𝑉
d𝑁
d𝐸
在固体物理-金属自由电子论中, 已经给出了能态密度的表达式
𝑁 (𝐸) =
1
2𝜋
2
(
2𝑚
ℏ
2
)
3/2
𝐸
1/2
不过这是自由电子的情况, 晶体中的电子还受到周期场的作用. 在固体物理-周期场中电子运动的紧束缚
近似中, 通过微扰给出在布里渊区边界内侧能量下降, 这意味着达到相同的能量需要更大的 𝑘 值, 等能面
由球心向外凸出
那么如图所示的 𝐴 点 (边界上) 就处在最后一个完整的等能面上, 所以该面的面积最大, 能量更高的等能
面变得不完整, 面积逐渐减小. 由于能态密度实际上与等能面面积成正比, 因而 𝐴 点对应的能量具有最大
的能态密度
能量继续升高, 则会到达第二布里渊区的最低能量, 根据是否形成禁带, 能态密度的曲线分为两种
其中的 𝐸
𝐶
是第一布里渊区的最高能量, 𝐸
𝐵
是第二布里渊区的最低能量 (图中未画出)
费米面也是等能面, 可以同样画出
左图是自由电子的情况, 右图是考虑了布里渊区界面附近的能隙的微扰修正. 被围起来的部分即不同能带
中 𝑘 的取值范围, 也即费米面的形状
可以利用平移使得各个能带的区域合并, 画得好看一些, 如图
从左到右分别是第一、第二、第三、第四布里渊区的费米面
