1 布洛赫定理
Bloch 定理是说周期场下的薛定谔方程具有周期性的解
[
−
ℏ
2
2𝑚
∇
2
+ 𝑈(r)
]
𝜓(r) = 𝐸𝜓(r) ⇒ 𝜓
k
(r) = 𝑒
𝑖k·r
𝑢
k
(r)
其中的势能 𝑈(r) 是以晶格格式为周期的势场
𝑈(r) = 𝑈(r + R
𝑙
), R
𝑙
= 𝑙
1
a
1
+ 𝑙
2
a
2
+ 𝑙
3
a
3
方程的解 𝜓
k
(r) 称为布洛赫函数, 其中的 𝑢
k
(r) 也是以晶格格式为周期的函数
𝑢
k
(r) = 𝑢
k
(r + R
𝑙
)
从而将 Bloch 定理重新表述为
𝜓
k
(r + R
𝑙
) = 𝑒
𝑖k·R
𝑙
𝜓
k
(r)
它表明在不同原胞的对应点上, 波函数只相差一个相位因子, 不影响波函数的大小
为了证明 Bloch 定理, 定义平移算符
𝑇
𝛼
𝑓 (r) = 𝑓 (r + a
𝛼
)
其中 a
𝛼
是三个晶格矢量之一. 由于平移操作的顺序不影响结果, 所以任意的两个平移算符都是对易的
[𝑇
𝛼
, 𝑇
𝛽
] = 0
考察
𝑇
𝛼
(
𝐻𝜓(r)
)
= 𝑇
𝛼
{[
−
ℏ
2
2𝑚
∇
2
+ 𝑈(r)
]
𝜓(r)
}
=
[
−
ℏ
2
2𝑚
∇
2
r +a
𝛼
+ 𝑈(r + a
𝛼
)
]
𝜓(r + a
𝛼
)
鉴于
𝜕
𝜕(𝑥 + 𝑎
𝑥
)
=
𝜕
𝜕𝑥
·
𝜕𝑥
𝜕(𝑥 + 𝑎
𝑥
)
=
𝜕
𝜕𝑥
又因为势场是周期性的 𝑈(r + a
𝛼
) = 𝑈 (r), 所以
[
−
ℏ
2
2𝑚
∇
2
r +a
𝛼
+ 𝑈(r + a
𝛼
)
]
𝜓(r + a
𝛼
) =
[
−
ℏ
2
2𝑚
∇
2
+ 𝑈(r)
]
𝜓(r + a
𝛼
) = 𝐻(𝑇
𝛼
𝜓(r))
从而
平移算符与哈密顿量对易
[𝑇
𝛼
, 𝐻] = 0
因而平移算符与哈密顿量有共同的本征态, 记其为 𝜓(r), 那么求解薛定谔方程的问题转化为求解平移算符
的本征态
𝑇
𝛼
𝜓(r) = 𝜆
𝛼
𝜓(r)
鉴于 𝑇
𝛼
𝜓(r) = 𝜓(r + a
𝛼
), 注意到这和 Bloch 定理已经很相近了
𝜓(r + a
𝛼
) = 𝜆
𝛼
𝜓(r)
只需要求解其本征值即可. 晶体总是有限大小的, 所以引入周期性边界条件
𝜓(r) = 𝜓(r + 𝑁
𝛼
a
𝛼
)
其中 𝑁
𝛼
是 a
𝛼
方向上的原胞数目, 用平移算符写就是平移 𝑁
𝛼
次
𝑇
𝑁
𝛼
𝛼
𝜓(r) = 𝜓(r) ⇒ 𝜆
𝑁
𝛼
𝛼
𝜓(r) = 𝜓(r)
从而
𝜆
𝑁
𝛼
𝛼
= 1
进而给出本征值
𝜆
𝛼
= exp
(
𝑖
2𝜋ℎ
𝛼
𝑁
𝛼
)
注意到倒格矢与晶格矢基矢有关系
a
𝛼
· b
𝛽
= 2𝜋𝛿
𝛼𝛽
引入波矢
k =
ℎ
1
𝑁
1
b
1
+
ℎ
2
𝑁
2
b
2
+
ℎ
3
𝑁
3
b
3
其中 ℎ
𝛼
是整数, 从而可以将本征值写为
𝜆
𝛼
= exp
(
𝑖k · a
𝛼
)
从而
𝜓(r + R
𝑙
) = exp
(
𝑖k · R
𝑙
)
𝜓(r)
即完成了证明. 如果两个波矢之间相差了一个倒格矢, 则它们本征值相同. 这是因为
G · R
𝑙
= 2𝜋𝑛
因而
𝑒
𝑖 (k+G) ·R
𝑙
= 𝑒
𝑖k·R
𝑙
𝑒
𝑖G·R
𝑙
= 𝑒
𝑖k·R
𝑙
