1 Bloch 电子
在晶体中确定电子的运动情况需要求解薛定谔方程
−
ℏ
2
2𝑚
∇
2
+ 𝑉 (r)
𝜓(r) = 𝐸𝜓(r)
准经典情况下电子的波函数近似于波包, 这是由于不确定原理, 动量与位置无法同时确定, 这种电子称为
Bloch 电子. 在晶体的周期性场中, 波函数是 Bloch 波函数
𝜓
𝑘
(𝑥, 𝑡) = 𝑒
𝑖 (𝑘 𝑥− 𝜔𝑡 )
𝑢
𝑘
(𝑥)
其中
𝜔 =
𝐸
𝑘
ℏ
这是 Bloch 定理与定态薛定谔方程的共同结果. 𝑘
0
附近宽度为 Δ𝑘 的波包利用积分写出
𝜓(𝑥, 𝑡) =
∫
𝑘
0
+Δ𝑘/2
𝑘
0
−Δ 𝑘/2
𝑒
𝑖 (𝑘 𝑥− 𝜔𝑡 )
𝑢
𝑘
(𝑥)𝑑𝑘
宽度是较小的, 所以 𝑢
𝑘
可以用 𝑢
𝑘
0
代替, 从而
𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝑢
𝑘
0
(𝑥)
∫
𝑘
0
+Δ𝑘/2
𝑘
0
−Δ𝑘/2
𝑒
𝑖 (𝑘 𝑥− 𝜔𝑡 )
𝑑𝑘
并将 𝜔 在 𝑘
0
处展开
𝜔(𝑘) = 𝜔
0
+
𝜕𝜔
𝜕𝑘
𝑘
0
(𝑘 − 𝑘
0
)
积分得到
𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝑢
𝑘
0
(𝑥)𝑒
𝑖 (𝑘
0
𝑥− 𝜔
0
𝑡 )
·
2 sin
Δ𝑘
2
𝑥 −
𝜕𝜔
𝜕𝑘
𝑘
0
𝑡
𝑥 −
𝜕𝜔
𝜕𝑘
𝑘
0
𝑡
它实际上是一个 𝑠𝑖𝑛𝑐 函数, 求其模平方得到概率密度
|𝜓(𝑥, 𝑡)|
2
= |𝑢
𝑘
0
(𝑥)|
2
·
sin
2
Δ𝑘
2
𝑥 −
𝜕𝜔
𝜕𝑘
𝑘
0
𝑡
Δ𝑘
2
𝑥 −
𝜕𝜔
𝜕𝑘
𝑘
0
𝑡
2
(Δ𝑘)
2
波包的中心位置 𝑥
0
满足
𝑥
0
=
𝜕𝜔
𝜕𝑘
𝑘
0
𝑡
=
1
ℏ
d𝐸
d𝑘
𝑘
0
𝑡
从而有准粒子的速度, 这实际上就是群速度
𝑣(𝑘
0
) =
1
ℏ
d𝐸
d𝑘
𝑘
0
准粒子要求波包宽度很小, 需要
Δ𝑘 ≪
2𝜋
𝑎
其中的 2𝜋/𝑎 是布里渊区的宽度. 推广到三维情形, 即
v(k) =
1
ℏ
∇
k
𝐸 (k)
这是说电子速度方程垂直于等能面, 在 𝑘 空间中的等能面由于势场的存在, 一般不是球面, 所以速度方向
也不与 k 相同
在准经典情形下, 可以削微微用一下牛顿力学中力的概念, 有能量守恒
F · vd𝑡 = d𝐸 = ∇
k
𝐸 (k) · d𝑘
从而
F − ℏ
dk
d𝑡
· v = 0
从而有 Bloch 电子满足的运动方程
F = ℏ
dk
d𝑡
这是” 动量定理”, ℏk 称为 Bloch 电子的准动量, 需要注意的是它并不是真实的动量, 这是因为 Bloch 波
包并非动量算符的本征态
2 Bloch 电子的有效质量
考察 Bloch 电子的加速度
𝑎 =
d𝑣
d𝑡
=
1
d𝑡
1
ℏ
d𝐸
d𝑘
=
1
ℏ
d𝑘
d𝑡
d
2
𝐸
d𝑘
2
= 𝐹
ℏ
2
d
2
𝐸
d𝑘
2
鉴于牛二定理 𝐹 = 𝑚𝑎, 可以定义有效质量
𝑚
∗
= ℏ
2
d
2
𝐸
d𝑘
2
周期场中的电子能量与波矢并非二次函数关系, 所以有效质量与 𝑘 有关, Bloch 电子在晶体中的运动就可
以使用牛顿定律处理. 将其推广到三维情形即
1
𝑚
∗
𝑖 𝑗
=
1
ℏ
2
𝜕
2
𝐸
𝜕𝑘
𝑖
𝜕𝑘
𝑗
这是一个二阶张量, 对于各向同性晶体, 它退化为一个标量. 电子满足的运动方程为
d𝑣
𝑖
d𝑡
=
1
𝑚
∗
𝑖 𝑗
𝐹
𝑗
在 𝑘 较小时, 𝐸 与 𝑘 的关系可以用二次函数近似; 而 𝑘 逐渐增大后, 由于周期性, 𝐸 必然会达到一个峰值.
这段过程中 𝐸 关于 𝑘 的二阶导数为负值, 也就是说晶格对电子产生了一个很大的阻力, 使得产生了负的
加速度
对于简单立方晶体 𝑆 态的电子而言, 其处于能带中有能量
𝐸 (k) = 𝜖
𝑠
− 𝐽
0
− 2𝐽
1
cos 𝑘
𝑥
𝑎 + cos 𝑘
𝑦
𝑎 + cos 𝑘
𝑧
𝑎
求导计算其有效质量
1
𝑚
∗
𝑖 𝑗
=
1
ℏ
2
𝜕
2
𝐸
𝜕𝑘
𝑖
𝜕𝑘
𝑗
=
2𝐽
1
𝑎
2
ℏ
2
cos
(
𝑘
𝑖
𝑎
)
𝛿
𝑖 𝑗
或者
1
𝑚
∗
=
1
ℏ
2
©
«
2𝐽
1
𝑎
2
cos(𝑘
𝑥
𝑎)
2𝐽
1
𝑎
2
cos(𝑘
𝑦
𝑎)
2𝐽
1
𝑎
2
cos(𝑘
𝑧
𝑎)
ª
®
®
®
¬
能带底和能带顶的波矢 k 为
k
Γ
= (0, 0, 0), k
𝑅
=
𝜋
𝑎
,
𝜋
𝑎
,
𝜋
𝑎
那么
1
𝑚
∗
(k
Γ
) =
2𝐽
1
𝑎
2
ℏ
2
𝐼,
1
𝑚
∗
(k
𝑅
) = −
2𝐽
1
𝑎
2
ℏ
2
𝐼
也就是说 处于能带底和能带顶的电子其有效质量是各向同性的, 退化为标量. 由于电子能量在能带底取
最小值, 其有效质量总是正的; 同理在能带顶的电子其有效质量总是负的
3 恒定电场作用下晶格中电子的运动
考察一维单原子链, 设其晶格常数为 𝑎, 从而其第一布里渊区为
h
−
𝜋
𝑎
,
𝜋
𝑎
i
. 做紧束缚近似并只考虑两个最
近邻 𝑎, −𝑎, 则能带为
𝐸
𝑖
(𝑘) = 𝜖
𝑖
− 𝐽
0
− 𝐽
1
(𝑒
𝑖𝑘𝑎
+ 𝑒
−𝑖𝑘 𝑎
) = 𝜖
𝑖
− 𝐽
0
− 2𝐽
1
cos(𝑘𝑎)
设 𝐽
1
> 0, 则 𝑘 = 0 为能带底, 𝑘 = ±
𝜋
𝑎
为能带顶. 计算电子的等效质量
1
𝑚
∗
=
1
ℏ
2
𝜕
2
𝐸
𝜕𝑘
2
=
2𝐽
1
𝑎
2
ℏ
2
cos(𝑘𝑎) ⇒ 𝑚
∗
=
ℏ
2
2𝐽
1
𝑎
2
cos(𝑘𝑎)
电子速度为
𝑣(𝑘) =
1
ℏ
d𝐸
d𝑘
=
2𝐽
1
𝑎
ℏ
sin(𝑘𝑎)
在能带顶和能带底, 电子速度为零; 在能带的中间电子速度取极值, 此时其等效质量趋于无穷
当施加 −𝑥 方向的恒定电场时, 电子受到沿 +𝑥 方向的力 𝐹 = 𝑒𝜖, 从而由运动方程
𝐹 = ℏ
d𝑘
d𝑡
= 𝑒𝜖 ⇒
d𝑘
d𝑡
=
𝑒𝜖
ℏ
或者
𝑘 =
𝑒𝜖
ℏ
𝑡
所以电子的速度是周期震荡的
𝑣(𝑡) =
2𝐽
1
𝑎
ℏ
sin
𝑒𝜖
ℏ
𝑎𝑡
其周期为
𝑇 =
2𝜋ℏ
𝑒𝜖𝑎
运动过程可以这样描述
1. 电子在布里渊区内从 𝑘 = 0 处开始, 此时 𝑚
∗
> 0, 电子加速
2. 随着 𝑘 →
𝜋
2𝑎
, 电子速度达到最大值, 此时 𝑚
∗
→ ∞
3. 𝑘 继续增大, 此时 𝑚
∗
< 0, 电子减速, 𝑘 =
𝜋
𝑎
处速度为零, 电子处于能带顶
4. 𝑘 继续增大, 𝑚
∗
< 0, 电子反向运动, 以此循环
所以电子在实空间中的运动也是周期性震荡的. 由于能隙的存在, 电子被限制在一个能带中运动, 在遇到
势垒时被反射
4 恒定磁场作用下晶格中电子的运动
恒定磁场中准经典运动的方程
v =
1
ℏ
∇
k
𝐸 (k)
−𝑒v × B = ℏ
dk
d𝑡
第二式表明
dk
d𝑡
⊥ B, 所以 k 在 𝐵 方向上不变, 因而 k 在垂直于 B 的平面内运动; 又由于洛伦兹力不
做功, 从而电子能量不变, 所以k 的运动轨迹是垂直磁场的平面与等能面的交线. 如果以实空间的视角看,
应有
dv
d𝑡
=
1
𝑚
∗
· F
F = −𝑒v × B
当电子处于能带底和能带顶时, 有效质量张量退化为标量, 从而
dv
d𝑡
= −
𝑒
𝑚
∗
v × B
这与经典的方程相同, 可以由此给出电子的回旋频率
𝜔
𝑐
=
𝑒𝐵
𝑚
∗
事实上, 在磁场作用下电子的能量取分离值, 即朗道能级. 将晶体片垂直置于磁场中, 若沿着磁场方向输
入交变电场, 当电场频率为 𝜔
𝑐
时, 电子吸收电场能量达到极大, 称为电子回旋共振. 电子和空穴都能回旋
共振, 它们出射波的偏振方向不同
在主轴坐标系中, 取三个方向的有效质量 𝑚
∗
𝑥
, 𝑚
∗
𝑦
, 𝑚
∗
𝑧
, 则
1
𝑚
∗
=
s
𝛼
2
𝑚
∗
𝑥
+ 𝛽
2
𝑚
∗
𝑦
+ 𝛾
2
𝑚
∗
𝑧
𝑚
∗
𝑥
𝑚
∗
𝑦
𝑚
∗
𝑧
其中 𝛼, 𝛽, 𝛾 是磁场在主轴坐标系中的方向余弦
将通电的导体放在磁场中, 如果磁场方向与电流方向垂直, 则会在第三个方向上产生电位差, 称为霍尔效
应, 假定电流方向为 𝑥, 磁场方向为 𝑧, 利用洛伦兹力与电场力平衡得到
𝐸
𝐻
= −
1
𝑛𝑒
𝐽𝐵
定义霍尔系数
𝑅
𝐻
=
𝐸
𝐻
𝐽𝐵
对于电子载流子而言, 霍尔系数为
𝑅
𝐻
= −
1
𝑛𝑒
由霍尔系数可以直接确定载流子的浓度. 空穴作为载流子的导体其霍尔系数符号相反, 对于两种载流子同
时存在的晶体中, 霍尔系数为
𝑅
𝐻
=
𝑅
𝑒
𝜎
2
𝑒
+ 𝑅
ℎ
𝜎
2
ℎ
(𝜎
𝑒
+ 𝜎
ℎ
)
2
𝑅, 𝜎 分别是电子和空穴的霍尔系数和电导率
5 De Haas-Van Alphen 效应
在无电场的情况下, 匀强磁场中的电子形成朗道能级
𝐸
𝑛
= ℏ𝜔
𝑐
𝑛 +
1
2
, 𝑛 = 0, 1, 2, · · · , 𝜔
𝑐
=
𝑒𝐵
𝑚
∗
每个能级的简并度为
𝑔
𝑛
=
𝑆
2𝜋𝑎
2
𝑀
, 𝑎
𝑀
=
r
ℏ
𝑒𝐵
其中 𝑆 为面积 (详情见量子力学-电磁场中的带电粒子). 或者将简并度写为
𝑔
𝑛
=
𝑒𝐵𝑆
ℎ
考虑到电子是自旋 1/2 粒子, 因此考虑自旋的实际简并度应当是两倍, 所以
𝑔
𝑛
=
2𝑒𝐵𝑆
ℎ
那么在磁场增强时, 存在两种效应
1. 磁场增强使得 𝜔
𝑐
增大, 各个朗道能级升高, 使得电子的最大能量升高 (费米能升高, 总能量升高)
2. 磁场增强使得能级的简并度增大, 使得最高能级上的电子数目减小 (总能量降低). 磁场增大到一定
程度使得最高能级上的电子数目减为零, 此时电子的最大能量降低 (费米能降低)
这两种效应相互竞争, 使得系统的总能量周期变化. 注意到两次电子完全填充最高朗道能级之间的磁场变
化是一个周期, 考察
𝐵
1
, 𝜆 → 𝐵
2
, 𝜆 + 1
其中 𝐵
1
, 𝐵
2
是两个磁场, 𝜆, 𝜆 + 1 是对应朗道量子数, 则由粒子数守恒有
𝜆𝑔
𝜆
(𝐵
1
) = (𝜆 + 1)𝑔
𝜆+1
(𝐵
2
) = 𝑁
即
2𝑒𝐵
1
𝑆
ℎ
𝜆 =
2𝑒𝐵
2
𝑆
ℎ
(𝜆 + 1) = 𝑁
注意到
1
𝐵
2
−
1
𝐵
1
=
2𝑒𝑆
ℎ𝑁
它是与磁场无关的常数. 注意到费米球在磁场下的截面积为
𝐴
𝐹
= 𝜋𝑘
2
𝐹
= 2𝜋
2
𝑁
𝑆
所以
Δ
1
𝐵
=
2𝜋𝑒
ℏ
1
𝐴
𝐹
可以由此得到不同方向的费米面截面积, 从而得到费米面的形状
6 空穴
考察近满带的情况. 假定近满带中仅有一个 k 态中没有电子, 希望得到近满带的总电流 I . 由于满带的总
电流为零, 如果在该态中加入一个电子, 则形成满带, 所以
I + (−𝑒v (k)) = 0
从而
I = 𝑒v (k)
这意味着
近满带的总电流形式上同一个带正电荷 𝑒, 速度为空状态 𝑘 的电子一样
. 所以
d
d𝑡
I = 𝑒
d
d𝑡
v(k)
鉴于 k 态上的电子受力及其运动方程为
F = −𝑒[ϵ + v(k) × B],
dv
d𝑡
=
F
𝑚
∗
所以
d
d𝑡
I = −
𝑒
2
𝑚
∗
[
ϵ + v( k) × B
]
在能带顶端
,
电子的有效质量为负值
,
所以
d
d𝑡
I =
𝑒
2
|𝑚
∗
|
[
ϵ + v( k) × B
]
注意到
[
ϵ + v( k) × B
]
正是正电荷 𝑒 在电磁场中的受力. 这意味着有电磁场存在时, 近满带中电流的变
化与具有正有效质量 |𝑚
∗
| 的正电荷 𝑒 一样. 由此引入空穴描述近满带的行为
空穴是指近满带中空缺的电子态 k, 其行为与正电荷 𝑒 的电子相同, 具有正有效质量 |𝑚
∗
|
