1 Block 电子
在晶体中确定电子的运动情况需要求解薛定谔方程
−
ℏ
2
2𝑚
∇
2
+ 𝑉 (r)
𝜓(r) = 𝐸𝜓(r)
准经典情况下电子的波函数近似于波包, 这是由于不确定原理, 动量与位置无法同时确定, 这种电子称为
Bloch 电子. 在晶体的周期性场中, 波函数是 Bloch 波函数
𝜓
𝑘
(𝑥, 𝑡) = 𝑒
𝑖 (𝑘 𝑥− 𝜔𝑡 )
𝑢
𝑘
(𝑥)
其中
𝜔 =
𝐸
𝑘
ℏ
这是 Bloch 定理与定态薛定谔方程的共同结果. 𝑘
0
附近宽度为 Δ𝑘 的波包利用积分写出
𝜓(𝑥, 𝑡) =
∫
𝑘
0
+Δ𝑘/2
𝑘
0
−Δ 𝑘/2
𝑒
𝑖 (𝑘 𝑥− 𝜔𝑡 )
𝑢
𝑘
(𝑥)𝑑𝑘
宽度是较小的, 所以 𝑢
𝑘
可以用 𝑢
𝑘
0
代替, 从而
𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝑢
𝑘
0
(𝑥)
∫
𝑘
0
+Δ𝑘/2
𝑘
0
−Δ𝑘/2
𝑒
𝑖 (𝑘 𝑥− 𝜔𝑡 )
𝑑𝑘
并将 𝜔 在 𝑘
0
处展开
𝜔(𝑘) = 𝜔
0
+
𝜕𝜔
𝜕𝑘
𝑘
0
(𝑘 − 𝑘
0
)
积分得到
𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝑢
𝑘
0
(𝑥)𝑒
𝑖 (𝑘
0
𝑥− 𝜔
0
𝑡 )
·
2 sin
Δ𝑘
2
𝑥 −
𝜕𝜔
𝜕𝑘
𝑘
0
𝑡
𝑥 −
𝜕𝜔
𝜕𝑘
𝑘
0
𝑡
它实际上是一个 𝑠𝑖𝑛𝑐 函数, 求其模平方得到概率密度
|𝜓(𝑥, 𝑡)|
2
= |𝑢
𝑘
0
(𝑥)|
2
·
sin
2
Δ𝑘
2
𝑥 −
𝜕𝜔
𝜕𝑘
𝑘
0
𝑡
Δ𝑘
2
𝑥 −
𝜕𝜔
𝜕𝑘
𝑘
0
𝑡
2
(Δ𝑘)
2
波包的中心位置 𝑥
0
满足
𝑥
0
=
𝜕𝜔
𝜕𝑘
𝑘
0
𝑡
=
1
ℏ
d𝐸
d𝑘
𝑘
0
𝑡
从而有准粒子的速度, 这实际上就是群速度
𝑣(𝑘
0
) =
1
ℏ
d𝐸
d𝑘
𝑘
0
准粒子要求波包宽度很小, 需要
Δ𝑘 ≪
2𝜋
𝑎
其中的 2𝜋/𝑎 是布里渊区的宽度. 推广到三维情形, 即
v(k) =
1
ℏ
∇
k
𝐸 (k)
这是说电子速度方程垂直于等能面, 在 𝑘 空间中的等能面由于势场的存在, 一般不是球面, 所以速度方向
也不与 k 相同
在准经典情形下, 可以削微微用一下牛顿力学中力的概念, 有能量守恒
F · vd𝑡 = d𝐸 = ∇
k
𝐸 (k) · d𝑘
从而
F − ℏ
dk
d𝑡
· v = 0
从而有 Bloch 电子满足的运动方程
F = ℏ
dk
d𝑡
这是” 动量定理”, ℏk 称为 Bloch 电子的准动量, 需要注意的是它并不是真实的动量, 这是因为 Bloch 波
包并非动量算符的本征态
2 Bloch 电子的有效质量
考察 Bloch 电子的加速度
𝑎 =
d𝑣
d𝑡
=
1
d𝑡
1
ℏ
d𝐸
d𝑘
=
1
ℏ
d𝑘
d𝑡
d
2
𝐸
d𝑘
2
= 𝐹
ℏ
2
d
2
𝐸
d𝑘
2
鉴于牛二定理 𝐹 = 𝑚𝑎, 可以定义有效质量
𝑚
∗
= ℏ
2
d
2
𝐸
d𝑘
2
周期场中的电子能量与波矢并非二次函数关系, 所以有效质量与 𝑘 有关, Bloch 电子在晶体中的运动就可
以使用牛顿定律处理. 将其推广到三维情形即
1
𝑚
∗
𝑖 𝑗
=
1
ℏ
2
𝜕
2
𝐸
𝜕𝑘
𝑖
𝜕𝑘
𝑗
这是一个二阶张量, 对于各向同性晶体, 它退化为一个标量. 电子满足的运动方程为
d𝑣
𝑖
d𝑡
=
1
𝑚
∗
𝑖 𝑗
𝐹
𝑗
在 𝑘 较小时, 𝐸 与 𝑘 的关系可以用二次函数近似; 而 𝑘 逐渐增大后, 由于周期性, 𝐸 必然会达到一个峰值.
这段过程中 𝐸 关于 𝑘 的二阶导数为负值, 也就是说晶格对电子产生了一个很大的阻力, 使得产生了负的
加速度
